考点20 平面向量-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点20 平面向量-2018版典型高考数学试题解读与变式

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点20 平面向量 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解向量的实际背景．‎ ‎2.了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ ‎3.了解平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎5.理解平面向量的概念及向量的几何表示，理解两个向量相等的含义．‎ ‎6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎7.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．‎ ‎8.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎9.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 ．‎ ‎10.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎11.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．‎ ‎12.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎13.会用向量方法解决某些简单的实际问题．‎ ‎14会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎【命题规律】 ‎ ‎ 高考对平面向量的考查，在选择题或填空题中一般是平面向量的线性运算、坐标运算，用向量方法解决平面几何问题，在解答题中也会出现与共线向量、数量积有关的问题.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）平面向量的坐标运算 例1.【2017山东卷】已知向量a=（2,6）,b= ，若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，解得.‎ ‎【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:‎ ‎（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可 设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ ‎(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.‎ ‎【变式1】【改变条件】已知向量a=（2,6），ab= ，若，则 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由已知可得，因为，所以，解得.‎ ‎【变式2】【改变结论】已知向量a=（2,6），b= ，若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，解得，所以.‎ 例2.【2017新课标卷】已知向量，且，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得：，所以. ‎ ‎【名师点睛】向量垂直：.‎ ‎【变式1】【改变例题中的条件】已知向量，（，1）．若向量与垂直，则________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由题得，因为向量与垂直，所以，‎ 所以，解得.‎ ‎【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，.所以，‎ 所以.‎ ‎（二）平面向量的夹角 例3. 【2016北京卷】已知向量 ，则a与b夹角的大小为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.‎ ‎【变式1】【改变已知条件】已知向量，，则a与b夹角的大小为_________.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，因为，‎ 所以.‎ ‎【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，若a与b夹角为，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，因为，‎ 所以，所以.‎ ‎（三）数量积的运用 例4.【2017天津卷】在△ABC中，，AB=3，AC=2. 若，‎ ‎（），且，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，，‎ 所以， 所以.‎ ‎【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.‎ ‎【变式1】【改变例题的条件】在等边△ABC中，若，，（），且，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【变式2】【改变例题的条件与结论】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 .‎ ‎【答案】【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】设，，所以，，‎ ‎，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 所以.‎ ‎（四）平面向量与三角函数的交汇 例5. 【2017江苏卷】 已知向量 ‎ （1）若a∥b，求x的值；‎ ‎ （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】（1）因为，，，所以.‎ 若，则，与矛盾，故.‎ 于是. 又，所以.‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，从而.‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值.‎ ‎【名师点睛】向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎【变式1】【改变例题的结论】已知向量 ‎ （1）若ab，求x的值；‎ ‎ （2）记，解不等式.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】（1）因为，，，所以.‎ 所以. 因为，所以.‎ ‎【变式2】【改变例题中的条件与结论】设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，．‎ ‎（1）若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎（2）设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎【解析】（1）由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又，从而sinx＝，所以x＝.‎ ‎（2）＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝＋，‎ 当时，取最大值1.‎ 所以的最大值为.‎ ‎【数学思想】‎ ①数形结合思想:向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．‎ ②分类讨论思想:对向量的方向、向量的位置关系、参数进行讨论．‎ ③转化与化归思想. ‎ ‎【温馨提示】‎ ①作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．‎ ②在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．‎ ③注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．‎ ④要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．‎ ⑤0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·00≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．‎ ⑥a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.【2017河北省武邑中学调研】已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由， ，得 ，所以，故选D.‎ 2. ‎【2018河南郑州一中测试】在中， 为边的中点，若， ，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】.故选D.‎ ‎3.【2018广州市海珠区测试】已知向量的夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎4. 【2016湖北省优质高中联考】已知向量，若，则向量与 ‎ 向量的夹角的余弦值是（　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，因为，所以，解得，当时，‎ ‎，故选A．‎ ‎5. 【2017江西赣中南五校联考】外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（　　　）‎ A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，‎ 所以三点共线，即；又因为，所以，‎ 所以，故向量在向量上的投影为，故选A．‎ ‎6.【2017湖北省黄石市调研】已知向量且，则（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，所以，故选C.‎ ‎7. 【2017河北省衡水中学联考】 已知平面向量满足，且，则向量与 ‎ 夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以，故选C.‎ ‎8.【2017湖南永州市模拟，11】已知向量与向量的夹角为，且，又向量 ‎（且，），则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】A ‎9.【2017四川巴中市“零诊”】已知向量与共线且方向相同，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意得，所以，当时，，方向相反，舍去，故.‎ ‎10. 【2017云南、四川、贵州联考】在矩形中，，，则______.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】，，故，‎ ‎，‎ 所以. ‎ ‎11. 【2017江西南昌摸底】已知平面向量，，若与垂直，则实数 ‎ .‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】，所以由得 ‎12. 【2017河北唐山市摸底】已知向量，‎ 则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎13.【2018江苏省南京市调研】在△中，，，， ．‎ 若，则实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以由余弦定理可得，‎ 又根据余弦定理可得， ‎ ‎ ，解得．‎ ‎14. 【2017河南省南阳市六校联考】已知， .‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求与的夹角.‎ ‎【解析】（1），‎ 由，得，解得或.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎15. 【2016河南中原名校一联】在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．‎ ‎（1）求角的大小；【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ ‎，因此，当且仅当时，等号成立；‎ 因此面积，因此面积的最大值． ‎ ‎ ‎