专题3-4 专题突破：高考中的数列与不等式问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

专题3-4 专题突破：高考中的数列与不等式问题-2017年全国高考数学考前复习大串讲

题型一　等差数列、等比数列的综合问题 例1　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．‎ ‎【思维升华】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 ‎(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．‎ ‎(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．‎ ‎【跟踪训练1】已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 题型二　数列的通项与求和 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.‎ ‎(1)证明：数列{}是等比数列；‎ ‎(2)求通项an与前n项的和Sn.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)证明　∵a1＝，an＋1＝an，‎ 当n∈N*时，≠0.‎ 又＝，∶＝(n∈N*)为常数，‎ ‎∴{}是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎(2)解　由{}是以为首项，为公比的等比数列，‎ 得＝·()n－1，∴an＝n·()n.‎ ‎∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，‎ Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，‎ ‎∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1‎ ‎＝－n·()n＋1，‎ ‎∴Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n.‎ 综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n. 学科*网 ‎【思维升华】　‎ ‎(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．‎ ‎(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等．‎ ‎【跟踪训练2】　在等比数列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.‎ ‎(1)求{an}的通项an；‎ ‎(2)若cn＝，求{cn}的前n项和Sn.‎ 所以＝＝q2，‎ 解得 所以an＝16×n－1＝25－n (n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)知an＝25－n，所以bn＝5－n (n∈N*)，‎ 所以cn＝＝，‎ 所以Sn＝－(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]‎ ‎＝－(1－＋－＋－＋…＋－)‎ ‎＝－(1－)＝ (n∈N*)．‎ 题型三　数列与其他知识的交汇 命题点1　数列与函数的交汇 例3　(2017·温州十校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎∴an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)∵bn＝＝ ‎＝2，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝＋＋…＋ ‎＝2 ‎＝2 ‎＝.‎ 命题点2　函数与不等式的交汇 例4　已知等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【变式1　已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立.‎ ‎【思维启迪】‎ ‎(1)先求an，再构造等比数列求bn；‎ ‎(2)不等式cn＋1>cn恒成立，可以转化为求函数的最值问题.‎ ‎【思维升华】数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.‎ ‎【变式2】已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：Sn＋≤(n∈N*).‎ ‎【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为－2S2，S3,4S4成等差数列，‎ 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，‎ 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.‎ 又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为 an＝×n－1＝(－1)n－1·.‎ 故对于n∈N*，有Sn＋≤.‎ 命题点3　数列应用题 例5　某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．‎ ‎(1)求该企业2014年年底分红后的资金；‎ ‎(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．‎ ‎【解析】　设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，‎ 则a1＝2×1 000－500＝1 500，‎ a2＝2×1 500－500＝2 500，…，‎ an＝2an－1－500(n≥2)．‎ ‎∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，‎ 即数列{an－500}是以a1－500＝1 000为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎∴an－500＝1 000×2n－1，‎ ‎∴an＝1 000×2n－1＋500.‎ ‎(1)∵a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，‎ ‎∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元．‎ ‎(2)由an＞32 500，即2n－1＞32，得n＞6，‎ ‎∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．‎ 思维升华　数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型．‎ ‎【跟踪训练3】　设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.‎