2013届高考数学一轮复习 立体几何中的向量方法

2013届高考数学一轮复习 立体几何中的向量方法

‎2013届高考一轮复习 立体几何中的向量方法 一、选择题 ‎1、如图所示,正方体ABCD-中,E、F分别是正方形和ABCD的中心,G是的中点,设GF、与AB所成的角分别为、则等于( ) ‎ A.120 B‎.60 C.75 D.90 ‎ ‎2、在正方体ABCD-中,若E为的中点,则直线CE垂直于( ) ‎ A.AC B.BD ‎ C. D. ‎ ‎3、如图,在长方体ABCD-中则与平面所成角的正弦值为… ( ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4、 设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若∥则k等于( ) ‎ ‎ ‎ A.2 B.-4 ‎ C.4 D.-2 ‎ ‎5、如图,在正方体ABCD-中,棱长为a,M、N分别为和AC上的点则MN与平面的位置关系是( ) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.相交 B.平行 ‎ C.垂直 D.不能确定 ‎ ‎6、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b那么这条斜线与平面的夹角是( ) ‎ ‎ ‎ A.90 B‎.60 C.45 D.30 ‎ ‎7、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( ) ‎ ‎ ‎ A.75 B‎.60 C.45 D.30 ‎ ‎8、在正方体ABCD-中,M、N分别为棱和的中点,则sin的值为( ) ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9、下列命题中,正确命题的个数为( ) ‎ ‎①若nn分别是平面的法向量,则n∥n∥;②若nn分别是平面的法向量,则nn;③若n是平面的法向量,向量a与共面,则na=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. ‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4 ‎ 二、填空题 ‎10、如图,在正三棱柱ABC中则二面角ABC的余弦值为 . ‎ ‎ ‎ ‎11、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形底面ABCD,点E是棱PB的中点.则直线AD与平面PBC的距离为 . ‎ ‎ ‎ ‎12、长方体ABCD-中E为的中点,则异面直线与AE所成角的余弦值为 . ‎ ‎13、正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 . ‎ 三、解答题 ‎14、如图,在四棱锥P-ABCD中底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点. ‎ ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值. ‎ ‎15、如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-是正方体,其中. ‎ ‎ ‎ ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)求平面PAD与平面所成锐二面角的余弦值. ‎ ‎16、如图,已知等腰直角三角形RBC,其中,RB=BC=2.点A、D分别是RB、RC的中点,现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置,使连接PB、PC. ‎ ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)求二面角A-CD-P的平面角的余弦值. ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D ‎ 解析:建立坐标系如图,则 ‎ B(2,0,0),A(2,2,0),G(0,0,1),F(1,1,0),E(1,2,1). ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎∴cos ‎ cos ‎∴cossin ‎ cossin ‎∴. ‎ ‎2、B ‎ 解析:如图所示,易证平面又平面∴. ‎ ‎ ‎ ‎3、D ‎ 解析:以D点为坐标原点,以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略), ‎ 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0 ‎ ‎∴且为平面的一个法向量. ‎ ‎∴cos. ‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎4、C ‎ 解析:∵∥∴(-2, ‎ ‎∴∴k=4. ‎ ‎5、B ‎ 解析:∵正方体棱长为 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 又∵是平面的法向量, ‎ 且 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴MN∥平面. ‎ ‎6、D ‎ 解析:cos因此a与b的夹角为30. ‎ ‎7、C ‎ ‎8、B ‎ 解析:设正方体棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴为z轴建立空间直角坐标系,可知 ‎ ‎∴cos ‎ ‎∴sin. ‎ ‎9、C ‎ 解析:结合平面法向量的概念,易知①②③④正确,故选D. ‎ 二、填空题 ‎10、 ‎ 解析:如图建立空间直角坐标系, ‎ 则A(0 ‎ ‎. ‎ 设n=(x,y,z)为平面的法向量, ‎ 则 ‎ 取n ‎ 取m=(0,0,1),作为平面ABC的法向量.则cos. ‎ ‎∴二面角-AB-C的余弦值为. ‎ ‎11、 ‎ 解析:如图,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系A-xyz. ‎ 设D(0,a,0),则. ‎ 因此 ‎ ‎ ‎ 则所以平面PBC. ‎ 又由AD∥BC知AD∥平面PBC,‎ 故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为||. ‎ ‎12、 ‎ 解析:建立坐标系如图, ‎ 则A(1,0,0),E(0,2,1), B(1 ‎ ‎ ‎ cos. ‎ ‎13、30 ‎ 解析:如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. ‎ ‎ ‎ 设OD=SO=OA=OB=OC=a, ‎ 则A(a,0,0),B(0,a,0), ‎ C(-a,0,0) ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1), ‎ 则cos ‎ ‎∴, ‎ ‎∴直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30. ‎ 三、解答题 ‎14、 解:以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).‎ 设AD=a,则D(0,0,0), ‎ A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0), ‎ ‎0,a),. ‎ ‎(1)证明:∵0, ‎ ‎∴∴. ‎ ‎(2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z), ‎ 由 得 ‎ ‎ ‎ 即 取x=1,则y=-2,z=1, ‎ ‎∴n=(1,-2,1), ‎ ‎∴cos. ‎ 设DB与平面DEF所成角为则sin. ‎ ‎15、 解:以为原点所在直线为x轴所在直线为y轴所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系, ‎ 则 ‎ D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4). ‎ ‎(1)证明:∵ ‎ ‎∴0, ‎ ‎∴. ‎ ‎(2)平面的法向量为. ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则nn. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 取n=(0,-2,1), ‎ 设所求锐二面角为则 ‎ cos. ‎ ‎16、解:(1)证明:点A、D分别是RB、RC的中点, ‎ ‎∴AD∥ ‎ ‎∴, ‎ ‎∴∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴平面PAB. ‎ ‎∵平面PAB,∴. ‎ ‎(2)方法一:取RD的中点F,连接AF、PF. ‎ ‎∵RA=AD=1, ‎ ‎∴. ‎ ‎∵ ‎ ‎∴平面RBC. ‎ ‎∵平面RBC, ‎ ‎∴. ‎ ‎∵ ‎ ‎∴平面PAF.‎ ‎∵平面PAF, ‎ ‎∴. ‎ ‎∴是二面角A-CD-P的平面角. ‎ 在Rt△RAD中 ‎ 在Rt△PAF中 ‎ cos. ‎ ‎∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是. ‎ 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. ‎ ‎ ‎ 则D(-1,0,0),C(-2,1,0),P(0,0,1). ‎ ‎∴ ‎ 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则: ‎ ‎ 令x=1,得y=1,z=-1, ‎ ‎∴n=(1,1,-1). ‎ 显然是平面ACD的一个法向量并且二面角A-CD-P的平面角是一个锐角. ‎ ‎∴cos. ‎ ‎∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是.