2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-6对数与对数函数
第6讲 对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知 识 梳 理
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1)
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图像与性质
a>1
0
1时，y>0；
当01时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a0，且a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．00，即logac>0，所以0b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
答案 D
4．(2015·浙江卷)计算：log2＝________；2log23＋log43＝________.
解析 log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
答案 － 3
5．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
解析 当01时，loga1.
答案 ∪(1，＋∞)
考点一 对数的运算
【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10 C．20 D．100
(2)计算：÷100＝________.
解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案 (1)A (2)－20
规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )
A．24 B．16 C．12 D．8
(2)(2015·安徽卷)lg＋2lg 2－－1＝________.
解析 (1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
(2)lg＋2lg 2－－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.
答案 (1)A (2)－1
考点二 对数函数的图像及应用
【例2】 (1)(2017·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图像大致是( )
(2)(2017·宝鸡调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图像关于y轴对称．
因此y＝loga|x|的图像应大致为选项B.
(2)
如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
答案 (1)B (2)a>1
规律方法 (1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是( )
(2)当01时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
答案 (1)C (2)B
考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)
命题角度一 比较对数值的大小
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0,0cb
解析 由y＝xc与y＝cx的单调性知，C、D不正确．
∵y＝logcx是减函数，得logca0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)1，∴a>.综上，a∈.
答案 C
命题角度三 对数型函数的性质
【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行．
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
【训练3】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)a＝log32log22＝1，
所以，c最大．
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得11在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
答案 (1)D (2)
[思想方法]
1．对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．
4．多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
[易错防范]
1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论．
2．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．
3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；
当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.
答案 A
2．(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝bc
C．ab>c
解析 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log320，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符．故选B.
答案 B
4．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )
A．5 B．3 C．－1 D.
解析 由题意可知f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
f＝＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，
所以f(f(1))＋f＝5.
答案 A
5．(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( )
A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.
由logab>1得loga>0.
∴a>1，且>1或0a>1或00.
答案 D
二、填空题
6．设f(x)＝log是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________．
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－10，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．
答案 (1,2]
三、解答题
9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10．(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
(2)因为f(4)＝4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－p D．p＝r>q
解析 ∵0，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，
∴f>f()，即q>p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝p，
故p＝rb>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 ∵logab＋logba＝logab＋＝，
∴logab＝2或.
∵a>b>1，∴logab0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)
＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若2－＝1，则a＝2，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝∉[2,8]，舍去．
若2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝－＝2∈[2,8]，
符合题意，∴a＝.
特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
