2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数判断，其中拟合效果最好的为（ ）‎ A．模型1的相关指数为0.3 B．模型2的相关指数为0.25‎ C．模型3的相关指数为0.7 D．模型4的相关指数为0.85‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据相关指数的大小作出判断即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由于当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，‎ 所以选项D中的拟合效果最好．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析中相关指数的意义，解题的关键是熟悉相关指数与拟合度间的关系，属于基础题．‎ ‎2．若随机变量服从两点分布，且成功的概率，则和分别为（ ）‎ A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，作出X的概率分布，然后再求E（X）和D（X）．‎ ‎【详解】‎ ‎∵X服从两点分布，‎ ‎∴X的概率分布为 ‎∴E（X）＝0×0.5+1×0.5＝0.5，‎ D（X）＝0.52×0.5+（1﹣0.5）2×0.5＝0.25．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用．‎ ‎3．函数的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性求最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，所以函数f(x)在上单调递减，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．身高互不相同的七名学生排成一排，从中间往两边越来越矮，不同的排法有（ ）‎ A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种 ‎【答案】D ‎【解析】利用分步计数原理：最高个在中间，分两步完成，先排左边有种，然后排右边，有种，‎ 利用分步乘法计数原理即可．‎ ‎【详解】‎ 最高个子站在中间，只需排好左右两边，‎ 第一步：先排左边，有种排法，第二步：排右边，有种，‎ 根据分步乘法计数原理，共有种，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合及简单计数问题，属基础题．‎ ‎5．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，令，则倾斜角为.‎ ‎【考点】导数的几何意义.‎ ‎6．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是(　 　)‎ A．7 B．－7 C．21 D．－21‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：给二项式中的赋值1，求出展开式的各项系数和，列出方程求出；将的值代入二项式，利用二项式展开式的通项公式求出通项，令的指数为，求出的值，将的值代入通项，可求出展开式的系数.‎ 详解：令得展开式的各项系数之和，‎ ‎，解得；‎ 展开式的通项为，‎ 令，解得，‎ 展开式的系数是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎7．已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法错误的是（　　）‎ A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的极小值为 C．函数在上为增函数 D．函数的值域为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于A项，利用偶函数的定义可判断其为偶函数，从而得到其正确性；对于B项，利用导数研究其单调性，从而求得其最值，得到其正确性，同时可以得出C是错误的，对于D项，可以利用二次函数的最值来判断，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于，则，‎ 函数为偶函数，其图象关于轴对称，正确；‎ 对于 其导数，若解可得 且当当时，‎ 则函数的极小值为正确；‎ 对于，有的结论，错误；‎ 对于，函数 其值域为正确；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及复合函数的单调性的判断，属于基础题．‎ ‎8．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B，分别求得P（AB）和P（A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，‎ 则P（A）＝11，‎ P（AB），‎ 则P（B|A）；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于基础题．‎ ‎9．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 （ ）‎ A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 ‎【答案】C ‎【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；‎ 若一名学生物理和历史都选，则有种组合；‎ 因此共有种组合.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎10．函数，为的导函数，令，，则下列关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，‎ 所以,解得.‎ 所以,由,得到为递减函数，‎ 而,则即.‎ 故选B.‎ ‎11．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次甲投中篮球，而乙前次没有投中，甲前次也没有投中或者甲第次未投中，而乙第次投中篮球，根据公式写出结果．‎ ‎【详解】‎ 甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，‎ 本题是一个相互独立事件同时发生的概率，‎ 每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，‎ 甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次投中篮球，而甲与乙前次没有投中，或者甲第次未投中，而乙第次投中篮球．‎ 根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第次投中的概率：；‎ 第次甲不中的情况应是，‎ 故总的情况是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．‎ ‎12．定义在上的函数导函数为，且对恒成立，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，再利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以函数g(x)在R上是减函数，‎ 所以g(2)＜g(1),‎ ‎,‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎13．设随机变量服从正态分布,若，则的值是______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题得，解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以c=1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．铁人中学欲将甲、乙、丙、丁四名大学毕业生安排到高一、高二、高三三个年级实习，每个年级至少一名毕业生，不同的分法有______种(结果用数字表示).‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】由题得三个年级的分配人数为2、1、1，再利用排列组合列式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得三个年级的分配人数为2、1、1，‎ 所以不同的分法有.‎ 故答案为：36‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：‎ 解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f′(x)=4x-，‎ 由f'（x）=0，得x=1/2．‎ 当x∈（0，1/2）时，f'（x）＜0，当x∈（1/2，+∞）时，f'（x）＞0‎ 据题意，{k-1＜1/2＜k+1‎ k-1≥0，‎ 解得1≤k＜3/2.‎ ‎16．如图，已知圆柱和半径为的半球，圆柱的下底面在半球底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球，则该圆柱体积的最大值为_______．‎ ‎【答案】2π ‎【解析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；‎ 则h2+r2＝R2＝3；‎ 所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；‎ 则V′（h）＝π（3﹣3h2），‎ 令V′（h）＝0，解得h＝1；‎ 所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；‎ h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；‎ 所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．‎ 故答案为：2π．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．全国糖酒商品交易会将在四川举办.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系，在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下数据：‎ 举办次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数（万人）‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 原材料（袋）‎ ‎28‎ ‎23‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若该店现有原材料12袋，据悉本次交易会大约有13万人参加，为了保证原材料能够满足需要，则该店应至少再补充原材料多少袋？‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）20袋.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用最小二乘法求关于的线性回归方程；（Ⅱ）由，得，‎ 即得该店应至少再补充原材料31.9-1220袋.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由数据，求得， ， ‎ ‎ ， ， ‎ 由公式，求得，，‎ 关于的线性回归方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 而，‎ 所以，该店应至少再补充原材料20袋.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用最小二乘法求回归方程，考查利用回归方程预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．铁人中学高二学年某学生对其亲属30人饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．）‎ ‎（Ⅰ）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据完成下列的列联表：‎ 主食蔬菜 主食肉类 合计 ‎50岁以下人数 ‎50岁以上人数 合计人数 ‎（Ⅲ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系？‎ 附：.‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能 ‎【解析】（1）根据茎叶图，得到30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．‎ ‎（2）根据茎叶图所给的数据，能够完成2×2列联表．‎ ‎（3），求出K2，能够求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．‎ ‎(2)2×2的列联表如下：‎ 主食蔬菜 主食肉类 合计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎(3) ）由（2）2×2的列联表算得：K210＞6.635，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，考查了独立性检验的实际应用及卡方的运算，考查了数据分析整理的能力及运算能力，是基础题．‎ ‎19．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，按的比例从年龄在20～80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在岁的人为“青年人”，岁的人为“中年人”， 岁的人为“老年人”．‎ ‎(Ⅰ)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；‎ ‎(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20～80岁的人口分布的概率，从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) 48(2)见解析 ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由频率分布直方图计算出60岁以上（含60岁）的频率，从而计算出所抽取的600人中老年人的人数，再除以1%可得总的老年人数，用每个区间的中间值乘以相应的频率再求和可得估计值；‎ ‎（2）由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为，所以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，又X的所有可能取值为0,1,2,3，由二项分布概率公式可计算出各个概率，得分布列，再由期望公式可计算出期望.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0．01＋0．01)×10＝0．2，故样本中60岁以上(含60岁)的人数为600×0．2＝120，故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%＝12 000．所调查的600人的平均年龄为 ‎25×0．1＋35×0．2＋45×0．3＋55×0．2＋65×0．1＋75×0．1＝48(岁)．‎ ‎(2)由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为，‎ 所以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，‎ 分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝，‎ P(X＝1)＝，‎ P(X＝2)＝，‎ P(X＝3)＝．‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝．‎ ‎20．已知函数，当时，取得极小值.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2，.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题得，解方程组即得解，再检验即得解；（Ⅱ）利用导数求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ) ,‎ ‎ 因为x=1时，f(x)有极小值2， ‎ ‎, ‎ 所以 , ‎ 所以， 经检验符合题意. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 当时，由，由，‎ 所以上单调递减，在（1,2）上单调递增， ‎ 所以 ‎ 又由，‎ 得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．2019年4月26日，铁人中学举行了盛大的成人礼.仪式在《相信我们会创造奇迹》的歌声中拉开序幕，庄严而神圣的仪式感动了无数家长，4月27日，铁人中学官方微信发布了整个仪式精彩过程，几十年众志成城，数十载砥砺奋进，铁人中学正在创造着一个又一个奇迹．官方微信发布后，短短几个小时点击量就突破了万人，收到了非常多的精彩留言.学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”，其留言者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅰ）求这100位留言者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，留言者年龄服从正态分布，其中近似为样本均数，近似为样本方差．‎ ‎(ⅰ)利用该正态分布，求； ‎ ‎（ii）学校从年龄在和的留言者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“精彩留言”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是，求变量的分布列和数学期望．附：，若，则，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）60，180；（Ⅱ）(ⅰ)；（ii）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用频率分布图中的平均数公式和方差公式求这100位留言者年龄的样本平均数和样本方差；（Ⅱ）(ⅰ)利用正态分布的图像和性质求；（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3，再求概率，写分布列求期望得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)这100位留言者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ‎，‎ ‎，‎ ‎(Ⅱ)（i）由（Ⅰ）知，，‎ 从而；‎ ‎（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以Y的数学期望为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图中平均数和方差的计算，考查正态分布，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性；‎ ‎(Ⅱ)证明： (为自然对数的底)恒成立．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎(Ⅱ)取，有，即，求出(当且仅当时等号成立)，问题转化为证明在上恒成立即可，设，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)解：函数的定义域为，‎ 当时，恒成立，所以在内单调递增；‎ 当时，令，得，所以当时，单调递增；‎ 当时，单调递减，‎ 综上所述，当时，在内单调递增；‎ 当时，在内单调递增，在内单调递减 ‎(Ⅱ)证明：由(1)可知，当时，‎ 特别地，取，有，即，‎ 所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，‎ 只要证明在上恒成立即可 设，则，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增．‎ 故当时， ，即在上恒成立 因此，有，又因为两个等号不能同时成立，‎ 所以有恒成立 或：令，则，‎ 再令，则，‎ 由知，存在，‎ 使得，得，‎ 由可证，进而得证．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想。‎