重庆市南开中学2020届高三上学期教学质量检测数学（理）试题

重庆市南开中学2020届高三上学期教学质量检测数学（理）试题

重庆南开中2020级高三第二次教学质量检测考试 数学（理科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了三角函数的计算，属于基础题型.‎ ‎2.复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A. 2 B. ‎ C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数计算公式化简得到答案.‎ ‎【详解】，虚部为 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型.‎ ‎3.“命题为假”是“命题为假”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断每个命题的真假，再确定充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】命题为假，则命题均为假命题，可以推出命题为假，‎ 命题为假，则命题不全为真命题，不能得到命题为假.‎ ‎“命题为假”是“命题为假”的充分不必要条件 故选：A ‎【点睛】本题考查了充分非必要条件，意在考查学生的推理能力.‎ ‎4.的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用定积分公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.如图是定义在上的函数的导函数的图象，则函数的极值点的个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像得到函数的单调区间，判断极值点.‎ ‎【详解】如图所示：设导数的零点分别为 ‎ 则函数在单调递增，单调递减，单调递增，单调递增，单调递减.‎ 故函数在取极大值，在取极小值，在取极大值.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数的极值点，混淆导函数图像和原函数图像是容易发生的错误.‎ ‎6.在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：,，所以,，由上述过程，二元函数，则（ ）‎ A. 29 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目给出的运算法则，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 则；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎7.下列命题中，是假命题的是 A. ，‎ B. ，‎ C. 函数的最小正周期为 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.‎ ‎【详解】A. ，‎ ‎，，即，正确 B. ，，‎ ‎，故，正确 C. 函数的最小正周期为 ‎，最小正周期为，错误 D. ，根据对数运算法则知：，正确 故选：C ‎【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎8.若函数的最小正周期为且其图象关于直线对称，则 A. 函数的图象过点 B. 函数在上是单调递减函数 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 函数的一个对称中心是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算得到，再依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】，最小正周期为 ‎ 图象关于直线对称，所以， ‎ 所以 ‎，A错误；，则函数先增后减，B错误；‎ 函数的图象向右平移个单位得到：，C错误；，D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了三角函数表达式，单调性，平移，对称，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用能力.‎ ‎9.函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取化简得到，设，求导确定函数图像得到答案.‎ ‎【详解】取 设，，在上单调递增，上单调递减 画出函数图像：‎ ‎ 根据图像知：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离转化为图像的交点问题是解题的关键.‎ ‎10.函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题目等价于在的最大值和最小值之差的取值范围，讨论的范围计算最大最小值，综合得到答案.‎ ‎【详解】，，‎ 原题等价于在的最大值和最小值之差的取值范围 不失一般性：设 ‎ 当时：最大值最小值差为，满足：‎ 当是取最大值1，当时取最小值 当时：最大值最小值差为，满足：‎ 当时：最大值最小值差为，满足：‎ 当时有最大值为，且 综上所述：最大值与最小值之差的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，分类讨论是一个常用的方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力.‎ ‎11.已知内角对应的边长分别是，且，，，则的值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，作的角平分线与交于点，根据余弦定理得到 ‎，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：作的角平分线与交于点 ‎ 则 ，设，则，分别利用余弦定理得到：‎ ‎ ，‎ 故， ‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力.‎ ‎12.函数存在两个不同零点，，函数存在两个不同零点，，且满足，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导根据有两个零点得到；再根据二次函数有两个解得到，根据零点的大小关系得到，消元得到，构造函数计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 当时，恒成立，单调递增，最多有一个零点，不满足 当时，在上单调递增，上单调递减 满足，解得 ‎ 综上所述：‎ 函数存在两个不同零点，则或 故 零点满足，则且 又因为，代换得到 考虑函数，验证知，，‎ 在上单调递增，上单调递减 故，解得 ‎ 此时，，满足 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.‎ 二、填空题：‎ ‎13.函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到恒成立，化简得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】在恒成立 即恒成立，故 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知，，则锐角______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，利用和差公式展开得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.过点且和函数的图象相切的直线的斜率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点，求导得到，验证知是方程的解，再确定 单调递增，得到答案.‎ ‎【详解】设切点为，‎ 故 即，验证知是方程的解.‎ 函数单调递增，故是唯一解.‎ 此时 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题，验证解方程再判断唯一解是常用的方法，需要同学们熟练掌握.‎ ‎16.已知函数，若，分别为的最小值点和最大值点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，函数化简为，得到，，再利用和差公式展开得到答案.‎ ‎【详解】，设 ‎ ‎，此时 ‎ ‎，此时 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，且，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用二倍角公式得到，再计算得到答案.‎ ‎（2）根据面积公式得到，代入余弦定理计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎.‎ ‎（2）‎ 由余弦定理得：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎18.某团购网站为拓展业务，与某品牌新产品签订代销合同，以拟定的价格进行试销，试销半年后，营销部门得到一组1～9月份的销售量与利润的统计数据如表：‎ 附：，，.‎ ‎（1）根据1～7月份的统计数据，求出关于的回归直线方程.‎ ‎（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问由（1）所得回归直线方程是否理想？‎ ‎【答案】（1）；（2）回归直线的方程是理想的.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用公式计算得到，，得到答案.‎ ‎（2）根据公式计算剩余两个数据，计算误差得到答案.‎ ‎【详解】（1）由已知条件得：，‎ ‎，‎ 关于的回归直线方程为.‎ ‎（2）当时，，此时 当时，，此时 ‎∴所得回归直线的方程是理想的.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.‎ ‎19.已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，下顶点为，离心率为，且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点在椭圆上，且以为直径的圆过点，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据条件得到，计算得到答案.‎ ‎（2）根据条件得到直线方程为，联立方程组解得，计算得到到答案.‎ ‎【详解】（1） 计算得到：，，‎ 所以椭圆标准方程为 ‎（2）以为直径的圆过点，即，，.‎ 则直线方程为，与椭圆联立 解得点坐标为,所以.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，其中将以为直径的圆过点转化为垂直关系是解题的关键.‎ ‎20.已知函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求函数的解析式：‎ ‎（2）已知角满足：且，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）化简函数得到，根据周期为，计算得到答案.‎ ‎（2）代入数据得到，计算得到，最后利用齐次式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ 由条件可得，所以，则 ‎（2）‎ 又 ‎∴原式 ‎【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌握.‎ ‎21.已知函数，，其中.‎ ‎（1）求函数在的值域；‎ ‎（2）用表示实数，的最大值，记函数，讨论函数的零点个数.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，讨论和得到函数在单调递增，计算得到答案.‎ ‎（2）时，恒成立，当时，恒成立，故的零点即为函数的零点，讨论在的零点个数得到答案.‎ ‎【详解】（1） ‎ 当时，，，所以 当时，，，所以 所以：当时，成立，即函数在单调递增 所以函数在的值域为，即值域为.‎ ‎（2）函数的定义域为 由（1）得，函数单调递增，‎ 当时，，又，‎ 所以时，恒成立，即时，无零点.‎ 当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点 下面讨论函数在的零点个数 ‎，所以 Ⅰ、当时，因为， ‎ 又函数在区间递减，所以 即当时，，‎ 所以单调递减，由得：当时，递增 当时，递减 当时，，当时 又，‎ 当时，函数有1个零点；‎ 当时，函数有2个零点；‎ 当时，函数有3个零点；‎ Ⅱ、当时，，由Ⅰ得：当时，，递增，‎ 当时，，递减，所以，，‎ 所以当时函数有2个零点 Ⅲ、当时，‎ ‎，，即成立，由，‎ 所以当时函数有1个零点 综上所述：当或时，函数有1个零点；‎ 当或时，函数有2个零点；‎ 当时，函数有3个零点.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，零点个数，综合性强，分类讨论是函数问题的常用方法，需要熟练掌握.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若过原点的直线与曲线，分别相交于异于原点的点，，求的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程公式和极坐标公式计算得到答案.‎ ‎（2）得到曲线的极坐标方程，得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）消去得到 ‎，等式两边同乘可得，‎ 且代入化简得 ‎（2）由曲线，的极坐标方程为，.‎ ‎，当时取得等号.故最大值为4‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）对，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数表示为分段函数，分别解不等式综合得到答案.‎ ‎（2）求函数最大值为，得到不等式，计算得到答案.‎ 详解】（1）当时，‎ 或或解得或或 综上所述：原不等式的解集为.‎ ‎（2）取数轴上点表示，点表示，动点表示 则表示 ‎ ‎，当时等号成立.‎ 最大值为 ‎（当且仅当时等号成立）‎ 要使恒成立，只需 平方解得：或.‎ ‎【点睛】本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最大值最小值问题是解题的关键.‎ ‎ ‎