宁夏育才中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

宁夏育才中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

宁夏育才中学2019—2020学年第一学期高二期末试卷 高二数学（文科）‎ ‎（时间：120分钟；满分：150分） ‎ 一、选择题：（本大题共12题，每题5分，共60分.每题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求）‎ ‎1.命题“若 ，则 ”的逆否命题是（   ）‎ A. 若 ，则                                       B. 若 ，则 ‎ C. 若 ，则                                       D. 若 ，则 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】根据逆否命题概念可知，命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若，‎ 则”．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的有关概念，属于基础题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．‎ ‎2.已知命题：“，”，命题的否定“”正确的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定为特称命题，即可得答案.‎ ‎【详解】∵命题：“，”，‎ ‎∴为：，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，考查对概念的理解，求解时注意任意要改成存在，属于基础题.‎ ‎3.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入准线方程中，即可得答案.‎ 详解】∵抛物线中，，‎ ‎∴准线方程.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查对抛物线方程的理解，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令方程右边的为，化简方程即可得答案.‎ ‎【详解】令方程右边的为，‎ ‎∴，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，考查对概念的理解，属于基础题.‎ ‎5.是的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的选择，利用充分条件与必要条件的定义求解即可.‎ ‎【详解】因为，而不能推出，‎ 所以是的充分而不必要条件，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要 ‎6.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导得，再将代入，可求得切线的斜率 ‎，再利用点斜式方程，即可得答案.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴切线方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程、导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意在点处的切线与过点切线的区别.‎ ‎7.函数在区间[－1，1]上的最大值是（ ）‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. 0 D. －2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.‎ ‎【详解】令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基础题.‎ ‎8.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）‎ A. 在内是增函数 B. 在时取得极大值 C. 在内是增函数 D. 在时取得极小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图象，分别判断函数的单调区间和极值．‎ ‎【详解】对A，由导函数的图象可知，在区间内函数先减后增，在不单调，故A错误；‎ 对B，当时，，此时不是极大值，故B错误；‎ 对C，在内，此时函数单调递增，故C正确．‎ 对D，当时，，但此时不是极小值，而是极大值，故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性和极值与导数之间的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意从图形中提取信息.‎ ‎9.设函数的导函数为，若的图象在点处的切线方程为，则（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 点在切线上，故可求出；由导数的几何意义可得图象在点处的切线的斜率，由此求出．‎ ‎【详解】点在切线上，‎ ‎，解得；‎ 又，‎ ‎∴.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，求解时注意切点既在曲线上又在切线上.‎ ‎10.若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：‎ 化简得：， 又：，得：‎ 考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．‎ ‎11.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意利用点差法求解弦所在的直线方程即可.‎ 详解：设弦与椭圆的交点为：，，‎ 由题意可知：，‎ 两式作差可得：，‎ 则：，‎ 设直线的斜率为，由题意可得：，解得：.‎ 则直线方程为：，‎ 整理为一般式即：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查中点弦问题，点差法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.设，分别是定义域上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据可确定，进而可得到在时递减，结合函数与的奇偶性可确定在时也是减函数，最后根据，可求得答案．‎ ‎【详解】因，即，‎ 故在时递减，‎ 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，‎ 为奇函数，关于原点对称，所以在时也是减函数．‎ ‎，∴，‎ 所以的解集为：.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究抽象函数的单调性、函数的奇偶性、解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知椭圆的一个焦点为，则椭圆的标准方程是______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由椭圆的焦点坐标可知椭圆的焦点在轴上，再利用求得的值，即可得答案.‎ ‎【详解】∵的一个焦点为，‎ ‎∴椭圆焦点在轴上，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查运算求解能力，求解时注意先定位、再定量.‎ ‎14.对于曲线：表示焦点在轴上椭圆，则的取值范围______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得关于的不等式组为解不等式组即可得答案.‎ ‎【详解】∵曲线：表示焦点在轴上椭圆 ‎∴解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆焦点的位置求参数取值范围，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.函数的单调递减区间为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的定义域为，‎ 且：，‎ 求解不等式：，‎ 结合函数定义域可得：，‎ 则函数的单调递减区间为.‎ ‎16.点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线交，两点，则弦长__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．‎ ‎【详解】由题意可得，抛物线的焦点F（1，0），由直线的斜角为可知直线AB的斜率为 ‎∴直线AB的方程为y 联立方程可得，3x2﹣10x+3＝0‎ 解可得，x1＝3或 由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1‎ 故答案为 ‎【点睛】若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.‎ ‎17.已知函数 ‎ ‎(1)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)若曲线在处的切线方程为，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 当时，求导，代入得到斜率，计算切线方程.‎ ‎(2)求导代入数据，跟切线方程作对照，得到答案.‎ ‎【详解】解：(1)当时，，∴，‎ 曲线在处的切线方程为，即；‎ ‎(2) ，‎ 若曲线在处的切线方程为，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题，是常考题型.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）的增区间为和，减区间为；（2）28，-4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导得，解导数不等式，即可得答案；‎ ‎（2）解方程，再根据求得所有极值和区间端点的函数值，通过比较即可得到函数的最值.‎ ‎【详解】（1），‎ 令，则，解得或，‎ ‎，则，解得，‎ 所以的增区间为和，减区间为.‎ ‎（2）由（1），‎ 令，即，∴或，‎ ‎∵‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎23‎ ‎28‎ 由表格：，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为8，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点在椭圆上，点、为椭圆的两个焦点且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由长轴长等于8可得的值，再由椭圆过点，代入椭圆方程，即可得答案；‎ ‎（2）利用椭圆的定义和余弦定理可求得的值，再代入三角形的面积公式，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）由，∴，‎ ‎∵椭圆焦点在轴上，设方程为，‎ 又椭圆过点，∴，解得.‎ ‎∴椭圆的标准方程：.‎ ‎（2）由（1）知，∴，，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义、余弦定理、三角形面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎20.已知直线：与抛物线：相切于点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线方程与抛物线方程消去，再利用，即可求得的值；‎ ‎（2）求出切点坐标及圆的半径，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）由，联立消去，得，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎∴，得，‎ 切点，准线，∴，‎ 方程：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线相切、圆的方程求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎21.已知函数，若函数在和处取得极值.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导得，再由韦达定理可求得的值；‎ ‎（2）求出在的最大值，从而得到不等式，解不等式即可得答案.‎ ‎【详解】（1），‎ 在和处极值，‎ ‎，即，解得，经检验，符合，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）由（1），‎ ‎.‎ 令，得和.‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，解得或.‎ 点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题、恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意恒成立问题的等价条件.‎ ‎22.在直角坐标系中，动点到两点、的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点.‎ ‎（1）写出曲线的方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的定义，即可得到的方程；‎ ‎（2）设，，由联立消去得，，从而可得到关于的方程，解方程即可得答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，‎ ‎∴点是以，为焦点的椭圆，‎ ‎∴，，，且焦点在轴上，‎ ‎∵，∴的方程为.‎ ‎（2）由联立消去得，‎ 设，，‎ ‎∴，，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义、向量与解析几何问题的交会，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用坐标法进行问题求解.‎