专题2-5 数列中的最值问题（测）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测

专题2-5 数列中的最值问题（测）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测

‎2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】‎ 测---能力提升 热点五 数列中的最值问题 总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______ ‎ （一） 选择题（12*5=60分）‎ ‎1.已知是等差数列的前项和，，，若，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由已知且，可得，因此，即，故选D.‎ ‎2.数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（ ）‎ A．17 B．16 C．15 D．14‎ ‎【答案】C ‎3.等差数列{}前n项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．是中的最大值 B．是中的最小值 C．=0 D．=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设等差数列的公差为，①若，可排除A，B；②，可设，∵，∴，∴ ；故选D．‎ ‎4.设等差数列满足，；则数列的前项和中使得取的最大值的序号为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎5.已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 得 故，当n=9或n=10时，的最大值为或,.‎ ‎6.已知，数列 的前项和为，则使的n最小值：（ ）‎ A．99 B．100 C．101 D．102‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由通项公式得=====0，= 故选C.‎ ‎7.【2018届高三训练】在正数组成的等比数列{an}中，若a1a20＝100，则a7＋a14的最小值为(　　)‎ A. 20 B. 25‎ C. 50 D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】为正数组成的等比数列， ‎ 当且仅当时， 取最小值 故选 ‎8.已知正整数成等比数列，公比，则取最小值时，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎9.设等差数列的前n项和为，已知，当取得最小值是，（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为，所以，因为，故，所以，令，得，所以当取得最小值时．‎ ‎10. 已知数列中满足，，则的最小值为（ ）‎ A．7 B． C．9 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，，，，将以上个式子相加，得，所以，‎ ‎，令，，当时，，‎ 当，，，，故最小最值，故答案为D．‎ ‎11.若在数列{an}中，对任意正整数n，都有 (p为常数)，则称数列{an ‎}为“等方和数列”，称p为“公方和”，若数列{an}为“等方和数列”，其前n项和为Sn，且“公方和”为1，首项a1＝1，则S2 014的最大值与最小值之和为( )‎ A. 2 014 B. 1 007‎ C. －1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知， ，‎ 首项a1＝1，∴a2＝0，a3＝±1，a4＝0，a5＝±1，…，‎ ‎∴从第2项起，数列的奇数项为1或－1，偶数项为0，‎ ‎∴S2 014的最大值为1 007，最小值为－1 005，‎ ‎∴S2 014的最大值与最小值之和为2.‎ 本题选择D选项.‎ ‎12.【2018届河北省定州市定州中学高三上期末】若正项递增等比数列满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为q（q＞1），1+（a2-a4）+λ（a3-a5）=0，可得λ=则a8+λa9=a8+令，（t＞0），q2=t+1，则设f（t）=当t＞时，f（t）递增； 当0＜t＜时，f（t）递减． 可得t=处，此时q=，f（t）取得最小值，且为，则a8+λa9的最小值为；‎ 故选C.‎ （一） 填空题（4*5=20分）‎ ‎13.【2018届山东省曲阜市高三上期中】若等差数列满足，则当 ‎__________时， 的前项和最大．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大.‎ ‎14.【2018届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三1月检测】等差数列中， ，公差，则使前项和取得最大值的自然数是__________．‎ ‎【答案】5或6‎ ‎【解析】∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3=-a9，∴a1+2d=-a1-8d，∴a1+5d=0，∴a6=0，∴an＞0（1≤n≤5）， ∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6．‎ 故答案为5或6.‎ ‎15.【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】已知数列中，前项和为，且，则的最大值为_________‎ ‎【答案】2 ‎ ‎16.【2018届四川省广元市高三第一次高考适应性统考】若正项递增等比数列满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设正项递增等比数列的公比为 则，根据已知则由 ‎ 即 故 ，设 ，则构造函数 ‎ 求导得 ，可知函数在 上单调递减，在 上单调递增，故当 取得最小值，即 ‎ 即答案为.‎ （一） 解答题题（6*12=72分）‎ ‎17.【2018届西南名校联盟高三元月考试】已知数列为等差数列，公差为，其前项和为，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）若数列满足， ，求满足的所有的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据， ，可分别求出和，即可求出数列的通项公式及前项和；（2）由（1）求出数列的通项公式，然后即可求出满足的所有的值.‎ 试题解析：（1）∵， ， ‎ ‎∴， ，得， ，∴， ‎ ‎∴ ，得，∴ ． ‎ ‎（2）∵， ，‎ ‎∴ ，‎ 又 ‎∴，‎ 故由得 ‎∴或．‎ ‎18.【2018届北京市西城区高三上学期期末】已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项．‎ ‎(I)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列的前项之积为，求的最大值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为 是和的等差中项，‎ 所以 ． ‎ 因为数列是公比为的等比数列，‎ 所以 ， ‎ 解得 ． ‎ 所以 ． ‎ ‎（Ⅱ）令，即，得， ‎ 故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1． ‎ 所以 当，或时， 取得最大值， ‎ 的最大值为 ．‎ ‎19.【2018届江西省莲塘一中、临川二中高三上第一次联考】各项均为正数的数列的前项和为，满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，若数列的前项和为，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 最小值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1），所以或（舍去）‎ 当时， ， ，所以.‎ ‎（2），故，‎ 因为是递增的，所以 令，则，故在上是增函数，‎ 所以是递增的，则有，‎ 所以的最小值为.‎ ‎20.在数列中，时，其前项和满足：.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并用表示；‎ ‎（Ⅱ）令，数列的前项和为求使得对所有都成立的实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）实数的取值范围为.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，‎ ‎，即数列是等差数列，首项，公差 ‎（Ⅱ）‎ 由题即 对于所有都成立 设由题 函数在上是减函数，在上是增函数 故数列从第二项起递减，而，‎ 满足题意的实数的取值范围为.‎ ‎21.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上.‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.‎ ‎【答案】（1） ;（2）10.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，‎ 故Tn＝＝＝（1－）.‎ 因此，要使（1－）<（）成立的m,当且仅当≤，‎ 即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. ‎ ‎22.已知数列的前项和为，，‎ ‎，．‎ ‎（Ⅰ) 求证:数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ) 设数列的前项和为，，点在直线上，若不等式 对于恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ)见解析；（Ⅱ）实数的最大值是．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ)由（Ⅰ)得，因为点在直线上，所以，‎ 故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，‎ 当时，，因为满足该式，所以 所以不等式，即为，‎ 令，则，‎ 两式相减得，‎ 所以，由恒成立，即恒成立，‎ 又，‎ 故当时，单调递减；当时，；‎ 当时，单调递增；当时，；‎ 则的最小值为，所以实数的最大值是.‎