高中数学第2章常用逻辑用语课时分层作业6命题定理定义含解析苏教版必修第一册

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高中数学第2章常用逻辑用语课时分层作业6命题定理定义含解析苏教版必修第一册

课时分层作业(六) 命题、定理、定义 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.下列语句中是命题的是(  )‎ A.两个奇数的和是奇数吗?‎ B.sin 45°=1‎ C.x2+2x-1>0‎ D.x2+y2=0‎ B [对于A,是疑问句,不是命题;对于C,D,不能判断真假,不是命题;对于B,是陈述句且能判断真假,是命题.]‎ ‎2.下列命题中是假命题的是(  )‎ A.若a>b>c>d,则a+b>c+d B.若|a|=|b|,则a=b C.若ac2>bc2,则a>b D.若A=60°,则cos A= B [因为|a|=|b|,所以 a=b或a=-b,故选B.]‎ ‎3.命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是(  )‎ A.两条直线 B.一条直线 C.垂直 D.两条直线垂直于同一条直线 D [命题的条件是“两条直线垂直于同一条直线”.故选D.]‎ ‎4.已知集合A是整数集Z的非空子集,任取a,b∈A,若a+b∈A,a-b∈A,ab∈A同时成立,并且A中的元素只有有限个,那么满足要求的集合A的个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.无穷多个 B [任取k∈A,根据条件,k+k=2k∈A,2k+k=3k∈A……对于任意正整数n,都有nk∈A,若k≠0,则A中的元素必有无限多个,与条件矛盾,故k必须等于零,则0+0=0-0=0×0=0,满足条件.因此满足要求的集合A的个数为1,故选B.]‎ ‎5.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是(  )‎ A.4 B.2 ‎ - 4 -‎ C.0 D.-3‎ C [由题意知,Δ=a2-4<0,故a=0适合题意.]‎ 二、填空题 ‎6.(一题多空)命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)”的条件p: , 结论q: .它是 命题(填“真”或“假”).‎ a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真 [a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,∴x+y-1≥0表示直线的右上方区域,∴命题为真命题.]‎ ‎7.设A,B是非空集合,定义A×B={x|x∈A∪B且xA∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},则A×B= .‎ ‎{x|0≤x<1或x>3} [∵A,B是非空集合,定义A×B={x|x∈A∪B且xA∩B},A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},∴A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},故A×B={x|0≤x<1或x>3}.]‎ ‎8.命题“关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不等实数解”为真命题,则实数a的取值范围为 .‎ ‎(-∞,0)∪(0,1) [由题意知解得a<1,且a≠0.]‎ 三、解答题 ‎9.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.‎ ‎(1)当ac>bc时,a>b;‎ ‎(2)面积相等的两个三角形全等;‎ ‎(3)当ab=0时,a=0或b=0.‎ ‎[解] (1)若ac>bc,则a>b.‎ 由于ac>bc,c<0时,a0不成立”是真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] 因为ax2-2ax-3>0不成立,‎ 所以ax2-2ax-3≤0恒成立.‎ ‎(1)当a=0时,-3≤0成立;‎ ‎(2)当a≠0时,应满足解之得-3≤a<0.‎ 由(1)(2)得a的取值范围为[-3,0].‎ ‎1.“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”‎ - 4 -‎ 这是唐代诗人王维的《相思》,这首诗中,在当时条件下,可以作为命题的是(  )‎ A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 A [“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题,故选A.]‎ ‎2.设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z且∀a,b,c∈T有abc∈T,∀x,y,z∈V有xyz∈V,有结论:‎ ‎①T,V中至少有一个关于乘法是封闭的;‎ ‎②T,V中至多有一个关于乘法是封闭的;‎ ‎③T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的;‎ ‎④T,V中每一个关于乘法都是封闭的.‎ 其中结论恒成立的是 .‎ ‎① [①因为T∪V=Z,故必有1∈T或1∈V,不妨设1∈T,则令c=1,‎ 依题意对∀a,b∈T,有ab∈T,‎ 从而T关于乘法是封闭的;‎ 同理当1∈V时,可得V关于乘法是封闭的;‎ 故①是恒成立的;‎ 若T={奇数},V={偶数},显然两者都关于乘法是封闭,故②③均不恒成立;‎ 取T=N,则V为所有负整数组成的集合,显然T关于乘法是封闭的,但V关于乘法是不封闭的,如(-1)×(-2)=2V,故④也不是恒成立的.故答案为①.]‎ ‎3.下列命题是真命题的是 .‎ ‎①0是{0,1,2}的真子集;‎ ‎②关于x的方程x2+|x|=0有四个实数根;‎ ‎③设a,b,c是实数,若a>b,则ac2>bc2;‎ ‎④若a≠0,则(a2+1)2>a4+a2+1.‎ ‎④ [对于①,0是集合{0,1,2}的元素,不是真子集,故①是假命题;对于②,由x2+|x|=0得|x|=0,所以x=0,方程有一个实数根,故②是假命题;‎ 对于③,当c=0时,ac2=bc2,故③是假命题;‎ 对于④,当a≠0得(a2+1)2=a4+‎2a2+1>a4+a2+1,故④是真命题.]‎ ‎4.设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是 .‎ ‎56 [由条件一:S是A的子集,满足条件的有26=64(个);‎ - 4 -‎ 由条件二:在条件一的64个集合中,和B交集为空集的,必然不含元素4,5,6,那集合应该是{1,2,3}的子集,有23=8(个).‎ 因此,满足两个条件的集合的个数为64-8=56(个).]‎ ‎5.已知A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.‎ ‎[解] 若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>,则x>‎1”‎.由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>”.由命题为真命题可知≤1,解得a≤4.故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x>”.‎ - 4 -‎
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