山东省潍坊市第一中学2020届高三下学期3月测试数学试题

山东省潍坊市第一中学2020届高三下学期3月测试数学试题

高三数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)‎ ‎1．设函数的定义域A，函数y=ln(1－x)的定义域为B，则AB=‎ A．(1,2) B．(1,2] ‎ C．(−2,1) D．[−2,1)‎ ‎2．对于n个复数z1，z2，…zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，…kn，使得k1 z1+k2z2+…knzn=0，就称z1，z2，…zn线性相关，若复数z1=1+2i，z3=1－i，z3=－2线性相关，则k1：k2：k3的值可以为 A．2:4:3 B．1:3:2 ‎ C．1:2:3 D．3:4:2‎ ‎3．已知向量= (1,1), =(4,3), =(x,2)，若，则x的值为 A．4 B．－‎4 ‎ C．2 D．－2‎ ‎4、函数的大致图象为 ‎5．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若 sinα=，则cos(α－β)=‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．下图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是 A．这15天日平均温度的极差为‎15℃‎ B．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天 C．由折线图能预测16日温度要低于‎19℃‎ D．由折线图能预测本月温度小于‎25℃‎的天数少于温度大于‎25℃‎的天数 ‎7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列最接近的是(注：lg3≈0.477）‎ A．10-26‎ B．10-35‎ C．10-36‎ D．10-25‎ ‎8．已知抛物线y2=2px上不同三点A，B，C的横坐标成等差数列则下列说法正确的是 A．A，B，C的纵坐标成等差数列 ‎ B．A，B，C到x轴的距离成等差数列 C．A，B，C到点O(0,0)的距离成等差数列 ‎ D．A，B，C到点的距离成等差数列 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎9．设正实数a，b满足a+b=1，则 A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值1 D．a2+b2有最小值 ‎10．已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是 A．BD⊥CM B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形 C．DM与BC不可能垂直 D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°° ‎11．已知双曲线(a＞0，b,0)的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有 A． B．直线PA1，PA2的斜率之积等于定值 C．使得△PF‎1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个D．△PF‎1F2的面积为 ‎12．函数f (x)在[a,b]上有定义,若对任意x1，x2∈[a，b],有,则称f（x）在[a, b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,则下列选项是真命题的是 A. f ( x)在[1,3]上的图像是连续不断的 B.f(x2)在[1, ]上具有性质P C.若f (x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3] Î D.对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3]Î,有 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.如图所示，一名男生扔铅球，铅球上升高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是，则铅球落地时，铅球速度方向与地面所成的角是__________。‎ ‎14．人的某一特征（如单双眼皮）是由他的一对基因决定的，以D表示显性基因，d表示隐性基因，则具有DD基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有dd基因的人是隐性纯合子表现为单眼皮，具有Dd基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某一特征.孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子.则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩概率是___________________。‎ ‎15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28．记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.90]=0，[lg99] =1，则=b2019b2020=___________。‎ ‎16.已知正方体ABCD−A1B‎1C1D1的棱长为1，动点P在正方体的表面上运动，且与点A的距离为.动点P的集合形成一条曲线，这条曲线在平面CDD‎1C1上部分的形状是___________，整条曲线的周长是________________‎ 四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）已知等差数列{an}满足a1= a2 +4且a18+a20=12，等比数列{bn}的首项为2，公比为q.‎ ‎（1）若q=3，问b3等于数列{an}中的第几项？‎ ‎（2）若q=2，数列{an}和{bn}的前n项和分别记为Sn和Tn，Sn的最大值为M，试比较M与T9的大小.‎ ‎18．（12分）已知在△ABCD中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，=(sinA+cosC，sinA)，=（cosC－sinA，－sinC），若 ‎(1)求角B；‎ ‎(2)若b=3，求△ABC面积的最大值.‎ ‎19．（12分）在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中 BS=2，BA=2，BC=λ，λ的可能取值为：①；②；③；④；‎ ‎⑤λ=3l ‎（1）求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值；‎ ‎（2）若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE,则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.‎ ‎ 第19题图 ‎20．（12分）‎ 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：‎ ‎(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；‎ ‎(II)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率．求X的分布列和数学期望；‎ ‎(III)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数f(x)=xlnx.‎ ‎（1）求 f(x)的单调区间与极值；‎ ‎（2）若不等式对任意x∈[1，3]恒成立，求正实数λ的取值范围.‎ ‎22．（12分）给定椭圆(a＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为，点在C上．‎ ‎(I)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；‎ ‎(Ⅱ)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点，且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长为定值．‎ 高三数学试题答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B D A B C D AD ABD BC CD 二、填空题 ‎13. 14. 0.375 15. 9 16.圆弧、‎ 三、解答题 ‎17.【解析】(1)因为等差数列{an}满足a1= a2 +4‎ 即 a2－a1 =－4,所以等差数列{an}的公差d=−4‎ 又a18+a20=12‎ 得a1+17d+a1+19d=12,代入可得a1=78‎ 所以an=a1+(n－1)d=78+(n－1)(－4)=－4n+82 ----------------------2分 当等比数列{bn}的首项为2,公比为q.‎ 当q=3时 bn=b1qn－1=2×3n－1‎ 所以b3=b1q2=2×32=18 -----------------------------4分 所以当18=－4n+82时 解得n=16‎ 即q=3时b3等于数列{an}中的第16项 -----------------------------5分 ‎(2)等比数列{bn}的首项为2,若q=2‎ 由可得 ------------------------6分 又等差数列{an}中代入可得 ‎ ----------------------9分 所以当n=20时，Sn的最大值为M=800‎ 所以M＜T9< ---------------------------10分 ‎18.【解析】（1）由题意知 ‎1－sin‎2C－sin‎2A－sinAsinC=1－sin2B，‎ sin‎2A+sin‎2C+sinAsinC=sin2B ………………………………3分 由正弦定理：a2+c2+ac=b2，‎ a2+c2－b2=－ac=2accosB，∴‎ ‎∵0＜B＜π，∴ ………………………………………6分 ‎（2）由余弦定理：b2=a2+c2－2accosB，‎ ‎∴9= a2+c2+ac≥‎‎3ac ‎∴ac≤3，当且仅当a=c时，(ac)max=3， ………………………………………10分 ‎∴S△ABC= ………………………………………12分 ‎19.【解析】解：‎ ‎（1）因为SB⊥底面ABCD,所以∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角，在Rt△SBA中，sin∠SAB=sin45°= .……………2分 ‎（2）以B为坐标原点，以BC、BA、BS的方向分别为x轴、y轴z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：‎ B(0,0,0)，A(0,2,0),D(λ,2,0),S(0,0,2). ……………4分 设，所以，‎ ‎ ……………6分 因为x∈[0,2], ，所以在所给的数据中，λ可以取①②③‎ ‎……………8分 ‎（3）由（2）知，此时，或，即满足条件的点E有两个，‎ 根据题意得，其坐标为和), ……………9分 因为SB⊥平面ABCD，所以SB⊥BE1, SB⊥BE2,‎ 所以，∠ E1BE2是二面角E1−SB−E2的平面角 .……………10分 由 由题意得二面角E1−SB−E2为锐角，‎ 所以二面角E1−SB−E2的大小为30° ……………12分 ‎（用向量法也相应得分）‎ ‎20.解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，…1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，………2分 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率 ‎ …………………………3分 ‎（Ⅱ）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2. ………………4分 因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是 ………………5分 所以， ………………6分 ‎， ………………7分 ‎ .………………8分 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ………………9分 故 .………………10分 ‎（Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.‎ 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：‎ 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：‎ 乘坐飞机的人满意度均值为：‎ 因为，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市 .………12分 ‎21.【解析】（1）f＇(x)=1+lnx，，定义域为(0，+∞)，‎ f＇(x)＞0, ,f＇(x)＜0,0＜x＜‎ ‎∴f(x)的单减区间为，f(x)的单增区间为，‎ ‎∴，无极大值 ………………………………4分 ‎（2）‎ ‎∵,‎ ‎∴ ……………………………………6分 ‎∵‎ ‎∴由（1）知f (x)在上单增，∴‎ ‎∴，即…………………………………………7分 令，则，‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴k(x)在[1,3]上单减，，，‎ ‎∴，k(x0)=0且在(1，x0)上，k(x)＞0，h＇(x)＞0，h(x)单增，‎ 在(x0,3)上，k(x)＜0，h＇(x)＜0，h(x)单减 ……………………………………10分 ‎∴,‎ ‎∴h(1)＞h(3)，∴0＜λ≤ ……………………………………12分 ‎22.解：(Ⅰ)由条件可得: 解得,b=2‎ 所以椭圆的方程为， ···············3分 卫星圆的方程为 ······················4分 ‎（II）①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，‎ 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，‎ 当l1方程为时，此时l1与“卫星圆”交于点和，‎ 此时经过点 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=2或y=−2，即l2为y=2或y=−2，‎ ‎∴l1⊥l2‎ ‎∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴ ··········7分 ‎②当l1, l2都有斜率时，设点P(x0,y0)，其中 设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x－x0)+y0,‎ 则消去y得到 ‎ ……9分 ‎∴ ···················10分 ‎∴ …………………………11分 所以t1·t2=－1，满足条件的两直线l1, l2垂直.‎ ‎∴线段MN应为“卫星圆”的直径，∴‎ 综合①②知：因为l1, l2经过点P(x0,y0)，又分别交其卫星圆于点M, N，且l1, l2垂直，‎ 所以线段MN为卫星圆的直径，∴为定值 …………12分