高考圆锥曲线中的定点与定值问题题型总结超全

高考圆锥曲线中的定点与定值问题题型总结超全

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 ‎1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。‎ 解得。‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由题意设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ 设，，‎ 要使其为定值，需满足，‎ 解得.‎ 故定点的坐标为.‎ 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 ‎(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）;（2）直线过定点 ‎【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设，则，‎ 则；‎ 同理： ‎ ‎.‎ 由在直线上（1）；‎ 由在直线上将（1）代入 （2）‎ 将（2）代入方程，即可得出直线过定点．‎ ‎（2）设，则，‎ 则即；‎ 同理： ；‎ ‎.‎ 由在直线上，即（1）；‎ 由在直线上将（1）代入 （2）‎ 将（2）代入方程，易得直线过定点 ‎3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点， 是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.‎ ‎（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；‎ ‎（2）记直线的斜率分别为，求的值.‎ ‎【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）‎ ‎【解析】试题分析;（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可 的值；‎ 因为的重心的纵坐标为，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以，‎ 又 ‎.‎ 所以.‎ ‎4．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，‎ ‎，求证： 为定值．‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.‎ ‎ （Ⅱ）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为,‎ ‎ 将代人得点坐标为， ‎ ‎ 由，消元得，‎ ‎ 设， ，则且， ‎ ‎ 方法一：因为，所以. ‎ ‎ 同理，且与异号， ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ 所以， 为定值.‎ ‎ 当时，同理可得. ‎ ‎ 所以， 为定值.‎ ‎ 同理，且与异号， ‎ ‎ 所以　 ‎ ‎　　　　　　　　 　. ‎ ‎ 又当直线与轴重合时， ， ‎ ‎ 所以， 为定值.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率. ‎ ‎5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点.‎ ‎（1）设的斜率为1，求；‎ ‎（2）求证： 是一个定值.‎ ‎【答案】(1) （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，‎ 由得 ‎∴， ‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴是一个定值.‎ 点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.‎ ‎6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;  (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.‎ ‎【答案】(1) ,(2) O到直线 的距离为定值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；‎ ‎（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；‎ 有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离 ， 当AB的斜率不存在时, ,可得, 依然成立.所以点O到直线的距离为定值 . ‎ 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．‎ ‎7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线渐近线方程为， 为坐标原点，点在双曲线上．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。‎ ‎（Ⅱ）由题意知。‎ 设直线方程为，‎ 由 ，解得，‎ ‎∴。‎ 由直线方程为.以代替上式中的，可得 ‎。‎ ‎∴。 ‎ ‎8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。‎ x1+x2=，x1x2=， ‎ 又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），‎ 因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），‎ 当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）. ‎ ‎9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，若， ，且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2） 设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2)1.‎ ‎【解析】试题分析; （1）设，则，∴ ，设， ，以及， ，由,由椭圆的定义可得，结合，综合可得： ‎ ‎，可得椭圆的方程；‎ ‎（2）由（1）知，直线的方程为： ，由此可得 ‎.，又∵，∴ 的方程为，可得 则可得，又，∴ .，故.‎ 当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.‎ 综上，可知为定值1.‎ 有，则 ‎∵，综合可得： ‎ ‎∴椭圆的方程为： . ‎ ‎（2）由（1）知，直线的方程为： ‎ 即： ，所以 ‎∴.‎ ‎∵，∴ 的方程为，令，可得，∴ ‎ 则 又点到直线的距离为，∴.‎ ‎∴.‎ 当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.‎ 综上， .‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大．‎ ‎10．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．‎ ‎(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；‎ ‎（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.‎ ‎【答案】（1）8；（2）证明见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；‎ ‎（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．‎ 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎11．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 以线段为直径的圆恒过点.‎ 当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为.‎ 故若存在定点，则的坐标只可能为.‎ 下面证明为所求：‎ 若直线的斜率不存在，上述己经证明. ‎ 若直线的斜率存在，设直线， ，‎ ‎∴，即以线段为直径的圆恒过点.‎ 点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。‎ ‎12．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证： 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率，求得，由，得，将点代入，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）设， 直线的方程是与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将用 表示，化简后消去即可得结果.‎ ‎ ‎ ‎（定值），为定值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎13．【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于， 两点， 为坐标原点．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程．‎ ‎（II）设，延长， 分别与椭圆交于， 两点，直线的斜率为，求证： 为定值．‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（I）依题意,得,再由求得,从而可得椭圆的标准方程; ‎ ‎（II）设， 可求得直线的方程为,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得,进一步可求, 同理,从而可得,化简运算即可.‎ 试题解析：‎ ‎（I）由题意，得解得，‎ ‎∴，‎ 故椭圆的方程为．‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知平面内的动点P到定直线l：x＝的距离与点P到定点F(，0)之比为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？‎ ‎【答案】(1) (2) k1·k2＝－ ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1·k2＝－证明原式．‎ 试题解析：‎ ‎(1)设点P(x，y)，依题意，有＝.整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，‎ ‎＋＝1，＋＝1.k1·k2＝·＝＝＝－，为定值．‎ ‎15．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】如图，已知椭圆的左焦点为，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程：‎ ‎(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ 试题解析:‎ ‎（1）由题意可知， ‎ 令，代入椭圆可得，所以，又，‎ 两式联立解得： ， ‎ ‎ . ‎ 又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代替，可得 ‎， ,‎ 所以直线的斜率， ‎ 即直线的斜率为定值，其值为. ‎ 点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎16．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线， ， （在轴的右侧）为曲线上的两点，点，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程．‎ ‎（Ⅱ）若，直线的斜率为，过， 两点的圆与抛物线在点处共同的切线，求圆的方程．‎ ‎（Ⅲ）分别过， 作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证： 与均为定值．‎ ‎【答案】(1) (2) (3)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得曲线为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB方程与抛物线方程解出A,B两点坐标，再利用导数求出在点处的切线的斜率，则得圆心与A连线的直线方程，设圆一般式方程，利用三个条件解方程组得圆的方程．（3）设， ， ，则利用导数求出在点处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，同理可得，即得两根为，利用韦达定理化简直线AB斜率得，即得AB方程为，因此，再根据向量数量积可计算得=0‎ 由，得， ．‎ ‎∵，即，‎ ‎．‎ ‎∴抛物线在点处切线的斜率 ‎．‎ ‎∴圆的方程为，‎ 整理得．‎ ‎（Ⅲ）设， ， ，‎ 过点的切线方程为，‎ 即，‎ 同理得，‎ ‎∴， ，‎ 又∵，‎ 整理得，‎ ‎∴与均为定值．‎ 点睛：1.求定值问题常见的方法有两种 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎2．定点的探索与证明问题 ‎(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．‎ ‎(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．‎ ‎17．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为.‎ ‎（l）求抛物线的方程；‎ ‎（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程，及，，设过点的直线的方程为,代入得,由韦达定理可求得为定值上。‎ ‎（2）∵点在抛物线上，且.‎ ‎∴‎ ‎∴，设过点的直线的方程为，即，‎ 代入得，‎ 设，，则，，‎ 所以.‎ ‎18．如图，椭圆经过点，且离心率为．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）．（）斜率之和为定值．‎ ‎【解析】（1）根据题意知：，，结合，解得：‎ ‎，，，‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ 从而直线，的斜率之和：‎ ‎．‎ 故直线、斜率之和为定值．‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎19．【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求; (2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为： ，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为： 或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）. ‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎20．【云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试】已知动点满足： .‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）动点到点， 的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，从而可求动点的轨迹的方程；（2）直线的方程为： ，由　得，，根据韦达定理可得 ‎，直线的方程为，即可证明其过定点.‎ 所以， ， ‎ 直线的方程为： ，所以，‎ 令，则，‎ 所以直线与轴交于定点.　　　　　　　　　‎