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文档介绍
天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
2019-2020学年天津市南开中学滨海生态城学校高二第二学期期中数学试卷 一、单选题（共12小题）. 1．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ） A．0.97 B．0.86 C．0.65 D．0.55 2．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（ ） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，K2=100×(45×22-20×13)258×42×35×65≈9.616参照附表，得到的正确结论是（ ） A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（ ） A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3 5．已知X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 12 13 16 且Y＝aX+3，E（Y）=73，则a为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（ ） A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 7．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ） A．310 B．925 C．12 D．23 8．设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（ ） A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0 9．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（ ） A．81 B．64 C．24 D．16 10．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 11．已知函数f（x）＝ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1e） B．（1e，+∞） C．（1e，e） D．（e，+∞） 12．若函数f(x)=4ax-a(x≤0)x3-ax+2(x＞0)，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，2] B．（2，4] C．（3，4] D．（3，5） 二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13．f（x）＝x（2019+lnx），若f'（x0）＝2020，则x0＝ ． 14．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝ ． 15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是 ． 16．（x-2x）6的展开式中常数项是 ． 17．若函数f（x）=13x3-32x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为 ． 18．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是 ． 19．已知f（x）＝lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为 ． 20．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是 ． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数． （Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望． 22．甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是23和35，每次投篮相互独立互不影响． （Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率； （Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望； （Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望． 23．已知函数f（x）＝x3+32ax2﹣x+1（a∈R）． （Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）当a＜0时，设g（x）＝f（x）+x． （i）求函数g（x）的极值； （ii）若函数g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值． 24．已知函数h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex（a∈R）． （Ⅰ）求函数h（x）的单调区间； （Ⅱ）若∃x1，x2∈（1，2），且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2． 参考答案 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ） A．0.97 B．0.86 C．0.65 D．0.55 【分析】在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好． 解：四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55， 则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97． 故选：A． 【点评】本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，是基础题． 2．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（ ） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可． 解：因为导函数的图象如图： 可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）＝0，f′（b）＝0，f′（c）＝0，f′（d）＝0． x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数， 可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d． 故选：C． 【点评】本题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用． 3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，K2=100×(45×22-20×13)258×42×35×65≈9.616参照附表，得到的正确结论是（ ） A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 【分析】根据K2=100×(45×22-20×13)258×42×35×65≈9.616＞6.635，有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，即可求得答案． 解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式， K2=100×(45×22-20×13)258×42×35×65≈9.616＞6.635， ∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”， 故选：C． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于基础题． 4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（ ） A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3 【分析】利用已知条件直接推出ξ的取值即可． 解：8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值可以是0，1，2． 故选：C． 【点评】本题列出离散型随机变量的取值的判断，基本知识的考查． 5．已知X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 12 13 16 且Y＝aX+3，E（Y）=73，则a为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，Y＝aX+3，EY＝aEX+3求出a即可． 解：先求出EX＝（﹣1）×12+0×13+1×16=-13． 再由Y＝aX+3得EY＝aEX+3． ∴73=a（-13）+3，解得a＝2． 故选：B． 【点评】本题考查离散型随机变量的期望及期望的性质，属基本运算的考查，基础题． 6．设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（ ） A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 【分析】从正态曲线关于直线x＝μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论． 解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小， ∴σ1＜σ2 故选：A． 【点评】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题． 7．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ） A．310 B．925 C．12 D．23 【分析】根据条件概率的计算方法，先求出取两次球，第一次取到红球的取法数，然后求出第一、二次都取得红球的取法数，代入公式计算即可． 解：因为共有3个红球2个白球，所以先后取2个球，取后不放回，第一次取到红球的取法数为：C31C41=12， 第一、二次都取到红球的取法数为：C31C21=6， 故所求的概率P=612=12． 故选：C． 【点评】本题主要考查条件概率的计算方法以及计数原理的应用，要注意对条件概率的理解，属于基础题． 8．设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（ ） A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0 【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）＝0，g（b）＝0判断a，b的取值范围即可． 解：①由于y＝ex及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝ex+x﹣2在R上单调递增， 分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1． 同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（3）=ln3+(3)2-3=12ln3＞0，g（b）＝0，∴1＜b＜3． ∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0， f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0． ∴g（a）＜0＜f（b）． 故选：A． 【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键． 9．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（ ） A．81 B．64 C．24 D．16 【分析】利用排列、组合中的乘法原理求得结果． 解：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案． 故选：A． 【点评】本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题． 10．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解． 解：（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为： 1×C43×13×C11×1+2×C41×11×C33×13=12． 故选：A． 【点评】本题考查展开式中x3的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 11．已知函数f（x）＝ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1e） B．（1e，+∞） C．（1e，e） D．（e，+∞） 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为（ex﹣m）e＝﹣1，有解，即可得到结论． 解：函数的f（x）的导数f′（x）＝ex﹣m， 若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线， 则切线斜率k＝ex﹣m， 满足（ex﹣m）e＝﹣1， 即ex﹣m=-1e有解， 即m＝ex+1e有解， ∵ex+1e＞1e， ∴m＞1e， 故选：B． 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键． 12．若函数f(x)=4ax-a(x≤0)x3-ax+2(x＞0)，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，2] B．（2，4] C．（3，4] D．（3，5） 【分析】根据分段函数的表达式，先判断当x＞0时，函数的极值，结合函数极值与0的关系，建立不等式进行求解即可． 解：当x≥0时，f′（x）＝3x2﹣a， ∵a＞0且a≠1，∴f′（x）＝3x2﹣a＝0一定有两个根，由f′（x）＝0得x=a3或x=-a3（舍）， 则当x=a3时，函数f（x）在x＞0时，取得极小值也是最小值f（a3）极小＝（a3）3﹣a•a3+2， 即当x＞0时，f（x）最多有两个零点，∵f（0）＝2＞0，∴此时f（a3）极小＝（a3）3﹣a•a3+2＜0， 得23a329＞2，即a32＞33，∴a3＞27，即a＞3， 则当x≤0时，f（x）为单调增函数，则此时只有一个零点， ∵当x≤0时，﹣a＜f（x）≤4﹣a， ∴要使f（x）有三个零点，则4-a≥0-a＜0得a≤4a＞0得0＜a≤4， 综上3＜a≤4， 即实数a的取值范围是（3，4]， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的解析式，结合函数极值和零点关系是解决本题的关键． 一、选择题 13．f（x）＝x（2019+lnx），若f'（x0）＝2020，则x0＝ 1 ． 【分析】先求导数，然后令f'（x0）＝2020，解出x0即可． 解：由已知得f′（x）＝2020+lnx， 令2020+lnx0＝2020，∴lnx0＝0， ∴x0＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查导数的运算，属于基础题． 14．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝ 0.35 ． 【分析】由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可求． 解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3， ∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35， 则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35， 故答案为：0.35． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是 60 ． 【分析】本题根据排列的定义可列出组合式，计算可得结果． 解：由题意， 根据排列的定义，可知一共有A53=5×4×3＝60种． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查排列的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属基础题． 16．（x-2x）6的展开式中常数项是 ﹣160 ． 【分析】据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项． 解：展开式的通项为Tr+1＝（﹣2）rC6rx3﹣r 令3﹣r＝0得r＝3 所以展开式的常数项为（﹣2）3C63＝﹣160 故答案为：﹣160． 【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具． 17．若函数f（x）=13x3-32x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为 ﹣4 ． 【分析】原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出f′（x）＝x2﹣3x+a，函数f(x)=13x3-32x2+ax+4，恰在[﹣1，4]上递减，说明f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]，最后利用一元二次方程根与系数的关系，可得出实数a的取值范围． 解：先求出f′（x）＝x2﹣3x+a， ∵函数f(x)=13x3-32x2+ax+4，恰在[﹣1，4]上递减， ∴不等式f′（x）≤0的解集恰好是[﹣1，4]， 也就是说：方程x2﹣3x+a＝0的根是x1＝﹣1，x2＝4 用一元二次方程根与系数的关系，得：-1+4=3-1×4=a 所以a＝﹣4 故答案为：﹣4 【点评】本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好本题的关键． 18．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是 54125 ． 【分析】每次取到黄球的概率均为35，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率． 解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球， 每次取到黄球的概率均为35， ∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为： P=C32(35)2(25)=54125． 故答案为：54125． 【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知f（x）＝lnx，g（x）=12x2+mx+72（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为 ﹣2 ． 【分析】由题意，f′（x）=1x，g′（x）＝x+m（m＜0），从而可得直线l的斜率为k＝f′（1）＝1，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令△＝0求m； 解：由题意，f′（x）=1x，g′（x）＝x+m（m＜0）， 故直线l的斜率为k＝f′（1）＝1，切点为（1，0）； 故直线l的方程为y＝x﹣1； 即x﹣y﹣1＝0； 由12x2+mx+72=y，y＝x﹣1消y得， x2+2（m﹣1）x+9＝0； 故4（m﹣1）2﹣4×9＝0， 解得，m＝﹣2（m＜0）； 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题． 20．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是 （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） ． 【分析】令g（x）＝xf（x），g′（x）＝f（x）+xf'（x），当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，可得x∈（0，+∞）上，函数g（x）单调递增．由f（3）＝0，可得g（3）＝0．由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得函数g（x）是定义在R上的偶函数．进而得出不等式的解集． 解：令g（x）＝xf（x）， g′（x）＝f（x）+xf'（x）， 当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0， ∴x∈（0，+∞）上，函数g（x）单调递增． f（3）＝0，∴g（3）＝0． ∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴函数g（x）是定义在R上的偶函数． 由g（x）＞0＝g（3），即g（|x|）＞g（3）， ∴|x|＞3， 解得x＞3，或x＜﹣3． ∴不等式xf（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数． （Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【分析】（Ⅰ）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A，利用古典概型求解即可． （Ⅱ）ξ＝0，1，2；求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可． 解：（Ⅰ）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A，则P（A）=C42⋅C21C63=35， （Ⅱ）ξ＝0，1，2；P（ξ＝0）=C43C63=15；P（ξ＝1）=C42⋅C21C63=35，P（ξ＝2）=C41⋅C22C63=15，所以ξ的分布列为： X 0 1 2 P 15 35 15 故X的期望E(X)=0×15+1×35+2×15=1． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查，基础题． 22．甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是23和35，每次投篮相互独立互不影响． （Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率； （Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望； （Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望． 【分析】（Ⅰ）从对立面的角度，先求出甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的概率进行计算即可； （Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值即可得分布列，进而求出数学期望； （Ⅲ）随机变量ξ～B（5，23），根据二项分布的性质求概率和数学期望即可． 解：（Ⅰ）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则P(B)=13，P(C)=25， ∴P(A)=1-P(B)P(C)=1-13×25=1315． （Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2， P（X＝0）=13×25=215，P（X＝1）=23×25+13×35=715，P（X＝2）=23×35=25， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 215 715 25 ∴数学期望E（X）=0×215+1×715+2×25=1915． （Ⅲ）随机变量ξ～B（5，23）， ∴P（ξ＝2）=C52⋅(23)2⋅(13)3=40243， 数学期望E（ξ）=5×23=103． 【点评】本题考查独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，还有二项分布的数学期望，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题． 23．已知函数f（x）＝x3+32ax2﹣x+1（a∈R）． （Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）当a＜0时，设g（x）＝f（x）+x． （i）求函数g（x）的极值； （ii）若函数g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值． 【分析】（Ⅰ）求出导数，再求出f（1），f′（1），然后代入直线的点斜式，求出切线方程； （Ⅱ）（i）求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确定极值情况； （ii）因为函数连续，所以只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值． 解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝x3+3x2﹣x+1，f′（x）＝3x2+6x﹣1， ∴k＝f′（1）＝8，f（1）＝4，故切线方程为y﹣4＝8（x﹣1），即：8x﹣y﹣4＝0． （Ⅱ）（i）g（x）＝f（x）+x＝x3+32ax2+1，a＜0， ∴令g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a）＝0得x1＝0，x2＝﹣a＞x1． 随着x的变化，g（x）和g′（x）的变化如下： x （﹣∞，0） 0 （0，﹣a） ﹣a （﹣a，+∞） g′（x） + 0 ﹣ 0 + g（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以g（x）的极大值是g（0）＝1；极小值为g（﹣a）=a3+22． （ii）g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a）， （1）当﹣1≤a＜0时，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]内递增，g（x）min＝g（1）=32a+2=-9，a=-223＜-1(舍)． （2）当﹣2＜a＜﹣1时，则x，g′（x），g（x）关系如下： x （1，﹣a） ﹣a （﹣a，2） g′（x） ﹣ 0 ＝ g（x） ↓ 极小值 ↑ g（x）min＝g（﹣a）=12a3+1=-9，a=-320＜-2（舍）． （3）当a≤﹣2时，g（x）在[1，2]内单调递减，g（x）min＝g（2）＝6a+9＝﹣9，a＝﹣3． 综上可知，a＝﹣3． 【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究单调性、极值、最值是最常见的考查模式．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力．属于中档题． 24．已知函数h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex（a∈R）． （Ⅰ）求函数h（x）的单调区间； （Ⅱ）若∃x1，x2∈（1，2），且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2． 【分析】（Ⅰ）研究函数f（x）导数的符号，然后确定原函数的单调性； （Ⅱ）要满足题意，只需函数在（1，2）内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在（1，2）内存在变号根即可； （Ⅲ）先求出f（x）的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论． 解：（Ⅰ）h（x）＝x2ex，∴h′（x）＝ex（x2+2x）， 当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）的增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）； 当x∈（﹣2，0）时，h′（x）＜0，所以h（x）的减区间是（﹣2，0）． （Ⅱ）依题意，函数f（x）＝ex（x2﹣a）在（1，2）上不是单调函数， 因为f（x）是连续函数，所以f（x）在（1，2）上需有极值， 由于f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），即x2+2x﹣a＝0在（1，2）内有变号根， 令u（x）＝x2+2x﹣a，显然该函数在（1，2）上递增，故需u(1)＜0u(2)＞0，即3-a＜08-a＞0，解得3＜a＜8． 所以a的范围是（3，8）． （Ⅲ）f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），设方程ex（x2+2x﹣a）＝0的两个不等实根是x1，x2， 则首先满足△＝4+4a＞0，即：a＞﹣1． 又由（x2+2x﹣a）＝0解得，x1=-1-a+1，x2=-1+a+1，此时x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣a． 随着x的变化，f′（x），f（x）的变化如下： x （﹣∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以x1是函数f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点．所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值． f（x1）f（x2）=ex1(x12-a)×ex2(x22-a)=ex1+x2[x12x22-a(x12+x22)+a2]=ex1+x2{(x1x2)2-a[(x1+x2)2-2x1x2]+a2} ＝e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]＝﹣4ae﹣2，又因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2． 所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2． 【点评】本题考查导数的综合运用，即利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式问题．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，属于较难的题目． 查看更多