上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 复旦大学附属中学2019学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）‎ ‎1.已知集合，则集合的非空真子集的个数为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据非空真子集个数的计算公式，计算出集合的非空真子集的个数.‎ ‎【详解】由于集合有个元素，故集合的非空真子集的个数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查非空真子集个数的计算，属于基础题.‎ ‎2.若，，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出和，再由集合的混合运算即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 又，所以，‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎3.不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原不等式转化为，解方程组求得原不等式的解集.‎ ‎【详解】原不等式等价于，即，，，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎4.设集合，则下列命题：①，②，②，④中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）.‎ ‎【答案】①②③④.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.‎ ‎【详解】集合，也即集合的元素为两个集合，一个是，另一个是.‎ 对于①，空集是集合的元素，故①正确.‎ 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确.‎ 对于③，是集合的元素，故③正确.‎ 对于④，中含有元素，故④正确.‎ 故答案为：①②③④.‎ ‎【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题.‎ ‎5.若的定义域为R，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把的定义域为，转化为在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为R，‎ 即在上恒成立，‎ 根据二次函数的性质，则满足，即，解得，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6.如果全集含有个元素，都是的子集，中含有个元素，含有个元素，含有个元素，则含有__________个元素.‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合的元素个数.‎ ‎【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合的元素个数为个.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要集合交集、补集的运算，考查全集的概念，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7.已知的周长为定值，则它的面积最大值为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】设三条边长分别为，其中为斜边长，所以，，，所以，所以，则三角形的面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎8.若在区间上为奇函数，则t的取值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】奇函数的定义域关于原点对称，且区间的右端点不比左端点小，有．‎ 解得．‎ ‎9.已知不等式解集非空，则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零点分段法，求得的最小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】令，则，所以，要使不等式解集非空，则需.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法去绝对值，考查分段函数的性质，考查存在性问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎10.对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合. 已知集合，，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 解不等式求得集合与集合，根据新定义函数以及新定义集合的概念，求得中的取值范围.‎ ‎【详解】当时，由两边平方并化简得，即，解得，由于，故的范围是.‎ 当时，恒成立，故的取值范围是.‎ 综上所述，.故①.‎ 由，解得或，故.故②.‎ 要使，由①②可知，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.‎ ‎11.若实数满足，求的最小值为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程转化为关于的函数，画出函数的图像，根据线性规划的知识，求得的最小值.‎ ‎【详解】依题意，验证可知，故可化为（，），画出其图像如下图所示.将基准目标函数向上平移到点时，取得最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据方程求线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.已知时，对任意，有恒成立，则的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件的为方程的根,化简为一元函数,再求取值范围.‎ ‎【详解】因为对任意，有恒成立，所以为方程的根,即,‎ 因为,所以或，即或.‎ ‎【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）‎ ‎13.命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（ ）‎ A. 若不正确，则不正确 B. 若不正确，则正确 C. 若正确，则不正确 D. 若正确，则正确 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．‎ ‎【详解】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：‎ ‎“若q不正确，则p不正确”‎ 其等价命题是它的逆否命题，即 ‎“若p正确，则q正确”‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．‎ ‎14.已知，则“，”是“不等式”成立的（ ）条件.‎ A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简不等式为，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.‎ ‎【详解】不等式等价于.‎ 故当“，”时，，故，即“不等式”成立.‎ 当“不等式”成立时，，可能，故不能推出“，”.‎ 所以“，”是“不等式”成立的充分非必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎15.定义在上的偶函数满足对任意，有，则当时，有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，由此判断出的大小关系.‎ ‎【详解】依题意可知，函数满足对任意，有，也即函数在上单调递增，由于为偶函数，故函数在上单调递减.而，且，故，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性比较大小，属于基础题.‎ ‎16.设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）‎ A. 对任意，是的子集；对任意的，不是的子集 B. 对任意，是的子集；存在，使得是的子集 C. 存在，使得不是的子集；对任意的，不是的子集 D. 存在，使得不是的子集；存在，使得是的子集 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证得是的子集，然后求得使是的子集，由此确定正确选项。‎ ‎【详解】对于和，由于时，所以的元素，一定是的元素，故对任意，是的子集.‎ 对于和，根据判别式有，即时，，满足是的子集，也即存在，使得是的子集.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）‎ ‎17.已知集合，，其中.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），或；‎ ‎（2）或或或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合中元素可能取值.‎ ‎（1）根据，判断出是集合的元素，由此求得的值，进而求得集合，由此确定的值.‎ ‎（2）根据为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定的取值范围.‎ ‎【详解】由，解得或.‎ ‎（1）当，所以是集合的元素，所以，解得，所以.若，此时，符合.若，此时，符合.故，或.‎ ‎（2）由于，‎ 当时，由判别式得，解得，此时.‎ 当为单元素集时，由判别式得，解得或.当时，，要使，则.当时，，，要使，则.‎ 当为双元素集时，由（1）知，.‎ 综上所述，的取值范围为或或或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎18.设，，且.‎ 证明：(1) ；‎ ‎(2) 与不可能同时成立．‎ ‎【答案】(1)见解析 ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.‎ ‎(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.‎ 试题解析：‎ 由,,得. ‎ ‎(1)由基本不等式及,有,即 ‎ ‎(2)假设与同时成立, ‎ 则由及a>0得0

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