2014高考总复习单元检测解析几何
第九章 单元测试
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．(2019·浙江)设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”
的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由 a＝1 可得 l1∥l2，反之，由 l1∥l2 可得 a＝1 或 a＝－2，故选 A.
2．(2019·湖北)过点 P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分为两部分，使得这两部分的
面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
答案 A
解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点 P(1,1)的直径所
在直线的斜率为 1，所以所求直线的斜率为－1，方程为 x＋y－2＝0.
3．经过抛物线 y2＝4x 的焦点且平行于直线 3x－2y＝0 的直线 l 的方程是
A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案 A
解析 ∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1,0)，直线 3x－2y＝0 的斜率是3
2
，∴直线 l 的方程是 y＝3
2
(x－1)，
即 3x－2y－3＝0，故选 A.
4．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心 C(a,0)(a>0)，由3a＋4
5
＝2 得，a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即 x2＋y2－4x＝0.
5．(2019·江西)椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|，
|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.1
4
B. 5
5
C.1
2
D. 5－2
答案 B
解析 由等比中项的性质得到 a，c 的一个方程，再进一步转化为关于 e 的方程，解之即得所求．依
题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即 4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得 5c2＝a2，∴e＝c
a
＝ 5
5
.
6．(2019·浙江)如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若 M，
O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( )
A．3 B．2
C. 3 D. 2
答案 B
解析 设焦点为 F(±c,0)，双曲线的实半轴长为 a，则双曲线的离心率 e1＝c
a
，椭圆的离心率 e2＝ c
2a
，
所以e1
e2
＝2.选 B.
7．设 F1、F2 分别是双曲线 x2－y2
9
＝1 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且PF1
→
·PF2
→
＝0，则|PF1
→
＋PF2
→
|
等于 ( )
A. 10 B．2 10
C. 5 D．2 5
答案 B
解析 F1(－ 10，0)，F2( 10，0)，2c＝2 10，2a＝2.
∵PF1
→
·PF2
→
＝0，∴|PF1
→
|2＋|PF2
→
|2＝|F1F2|2＝4c2＝40.
∴(PF1
→
＋PF2
→
)2＝|PF1
→
|2＋|PF2
→
|2＋2PF1
→
·PF2
→
＝40.
∴|PF1
→
＋PF2
→
|＝2 10.
8．过抛物线 y＝1
4
x2 准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为 M，N，则直线 MN 过定点 ( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(－1,0)
答案 A
解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设 M(x1，1
4
x2
1)，N(x2，1
4
x2
2)，则过 M、N 的切线方程分别为
y－1
4
x2
1＝1
2
x1(x－x1)，y－1
4
x2
2＝1
2
x2(x－x2)．将(0，－1)代入得 x2
1＝x2
2＝4，∴MN 的方程为 y＝1，恒过(0,1)
点．
9．如图，过抛物线 x2＝4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x2＋(y－p)2＝p2 于点 A、B、C、D，则AB
→
·CD
→
的值是 ( )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
答案 D
解析 |AB
→
|＝|AF|－p＝yA，|CD
→
|＝|DF|－p＝yB，|AB
→
|·|CD
→
|＝yAyB＝p2.因为AB
→
，CD
→
的方向相同，所以
AB
→
·CD
→
＝|AB
→
|·|CD
→
|＝yAyB＝p2.
10．已知抛物线 y＝x2 上有一定点 A(－1,1)和两动点 P、Q，当 PA⊥PQ 时，点 Q 的横坐标取值范围是 ( )
A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 D
解析 设 P(x1，x2
1)，Q(x2，x2
2)，
∴kAP＝x2
1－1
x1＋1
＝x1－1，kPQ＝x2
2－x2
1
x2－x1
＝x2＋x1.
由题意得 kPA·kPQ＝(x1－1)(x2＋x1)＝－1，
∴x2＝ 1
1－x1
－x1＝ 1
1－x1
＋(1－x1)－1.利用函数性质知 x2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选 D.
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上)
11．设 l1 的倾斜角为α，α∈(0，π
2
)，l1 绕其上一点 P 逆时针方向旋转α角得直线 l2，l2 的纵截距为
－2，l2 绕点 P 逆时针方向旋转π
2
－α角得直线 l3：x＋2y－1＝0，则 l1 的方程为________．
答案 2x－y＋8＝0
解析 ∵l1⊥l3，
∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝ 2tanα
1－tan2α
＝－4
3
.
∵l2 的纵截距为－2，∴l2 的方程为 y＝－4
3
x－2.
由
y＝－4
3
x－2，
x＋2y－1＝0，
∴P(－3,2)，l1 过 P 点．
∴l1 的方程为 2x－y＋8＝0.
12．过直线 2x＋y＋4＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的交点且面积最小的圆的方程是________．
答案 (x＋13
5
)2＋(y－6
5
)2＝4
5
解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组
2x＋y＋4＝0，
x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，
得交点 A(－11
5
，2
5
)，B(－3,2)．
因为 AB 为直径，其中点为圆心，即为(－13
5
，6
5
)，
r＝1
2
|AB|＝2
5
5，
所以圆的方程为(x＋13
5
)2＋(y－6
5
)2＝4
5
.
13．(2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上
至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是________．
答案 4
3
解析 设圆心 C(4,0)到直线 y＝kx－2 的距离为 d，则 d＝|4k－2|
k2＋1
，由题意知问题转化为 d≤2，即 d
＝|4k－2|
k2＋1
≤2，得 0≤k≤4
3
，所以 kmax＝4
3
.
14．若椭圆x2
a2＋y2
b2＝1 过抛物线 y2＝8x 的焦点，且与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，则该椭圆的方程
是________．
答案 x2
4
＋y2
2
＝1
解析 抛物线 y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线
x2－y2＝1 有相同的焦点，∴a＝2，c＝ 2.∵b2＝a2－c2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为x2
4
＋y2
2
＝1.
15．已知两点 M(－3,0)，N(3,0)，点 P 为坐标平面内一动点，且|MN
→
|·|MP
→
|＋MN
→
·NP
→
＝0，则动点 P(x，
y)到点 A(－3,0)的距离的最小值为________．
答案 3
解析 因为 M(－3,0)，N(3,0)，所以MN
→
＝(6,0)，|MN
→
|＝6，MP
→
＝(x＋3，y)，NP
→
＝(x－3，y)．
由|MN
→
|·|MP
→
|＋MN
→
·NP
→
＝0，得
6 x＋3 2＋y2＋6(x－3)＝0，化简整理得 y2＝－12x.
所以点 A 是抛物线 y2＝－12x 的焦点，所以点 P 到 A 的距离的最小值就是原点到 A(－3,0)的距离，所
以 d＝3.
16．已知以 y＝± 3x 为渐近线的双曲线 D：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，若 P 为
双曲线 D 右支上任意一点，则|PF1|－|PF2|
|PF1|＋|PF2|
的取值范围是________．
答案
0，1
2
解析 依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，
所以 0<|PF1|－|PF2|
|PF1|＋|PF2|
≤a
c
＝1
e
.又双曲线的渐近线方程 y＝± 3x，则b
a
＝ 3.
因此 e＝c
a
＝2，故 0<|PF1|－|PF2|
|PF1|＋|PF2|
≤1
2
.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分 10 分)已知 O 为平面直角坐标系的原点，过点 M(－2,0)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 交于 P，
Q 两点．
(1)若OP
→
·OQ
→
＝－1
2
，求直线 l 的方程；
(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线 l 的斜率．
解析 (1)依题意知直线 l 的斜率存在，
因为直线 l 过点 M(－2,0)，
故可设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)．
因为 P，Q 两点在圆 x2＋y2＝1 上，所以|OP
→
|＝|OQ
→
|＝1.
因为OP
→
·OQ
→
＝－1
2
，即|OP
→
|·|OQ
→
|·cos∠POQ＝－1
2
.[来源:1ZXXK]
所以∠POQ＝120°，所以点 O 到直线 l 的距离等于1
2
.
所以 |2k|
k2＋1
＝1
2
，解得 k＝± 15
15
.
所以直线 l 的方程为 x－ 15y＋2＝0 或 x＋ 15y＋2＝0.
(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以 MP＝PQ，即 P 为 MQ 的中点，所以MQ
→
＝2MP
→
.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以MQ
→
＝(x2＋2，y2)，MP
→
＝(x1＋2，y1)．
所以
x2＋2＝2 x1＋2 ，
y2＝2y1，
即
x2＝2 x1＋1 ，
y2＝2y1.
①
因为 P，Q 两点在圆 x2＋y2＝1 上，所以
x2
1＋y2
1＝1，
x2
2＋y2
2＝1.
②
由①及②得
x2
1＋y2
1＝1，
4 x1＋1 2＋4y2
1＝1，
解得
x1＝－7
8
，
y1＝± 15
8
.
故直线 l 的斜率 k＝kMP＝± 15
9
.
18．(本题满分 12 分)(2019·北京文)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为
2
2
.直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)当△AMN 的面积为 10
3
时，求 k 的值．
解析 (1)由题意得
a＝2，
c
a
＝ 2
2
，
a2＝b2＋c2，
解得 b＝ 2.
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
2
＝1.
(2)由
y＝k x－1 ，
x2
4
＋y2
2
＝1， 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝ 4k2
1＋2k2，x1x2＝2k2－4
1＋2k2.
所以|MN|＝ x2－x1
2＋ y2－y1
2
＝ 1＋k2 [ x1＋x2
2－4x1x2]
＝2 1＋k2 4＋6k2
1＋2k2 .
又因为点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ |k|
1＋k2
，
所以△AMN 的面积为
S＝1
2
|MN|·d＝|k| 4＋6k2
1＋2k2 .
由|k| 4＋6k2
1＋2k2 ＝ 10
3
，化简得 7k4－2k2－5＝0，解得 k＝±1.
19．(本题满分 12 分)(2019·天津理)设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A、B，点 P 在椭圆
上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为－1
2
，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3.
解析 (1)设点 P 的坐标为(x0，y0)．
由题意，有x2
0
a2＋y2
0
b2＝1.①
由 A(－a,0)，B(a,0)，得 kAP＝ y0
x0＋a
，kBP＝ y0
x0－a
.
由 kAP·kBP＝－1
2
，可得 x2
0＝a2－2y2
0，代入①并整理得(a2－2b2)y2
0＝0.由于 y0≠0，故 a2＝2b2.于是 e2＝
a2－b2
a2 ＝1
2
，所以椭圆的离心率 e＝ 2
2
.
(2)方法一
依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx，设点 P 的坐标为(x0，y0)．由条件得
y0＝kx0，
x2
0
a2＋y2
0
b2＝1.
消去 y0 并整理得 x2
0＝ a2b2
k2a2＋b2.②
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及 y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x2
0＝a2.整理得(1＋k2)x2
0＋2ax0＝0.
而 x0≠0，于是 x0＝－2a
1＋k2，代入②，整理得
(1＋k2)2＝4k2(a
b
)2＋4.由 a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即 k2＋1>4.因此 k2>3，所以|k|> 3.
方法二 依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx，可设点 P 的坐标为(x0，kx0)．由点 P 在椭圆上，有x2
0
a2＋k2x2
0
b2
＝1.因为 a>b>0，kx0≠0，所以x2
0
a2＋k2x2
0
a2 <1，即(1＋k2)x2
0
3，所以|k|> 3.
20. (本题满分 12 分)如图，点 A，B 分别是椭圆x2
36
＋y2
20
＝1 长轴的左，右端点，点 F 是椭圆的右焦点，
点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PA⊥PF.
(1)求点 P 的坐标；
(2)设 M 是椭圆长轴 AB 的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．[来
源:1ZXXK]
解析 (1)由已知可得点 A(－6,0)，F(4,0)，
设点 P 的坐标是(x，y)，
则AP
→
＝(x＋6，y)，FP
→
＝(x－4，y)．
由已知得
x2
36
＋y2
20
＝1，
x＋6 x－4 ＋y2＝0，
则 2x2＋9x－18＝0，x＝3
2
或 x＝－6.
∵点 P 位于 x 轴上方，∴x＝－6 舍去，
只能取 x＝3
2
.由于 y>0，于是 y＝5
2
3.
∴点 P 的坐标是(3
2
，5
2
3)．
(2)直线 AP 的方程是 x－ 3y＋6＝0.
设点 M 的坐标是(m,0)(－6≤m≤6)，
则 M 到直线 AP 的距离是m＋6
2
.
于是m＋6
2
＝6－m，解得 m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离 d 有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－5
9
x2
＝4
9
(x－9
2
)2＋15.
由于－6≤x≤6，
∴当 x＝9
2
时，d 取得最小值 15.
21．(本题满分 12 分)已知椭圆 x2
m＋1
＋y2＝1 的两个焦点是 F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
(1)设 E 是直线 y＝x＋2 与椭圆的一个公共点，求|EF1|＋|EF2|取得最小值时椭圆的方程；
(2)已知点 N(0，－1)，斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A，B，点 Q 满足AQ
→
＝QB
→
，且NQ
→
·AB
→
＝0，求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围．
解析 (1)由题意，知 m＋1>1，即 m>0.
由
y＝x＋2，
x2
m＋1
＋y2＝1， 得(m＋2)x2＋4(m＋1)x＋3(m＋1)＝0.
又由Δ＝16(m＋1)2－12(m＋2)(m＋1)＝4(m＋1)(m－2)≥0，
解得 m≥2 或 m≤－1(舍去)，∴m≥2.
此时|EF1|＋|EF2|＝2 m＋1≥2 3.
当且仅当 m＝2 时，|EF1|＋|EF2|取得最小值 2 3，
此时椭圆的方程为x2
3
＋y2＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝kx＋t.由方程组
x2＋3y2＝3，
y＝kx＋t，
消去 y 得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.
∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，
∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)(3t2－3)>0，
即 t2<1＋3k2.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，则 x1＋x2＝－ 6kt
1＋3k2.
由AQ
→
＝QB
→
，得 Q 为线段的 AB 的中点，
则 xQ＝x1＋x2
2
＝－ 3kt
1＋3k2，yQ＝kxQ＋t＝ t
1＋3k2.
∵NQ
→
·AB
→
＝0，∴直线 AB 的斜率 kAB 与直线 QN 的斜率kQN 乘积为－1，即 kQN·kAB＝－1，∴
t
1＋3k2＋1
－ 3kt
1＋3k2
·k
＝－1.
化简得 1＋3k2＝2t，代入①式得 t2<2t，
解得 00，故 2t＝1＋3k2>1，得 t>1
2
.
综上，直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是(1
2
，2)．
22．(本题满分 12 分)(2019·浙江文)
如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P(1，1
2
)到抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为5
4
.点 M(t,1)是 C
上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分．
(1)求 p，t 的值；
(2)求△ABP 面积的最大值．
解析 (1)由题意知
2pt＝1，
1＋p
2
＝5
4
， 得
p＝1
2
，
t＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 Q(m，m)．
由题意知，设直线 AB 的斜率为 k(k≠0)．
由
y2
1＝x1，
y2
2＝x2，
得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
故 k·2m＝1.
所以直线 AB 的方程为 y－m＝ 1
2m
(x－m)．
即 x－2my＋2m2－m＝0.
由
x－2my＋2m2－m＝0，
y2＝x，
消去 x，整理得 y2－2my＋
2m2－m＝0.
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.
从而|AB|＝ 1＋1
k2·|y1－y2|＝ 1＋4m2· 4m－4m2.
设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝|1－2m＋2m2|
1＋4m2
.
设△ABP 的面积为 S，则
S＝1
2
|AB|·d＝|1－2(m－m2)|· m－m2.
由Δ＝4m－4m2>0，得 0b>0)与双曲线x2
m2－y2
n2＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若 c 是 a
与 m 的等比中项，n2 是 m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率等于 ( )
A.1
3
B. 3
3
C.1
2
D. 2
2
答案 B
解析 ∵c2＝am,2n2＝c2＋m2，又 n2＝c2－m2，
∴m2＝1
3
c2，即 m＝ 3
3
c.∴c2＝ 3
3
ac，则 e＝c
a
＝ 3
3
.
6．椭圆x2
4
＋y2
3
＝1 离心率为 e，点(1，e)是圆 x2＋y2－4x－4y＋4＝0 的一条弦的中点，则此弦所在直
线的方程是 ( )
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
答案 B
解析 依题意得 e＝1
2
，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，1
2
)的连线的斜率为
2－1
2
2－1
＝3
2
，所求直线
的斜率等于－2
3
，所以所求直线方程是 y－1
2
＝－2
3
(x－1)，即 4x＋6y－7＝0，选 B.
7．已知圆 x2＋y2＝1 与 x 轴的两个交点为 A、B，若圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则
PA
→
·PB
→
的取值范围为 ( )
A.
0，1
2 B.
－1
2
，0
C．(－1
2
，0) D．[－1,0)
答案 C
解析 设 P(x，y)，∴|PO|2＝|PA||PB|，
即 x2＋y2＝ x－1 2＋y2· x＋1 2＋y2，
整理得 2x2－2y2＝1.
∴PA
→
·PB
→
＝(1－x，－y)·(－1－x，－y)＝x2＋y2－1
＝2x2－3
2
.
∴P 为圆内动点且满足 x2－y2＝1
2
.
∴ 2
2
<|x|< 3
2
，∴1<2x2<3
2
.
∴－1
2
<2x2－3
2
<0，选 C.
8．(2019·新课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于
A，B 两点，|AB|＝4 3，则 C 的实轴长为 ( )
A. 2 B．2 2
C．4 D．8
答案 C
解析 抛物线 y2＝16x 的准线方程是 x＝－4，所以点 A(－4,2 3)在等轴双曲线 C：x2－y2＝a2(a>0)上，
将点 A 的坐标代入得 a＝2，所以 C 的实轴长为 4.
9．已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为________．
答案 2－1
解析 令 AB＝2，则 AC＝2 2.
∴椭圆中 c＝1,2a＝2＋2 2⇒a＝1＋ 2.
可得 e＝c
a
＝ 1
2＋1
＝ 2－1.
10．(2019·北京理)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，
B 两点，其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积为________．
答案 3
解析 直线 l 的方程为 y＝ 3(x－1)，即 x＝ 3
3
y＋1，代入抛物线方程得 y2－4 3
3
y－4＝0，解得 yA
＝
4 3
3
＋ 16
3
＋16
2
＝2 3(yB<0，舍去)，故△OAF 的面积为1
2
×1×2 3＝ 3.
11．设椭圆 C：x2
a2＋y2
2
＝1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，A 是椭圆 C 上的一点，且AF2
→
·F1F2
→
＝0，坐
标原点 O 到直线 AF1 的距离为1
3
|OF1|.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 Q 是椭圆 C 上的一点，过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(－1,0)，交 y 轴于点 M，若MQ
→
＝2QP
→
，求直
线 l 的方程．
解析 (1)由题设知 F1(－ a2－2，0)，F2( a2－2，0)．
由于AF2
→
·F1F2
→
＝0，则有AF2
→
⊥F1F2
→
，所以点 A 的坐标为( a2－2，±2
a
)，故AF1
→
所在直线方程为
y＝±( x
a a2－2
＋1
a
)．
所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 a2－2
a2－1
(a> 2)．
又|OF1|＝ a2－2，所以 a2－2
a2－1
＝1
3
a2－2，
解得 a＝2(a> 2)．
所求椭圆的方程为x2
4
＋y2
2
＝1.
(2)由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 斜率为 k，
直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，则有 M(0，k)．
设 Q(x1，y1)，∵MQ
→
＝2QP
→
，
∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)．
∴
x1＝－2
3
，
y1＝k
3
.
又 Q 在椭圆 C 上，得
－2
3
2
4
＋
k
3
2
2
＝1，
解得 k＝±4.
故直线 l 的方程为 y＝4(x＋1)或 y＝－4(x＋1)，
即 4x－y＋4＝0 或 4x＋y＋4＝0.
12．椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点．
(1)如果点 A 在圆 x2＋y2＝c2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F1A|＝c，求椭圆的离心率；
(2)若函数 y＝ 2＋logmx(m>0 且 m≠1)的图像，无论 m 为何值时恒过定点(b，a)，求F2B
→
·F2A
→
的取值范
围．
解析 (1)∵点 A 在圆 x2＋y2＝c2 上，
∴△AF1F2 为一直角三角形．
∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c，
∴|F2A|＝ |F1F2|2－|AF1|2＝ 3c.
由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴c＋ 3c＝2a.∴e＝c
a
＝ 2
1＋ 3
＝ 3－1.
(2)∵函数 y＝ 2＋logmx 的图像恒过点(1， 2)，由已知条件知还恒过点(b，a)，∴a＝ 2，b＝1，c
＝1.
点 F1(－1,0)，F2(1,0)，
①若 AB⊥x 轴，则 A(－1， 2
2
)，B(－1，－ 2
2
)．
∴F2A
→
＝(－2， 2
2
)，F2B
→
＝(－2，－ 2
2
)．
∴F2A
→
·F2B
→
＝4－1
2
＝7
2
.
②若 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB 的斜率为 k，则 AB 的方程为 y＝k(x＋1)．
由
y＝k x＋1 ，
x2＋2y2－2＝0，
消去 y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2(k2－1)＝0.(*)
∵Δ＝8k2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是方程(*)的两个根．
x1＋x2＝－ 4k2
1＋2k2，x1x2＝2 k2－1
1＋2k2 .
∴F2A
→
＝(x1－1，y1)，F2B
→
＝(x2－1，y2)．
∴F2A
→
·F2B
→
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2
＝(1＋k2)2 k2－1
1＋2k2 ＋(k2－1)(－ 4k2
1＋2k2)＋1＋k2
＝7k2－1
1＋2k2＝7
2
－ 9
2 1＋2k2 .
∵1＋2k2≥1，
∴0< 1
1＋2k2≤1,0< 9
2 1＋2k2 ≤9
2
.
∴－1≤F2A
→
·F2B
→
＝7
2
－ 9
2 1＋2k2 <7
2
.
综上，由①②，知－1≤F2A
→
·F2B
→
≤7
2
.
13．(2019·衡水调研)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0)，且离心率为1
2
.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，y0)，求 y0 的取
值范围．
解析 (1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c＝1.
因为椭圆 C 的离心率为1
2
，
所以 a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)当 MN⊥x 轴时，显然 y0＝0.
当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)．
由
y＝k x－1 ，
x2
4
＋y2
3
＝1， 消去 y 并整理得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3，y3)，
则 x1＋x2＝ 8k2
3＋4k2.
所以 x3＝x1＋x2
2
＝ 4k2
3＋4k2，y3＝k(x3－1)＝ －3k
3＋4k2.
线段 MN 的垂直平分线的方程为 y＋ 3k
3＋4k2＝－1
k
(x－ 4k2
3＋4k2)．
在上述方程中，令 x＝0，得 y0＝ k
3＋4k2＝
1
3
k
＋4k
.
当 k<0 时，3
k
＋4k≤－4 3；当 k>0 时，3
k
＋4k≥4 3.
所以－ 3
12
≤y0<0 或 0b>0)，且 a2＝b2＋c2.
由题意可知：b＝1，c
a
＝ 3
2
.
解得 a2＝4，所以椭圆 C 的标准方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)由(1)得 Q(－2,0)．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x＝－6
5
.
由
x＝－6
5
，
x2
4
＋y2＝1，
解得
x＝－6
5
，
y＝4
5
或
x＝－6
5
，
y＝－4
5
.
即 A(－6
5
，4
5
)，B(－6
5
，－4
5
)(不妨设点 A 在 x 轴上方)，
则 kAQ＝
4
5
－0
－6
5
－ －2
＝1，kBQ＝
－4
5
－0
－6
5
－ －2
＝－1.
因为 kAQ·kBQ＝－1，所以 AQ⊥BQ.
所以∠AQB＝π
2
，即∠AQB 的大小为π
2
.
②当直线 l 与 x 轴不垂直时，由题意可设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋6
5
)(k≠0)．
由
y＝k x＋6
5
，
x2
4
＋y2＝1，
消去 y 得(25＋100k2)x2＋240k2x＋144k2－100＝0.
因为点(－6
5
，0)在椭圆 C 的内部，显然Δ>0.
x1＋x2＝－ 240k2
25＋100k2，
x1x2＝144k2－100
25＋100k2 .
因为QA
→
＝(x1＋2，y1)，QB
→
＝(x2＋2，y2)，y1＝k(x1＋6
5
)，y2＝k(x2＋6
5
)，
所以QA
→
·QB
→
＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2
＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1＋6
5
)·k(x2＋6
5
)
＝(1＋k2)x1x2＋(2＋6
5
k2)(x1＋x2)＋4＋36
25
k2
＝(1＋k2)144k2－100
25＋100k2 ＋(2＋6
5
k2)(－ 240k2
25＋100k2)＋4＋36
25
k2＝0.
所以QA
→
⊥QB
→
.所以△QAB 为直角三角形．
假设存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA|＝|QB|.
如图，取 AB 的中点 M，连接 QM，则 QM⊥AB.
记点(－6
5
，0)为 N.
因为 xM＝x1＋x2
2
＝－ 120k2
25＋100k2＝－ 24k2
5＋20k2，
所以 yM＝k(xM＋6
5
)＝ 6k
5＋20k2，
即 M( －24k2
5＋20k2， 6k
5＋20k2)．
所以QM
→
＝(10＋16k2
5＋20k2 ， 6k
5＋20k2)，NM
→
＝( 6
5＋20k2， 6k
5＋20k2)．
所以QM
→
·NM
→
＝10＋16k2
5＋20k2 × 6
5＋20k2＋ 6k
5＋20k2× 6k
5＋20k2＝ 60＋132k2
5＋20k2 2≠0.
所以QM
→
与NM
→
不垂直，即QM
→
与AB
→
不垂直，矛盾．
所以假设不成立，故当直线 l 与 x 轴不垂直时，不存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形．
15．设椭圆 M：y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)的离心率与双曲线 x2－y2＝1 的离心率互为倒数，且内切于圆 x2＋y2
＝4.
(1)求椭圆 M 的方程；
(2)若直线 y＝ 2x＋m 交椭圆于 A、B 两点，椭圆上一点 P(1， 2)，求△PAB 面积的最大值．
解析 (1)双曲线的离心率为 2，则椭圆的离心率为
e＝c
a
＝ 2
2
，圆 x2＋y2＝4 的直径为 4，则 2a＝4，
得
2a＝4，
c
a
＝ 2
2
，
b2＝a2－c2
⇒
a＝2，
c＝ 2，
b＝ 2.
所求椭圆 M 的方程为y2
4
＋x2
2
＝1.
(2)直线 AB 的直线方程为 y＝ 2x＋m.
由
y＝ 2x＋m，
x2
2
＋y2
4
＝1， 得 4x2＋2 2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝(2 2m)2－16(m2－4)>0，得－2 20)的左，右焦点分别为 F1，F2，M，N 是直线 l：x＝2b 上的两个动
点，F1M
→
·F2N
→
＝0.
(1)若|F1M
→
|＝|F2N
→
|＝2 5，求 b 的值；
(2)求|MN|的最小值．
解析 设 M(2b，y1)，N(b，y2)，
则F1M
→
＝(3b，y1)，F2N
→
＝(b，y2)．
由F1M
→
·F2N
→
＝0，得 y1y2＝－3b2.①
(1)由|F1M
→
|＝|F2N
→
|＝2 5，得
3b 2＋y2
1＝2 5.②
b2＋y2
2＝2 5.③
由①、②、③三式，消去 y1，y2，并求得 b＝ 2.
(2)易求椭圆 C 的标准方程为x2
4
＋y2
2
＝1.
方法一 |MN|2＝(y1－y2)2＝y2
1＋y2
2－2y1y2≥
－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝12b2，
所以，当且仅当 y1＝－y2＝ 3b 或 y2＝－y1＝ 3b，|MN|取最小值 2 3b.
方法二 |MN|2＝(y1－y2)2＝y2
1＋9b4
y2
1
＋6b2≥12b2，
所以，当且仅当 y1＝－y2＝ 3b 或 y2＝－y1＝ 3b 时，|MN|取最小值 2 3b.
17．(2019·武汉)如图，DP⊥x 轴，点 M 在 DP 的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点 P 在圆 x2＋y2＝1 上
运动时．
(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；
(2)过点 T(0，t)作圆 x2＋y2＝1 的切线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点
T 的坐标．
解析 (1)设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，则 x＝x0，y＝2y0，所以 x0＝x，y0＝y
2
.①
因为 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝1 上，所以 x2
0＋y2
0＝1.②
将①代入②，得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2＋y2
4
＝1.
(2)由题意知，|t|≥1.当 t＝1 时，切线 l 的方程为 y＝1，点 A、B 的坐标分别为(－ 3
2
，1)、( 3
2
，
1)，此时|AB|＝ 3，当 t＝－1 时，同理可得|AB|＝ 3；当|t|>1 时，设切线 l 的方程为 y＝kx＋t，k∈
R.
由
y＝kx＋t，
x2＋y2
4
＝1， 得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③
设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由③得
x1＋x2＝－ 2kt
4＋k2，x1x2＝t2－4
4＋k2.
又由 l 与圆 x2＋y2＝1 相切，得 |t|
k2＋1
＝1，即 t2＝k2＋1.
所以|AB|＝ x2－x1
2＋ y2－y1
2
＝ 1＋k2 [ 4k2t2
4＋k2 2－4 t2－4
4＋k2 ]＝4 3|t|
t2＋3
.
因为|AB|＝4 3|t|
t2＋3
＝
4 3
|t|＋ 3
|t|
≤2，且当 t＝± 3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为 2.
依题意，圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2＋y2＝1 的半径，所以△AOB 面积 S＝1
2
|AB|×1≤1，当且仅当
t＝± 3时，△AOB 面积 S 的最大值为 1，相应的 T 的坐标为(0，－ 3)或(0， 3)．
18．已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1：y2
a2＋x2
b2＝1 经过 A(1,0)点，且离心率为 3
2
.
(1)求椭圆 C1 的方程；
(2)过抛物线 C2：y＝x2＋h(h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N，记线段 MN 与 PA 的中点分别
为 G、H，当 GH 与 y 轴平行时，求 h 的最小值．
解析 (1)由题意可得
1
b2＝1，
c
a
＝ 3
2
，
a2＝b2＋c2.
解得 a＝2，b＝1，所以椭圆 C1 的方程为 x2＋y2
4
＝1.
(2)设 P(t，t2＋h)，由 y′＝2x，抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k＝y′|x＝t ＝2t，
所以 MN 的方程为 y＝2tx－t2＋h.
代入椭圆方程得 4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，
化简得 4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.
又 MN 与椭圆 C1 有两个交点，
故Δ＝16[－t4－2(h＋2)t2－h2＋4]>0.①
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 中点横坐标为 x0，则 x0＝x1＋x2
2
＝t t2－h
2 1＋t2 .
设线段 PA 的中点横坐标为 x3＝1＋t
2
.
由已知得 x0＝x3，即t t2－h
2 1＋t2 ＝1＋t
2
.②
显然 t≠0，h＝－(t＋1
t
＋1)．③
当 t>0 时，t＋1
t
≥2，当且仅当 t＝1 时取得等号，此时 h≤－3 不符合①式，故舍去；
当 t<0 时，(－t)＋(－1
t
)≥2，当且仅当 t＝－1 时取得等号，此时 h≥1，满足①式．综上，h 的最小
值为 1.
19．已知△ABC 中，点 A、B 的坐标分别为(－ 2，0)，B( 2，0)，点 C 在 x 轴上方．
(1)若点 C 坐标为( 2，1)，求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程；
(2)过点 P(m,0)作倾斜角为3
4
π的直线 l 交(1)中曲线于 M、N 两点，若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径
的圆上，求实数 m 的值．
解析 (1)设椭圆方程为x2
a2＋y2
b2＝1，c＝ 2，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝ 2，所以椭圆方程为x2
4
＋y2
2
＝1.
(2)直线 l 的方程为 y＝－(x－m)，令 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得 3x2－4mx＋2m2－4＝0，
x1＋x2＝4m
3
，
x1x2＝2m2－4
3
若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上，
则 y1
x1－1
· y2
x2－1
＝－1，即 m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得 m＝2± 19
3
.
20．已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 2
2
，其中左焦点 F(－2,0)．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若直线 y＝x＋m 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点 M 关于直线 y＝x＋1 的对称点在
圆 x2＋y2＝1 上，求 m 的值．
解析 (1)
c
a
＝ 2
2
，
c＝2
⇒x2
8
＋y2
4
＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，V(x4，y4)．
由
x2
8
＋y2
4
＝1，
y＝x＋m
⇒3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
∴Δ＝96－8m2>0⇒－2 30)的焦点为 F，抛物线上一点 A 的横坐标为
x1(x1>0)，过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 Q，交直线 l：y＝p
2
于点 M，当|FD|＝2
时，∠AFD＝60°.
(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线 C 的方程；
(2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上，过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P，交直线 l 于点 N，
求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的 x1 的值．
解析 (1)设 A(x1，y1)，则切线 AD 的方程为 y＝x1
p
x－x2
1
2p
.
所以 D(x1
2
，0)，Q(0，－y1)，|FQ|＝p
2
＋y1，|FA|＝p
2
＋y1，所以|FQ|＝|FA|.
所以△AFQ 为等腰三角形，
且 D 为 AQ 中点，所以 DF⊥AQ.
∵|DF|＝2，∠AFD＝60°，
∴∠QFD＝60°，p
2
＝1，得 p＝2，抛物线方程为 x2＝4y.
(2)设 B(x2，y2)(x2<0)，
则 B 处的切线方程为 y＝x2
2
x－x2
2
4
.
由
y＝x1
2
x－x2
1
4
，
y＝x2
2
x－x2
2
4
⇒P(x1＋x2
2
，x1x2
4
)，
y＝x1
2
x－x2
1
4
，
y＝1
⇒M(x1
2
＋2
x1
，1)．
同理 N(x2
2
＋2
x2
，1)，所以面积 S＝1
2
(x1
2
＋2
x1
－x2
2
－2
x2
)·(1－x1x2
4
)＝ x2－x1 4－x1x2
2
16x1x2
.①
设 AB 的方程为 y＝kx＋b，则 b>0.
由
y＝kx＋b，
x2＝4y
⇒x2－4kx－4b＝0，
得
x1＋x2＝4k，
x1x2＝－4b，
代入①得
S＝ 16k2＋16b 4＋4b 2
64b
＝ 1＋b 2 k2＋b
b
，使面积最小，则 k＝0，得到 S＝ 1＋b 2 b
b
.②
令 b＝t，
②得 S(t)＝ 1＋t2 2
t
＝t3＋2t＋1
t
，S′(t)＝ 3t2－1 t2＋1
t2 ，
∴当 t∈(0， 3
3
)时 S(t)单调递减；当 t∈( 3
3
，＋∞)时 S(t)单调递增．
∴当 t＝ 3
3
时，S 取最小值为16 3
9
，此时 b＝t2＝1
3
，k＝0，
∴y1＝1
3
即 x1＝2 3
3
.
22.
如图，已知 M(m，m2)、N(n，n2)是抛物线 C：y＝x2 上的两个不同的点，且 m2＋n2＝1，m＋n≠0，直线 l
是线段 MN 的垂直平分线，设椭圆 E 的方程为x2
2
＋y2
a
＝1(a>0，a≠2)．
(1)当 M、N 在 C 上移动时，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；
(2)已知直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，与椭圆 E 交于 P、Q 两点，设线段 AB 的中点为 R，线段 QP
的中点为 S，若OR
→
·OS
→
＝0，求椭圆 E 的离心率的取值范围．
解析 (1)由题意知，直线 MN 的斜率 kMN＝m2－n2
m－n
＝m＋n.
又 l⊥MN，m＋n≠0，∴直线 l 的斜率 k＝－ 1
m＋n
.
∵m2＋n2＝1，由 m2＋n2≥2mn，得 2(m2＋n2)≥(m＋n)2，
即 2≥(m＋n)2(当 m＝n 时，等号成立)，∴|m＋n|≤ 2.
∵M、N 是不同的两点，即 m≠n，∴0<|m＋n|< 2.
∴|k|> 2
2
，即 k<－ 2
2
或 k> 2
2
.
(2)由题意易得，线段 MN 的中点坐标为(m＋n
2
，m2＋n2
2
)．
∵直线 l 是线段 MN 的垂直平分线，
∴直线 l 的方程为 y－m2＋n2
2
＝k(x－m＋n
2
)．
又∵m2＋n2＝1，k＝－ 1
m＋n
，
∴直线 l 的方程为 y＝kx＋1.
将直线 l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得
x2－kx－1＝0， ①(a＋2k2)x2＋4kx＋2－2a＝0. ②
易知方程①的判别式Δ1＝k2＋4>0，
方程②的判别式Δ2＝8a(2k2＋a－1)．
由(1)易知 k2>1
2
，且 a>0，∴2k2＋a－1>a>0，∴Δ2>0 恒成立．
设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则 xA＋xB＝k，yA＋yB＝kxA＋1＋kxB＋1＝k(xA＋xB)＋2
＝k2＋2.
∴线段 AB 的中点 R 的坐标为(k
2
，k2
2
＋1)．
又 xP＋xQ＝－ 4k
a＋2k2，yP＋yQ＝kxP＋1＋kxQ＋1
＝k(xP＋xQ)＋2＝ 2a
a＋2k2.
∴线段 QP 的中点 S 的坐标为( －2k
a＋2k2， a
a＋2k2)．
∴OR
→
＝(k
2
，k2
2
＋1)，OS
→
＝( －2k
a＋2k2， a
a＋2k2)，由OR
→
·OS
→
＝0，
得
－k2＋a k2
2
＋1
a＋2k2
＝0，即－k2＋a(k2
2
＋1)＝0.
∴a＝ 2k2
k2＋2
.
∵k2>1
2
，∴a＝ 2k2
k2＋2
＝
2
1＋2
k2
>2
5
，a＝ 2k2
k2＋2
＝2－ 4
k2＋2
<2.
∴2
5
查看更多
