数学卷·2018届吉林省白山市高二上学期期末数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届吉林省白山市高二上学期期末数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年吉林省白山市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．命题p：∃x0∈R，x0≤2的否定是（　　）‎ A．￢p：∃x∈R，x≤2 B．￢p：∃x∈R，x＞2 C．￢p：∀x∈R，x＞2 D．￢p：∀x∈R，x≤2‎ ‎2．若f（x）=xsinx，则函数f（x）的导函数f′（x）等于（　　）‎ A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx ‎3．“a=3”是“直线y=﹣ax+2与y=x﹣5垂直”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在空间中，下列命题正确的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β B．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n C．如果直线m∥平面α，直线n∥平面α，那么m∥n D．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的侧棱长为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎6．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2‎ ‎7．函数y=xlnx的最小值为（　　）‎ A．﹣e﹣1 B．﹣e C．e2 D．﹣‎ ‎8．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线x=‎ 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（　　）‎ A．4 B． C．3 D．5‎ ‎9．函数f（x）=x3+3ax+2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎10．已知F是抛物线y2=16x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点到y轴的距离为（　　）‎ A．8 B．6 C．2 D．4‎ ‎11．已知正四面体棱长为4，则此正四面体外接球的表面积为（　　）‎ A．36π B．48π C．64π D．72π ‎12．已知集合M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=﹣x+b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（　　）‎ A．（﹣5，5] B．[﹣5，5] C．[﹣5，5] D．[﹣5，5）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为　　．‎ ‎14．若椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为　　．‎ ‎15．函数f（x）=x﹣3lnx的单调减区间为　　．‎ ‎16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，则下列结论中正确的有　　．‎ ‎（1）AC⊥AE；‎ ‎（2）EF∥平面ABCD；‎ ‎（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值：‎ ‎（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=xex+ex（e为自然对数的底）‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 ‎（2）求y=f（x）的极小值点．‎ ‎18．（12分）已知圆心C的坐标为（2，﹣2），圆C与x轴和y轴都相切 ‎（1）求圆C的方程 ‎（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥BB1，AC=BC=BB1，E为A1B1的中点，且C1E⊥BB1．‎ ‎（1）求证：A1C∥平面BEC1；‎ ‎（2）求A1C与平面ABB1A所成角的大小．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x2+bx+c ‎（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围 ‎（2）若f（x）在x=1处取得极值，且x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎21．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=4，AM=2，E是AB的中点 ‎（1）求证：平面MDE⊥平面NDC ‎（2）求三棱锥N﹣MDC的体积．‎ ‎22．（12分）已知椭圆E的两个焦点分别为（0，﹣1）和（0，1），离心率e=‎ ‎（1）求椭圆E的方程 ‎（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点P（0，），求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省白山市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．命题p：∃x0∈R，x0≤2的否定是（　　）‎ A．￢p：∃x∈R，x≤2 B．￢p：∃x∈R，x＞2 C．￢p：∀x∈R，x＞2 D．￢p：∀x∈R，x≤2‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的方法，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题p：∃x0∈R，x0≤2的否定为￢p：∀x∈R，x＞2，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是命题的否定，特称命题，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．若f（x）=xsinx，则函数f（x）的导函数f′（x）等于（　　）‎ A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：函数的导数为f′（x）=sinx+x•cosx，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．‎ ‎　‎ ‎3．“a=3”是“直线y=﹣ax+2与y=x﹣5垂直”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出直线垂直的充要条件，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：若直线y=﹣ax+2与y=x﹣5垂直，‎ 则﹣a•=﹣1，解得：a=±3，‎ 故a=3”是“直线y=﹣ax+2与y=x﹣5垂直”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直线的位置关系，考查充分必要条件，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．在空间中，下列命题正确的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β B．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n C．如果直线m∥平面α，直线n∥平面α，那么m∥n D．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】A，正方体ABCD﹣A′B′C′D′，中平面ABCD⊥平面A′ADD′，直线AD′不垂直β；‎ B，如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n或异面；‎ C，如果直线m∥平面α，直线n∥平面α，那么m∥n或异面或相交；‎ 对于D，根据线面垂直的判定判定．‎ ‎【解答】解：对于A，如图平面ABCD⊥平面A′ADD′，直线AD′不垂直β，故错；‎ 对于B，如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n或异面，故错；‎ 对于C，如果直线m∥平面α，直线n∥平面α，那么m∥n或异面或相交，故错；‎ 对于D，根据线面垂直的判定，如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α，正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的侧棱长为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．由图可知：最长的棱长为PC．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．‎ 由图可知：最长的棱长为PC，PC==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了四棱锥的三视图、空间线面位置关系、勾股定理、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．‎ ‎【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，‎ 所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．‎ 圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d==．‎ 所以直线直线x+2y﹣5+=0=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=xlnx的最小值为（　　）‎ A．﹣e﹣1 B．﹣e C．e2 D．﹣‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵y=xlnx，定义域是（0，+∞），‎ ‎∴y′=1+lnx，‎ 令y′＞0，解得：x＞，‎ 令y′＜0，解得：0＜x＜，‎ ‎∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，‎ 故x=时，函数取最小值是﹣，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线x=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（　　）‎ A．4 B． C．3 D．5‎ ‎【考点】双曲线的定义．‎ ‎【分析】可求得抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可求得b2及双曲线﹣=1的右焦点坐标，利用点到直线间的距离公式即可．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），‎ 依题意，4+b2=9，‎ ‎∴b2=5．‎ ‎∴双曲线的方程为： =1，‎ ‎∴其渐近线方程为：y=±x，‎ ‎∴双曲线的一个焦点F（3，0）到其渐近线的距离等于d==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得b2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=x3+3ax+2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】由题意，在区间[1，+∞）内，f′（x）=3x2+3a≥0恒成立，即a≥﹣x2恒成立，求得﹣x2的最大值，可得a的范围．‎ ‎【解答】解：由题意，在区间[1，+∞）内，f′（x）=3x2+3a≥0恒成立，即a≥﹣x2恒成立．‎ 而﹣x2的最大值为﹣1，故a≥﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，函数的单调性与导数的关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．已知F是抛物线y2=16x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点到y轴的距离为（　　）‎ A．8 B．6 C．2 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=16x的焦点，‎ ‎∴F（4，0），准线方程x=﹣4，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∴|AF|+|BF|=x1+4+x2+4=12，‎ 即有x1+x2=4，‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为（x1+x2）=2，‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．已知正四面体棱长为4，则此正四面体外接球的表面积为（　　）‎ A．36π B．48π C．64π D．72π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为4，正方体的对角线长为4，‎ ‎∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，‎ ‎∴外接球的表面积的值为=48π．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知集合M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=﹣x+b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（　　）‎ A．（﹣5，5] B．[﹣5，5] C．[﹣5，5] D．[﹣5，5）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由M与N，以及两集合交集不为空集，确定出b的范围即可 ‎【解答】解：解：画出M与N中两函数图象，如图所示，‎ ‎∵M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=﹣x+b}，且M∩N≠∅，‎ ‎∴半圆y=与直线y=﹣x+b有公共点，‎ 当直线y=﹣x+b与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=﹣x+b的距离d=r，即=5，‎ 解得：b=5（负值舍去），‎ 把（﹣5，0）代入y=﹣x+b得：b=﹣5，‎ 则实数b的范围是（﹣5，5]，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为　a＜8　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：∵p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，‎ ‎∴a＜8，‎ 故答案为：（﹣∞，8）．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎14．若椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为　5或12　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】椭圆+=1的离心率为， =或=，即可求出实数k的值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆+=1的离心率为，‎ ‎∴=或=，‎ ‎∴k=5或12，‎ 故答案为：5或12．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎15．函数f（x）=x﹣3lnx的单调减区间为　（0，3）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x﹣3lnx，x＞0，‎ ‎∴f'（x）=1﹣=，‎ 令＜0，则0＜x＜3，‎ 故答案为：（0，3）．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．‎ ‎　‎ ‎16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，则下列结论中正确的有　（2）（3）　．‎ ‎（1）AC⊥AE；‎ ‎（2）EF∥平面ABCD；‎ ‎（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值：‎ ‎（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由线面垂直证得两线垂直判断（1）；‎ 由线面平行的定义证得线面平行判断（2）；‎ 由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断（3）；‎ 由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值判断（4）．‎ ‎【解答】解：对于（1），由题意及图形知，AC⊥AE，故（1）不正确；‎ 对于（2），由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故正确；‎ 对于（3），由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故正确；‎ 对于（4），由图知，当F与B1重合时，与当E与D1重合时，异面直线AE、BF所成的角不相等，故不为定值，故错误．‎ ‎∴正确命题的序号是（2）（3）．‎ 故答案为（2）（3）．‎ ‎【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•白山期末）已知函数f（x）=xex+ex（e为自然对数的底）‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 ‎（2）求y=f（x）的极小值点．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=xex+ex，‎ ‎∴f′（x）=（x+2）ex，‎ 而f（1）=2e，f′（1）=3e，‎ 故切线方程是：y﹣2e=3e（x﹣1），‎ 整理得：3ex﹣y﹣e=0；‎ ‎（2）由（1）令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＜﹣2，‎ 故f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，+∞）递增，‎ 故x=﹣2是函数的极小值点．‎ ‎【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•白山期末）已知圆心C的坐标为（2，﹣2），圆C与x轴和y轴都相切 ‎（1）求圆C的方程 ‎（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）确定圆的半径，可得圆的标准方程，进而可得一般方程；‎ ‎（2）设出直线方程，利用直线与圆相切，可得直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，圆心C的坐标为（2，﹣2），圆C与x轴和y轴都相切，则半径r=2‎ 所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y+2）2=4；‎ ‎（2）由题意，在x轴和y轴上截距相等的直线一定为斜率为﹣1，可设为y=﹣x+b，‎ ‎∵直线与圆相切，∴ =2，‎ ‎∴b=±2，‎ 故直线方程为x+y±2=0．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•白山期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥BB1，AC=BC=BB1，E为A1B1的中点，且C1E⊥BB1．‎ ‎（1）求证：A1C∥平面BEC1；‎ ‎（2）求A1C与平面ABB1A所成角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结B1C，交BC1于F，连结EF，推导出EF∥A1C，由此能证明A1C∥平面BEC1．‎ ‎（2）取AB中点D，连结DE，DA1，DC，推导出C1E∥CD，CD⊥平面ABB1A1，∠CA1D是A1C与平面ABB1A所成角，由此能求出A1C与平面ABB1A所成角的大小．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 证明：（1）连结B1C，交BC1于F，连结EF，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1C1C是平行四边形，∴F为B1C中点，‎ ‎∵E为A1B1的中点，∴EF∥A1C，‎ ‎∵EF⊂平面BEC1，A1C⊄平面BEC1，‎ ‎∴A1C∥平面BEC1．…‎ 解：（2）取AB中点D，连结DE，DA1，DC，‎ ‎∵E为A1B1中点，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1中，DE∥CC1，‎ ‎∴四边形C1EDC是平行四边形，∴C1E∥CD，‎ ‎∵C1E⊥A1B1，C1E⊥BB1，∴C1E⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴CD⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴∠CA1D是A1C与平面ABB1A所成角，‎ ‎∵CD=AC，A1C=，‎ ‎∴sin∠CA1D==，∴．‎ ‎∴A1C与平面ABB1A所成角的大小为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•白山期末）已知函数f（x）=x3﹣x2+bx+c ‎（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围 ‎（2）若f（x）在x=1处取得极值，且x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为b≥（x﹣x2）max，求出b的范围即可；‎ ‎（2）求出b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在[﹣1，2]的最大值，解关于c的不等式即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f′（x）=x2﹣x+b≥0在R恒成立，‎ ‎∴b≥（x﹣x2）max，x∈R，‎ 而x∈R时，x﹣x2≤，‎ ‎∴b≥；‎ ‎（2）∵f（x）在x=1处取得极值，‎ ‎∴f′（1）=1﹣1+b=0，解得：b=0，‎ ‎∴f′（x）=x2﹣x，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1）递减，在（1，2]递增，‎ 故x=0时，f（x）极大值=c，‎ x=2时，f（x）=c+，‎ ‎∴x∈[﹣1，2]时，f（x）max=f（2）=c+，‎ x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2，‎ ‎∴c2＞f（x）max=c+，‎ 解得：c＞或c＜．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•白山期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=‎ ‎，AD=4，AM=2，E是AB的中点 ‎（1）求证：平面MDE⊥平面NDC ‎（2）求三棱锥N﹣MDC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出DE⊥CD，ND⊥AD，从而ND⊥DE，进而DE⊥平面NDC，由此能证明平面MAE⊥平面NDC．‎ ‎（2）由VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC，能求出三棱锥N﹣MDC的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，‎ ‎∵∠DAB=，∴△ABD为等边三角形，‎ E为AB中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，‎ ‎∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，‎ 又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，‎ ‎∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，‎ ‎∵DE⊂平面MDE，∴平面MAE⊥平面NDC．‎ 解：（2）∵MA∥ND，∴MA∥平面NDC，∴ME∥平面NDC，‎ ‎∴平面MAE∥平面NDC，∴ME∥平面NDC，‎ ‎∴VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC，‎ 由（1）知DE⊥AB，∠DAE=，‎ ‎∵DA=4，AE=2，∴DE=2，‎ ‎∴三棱锥N﹣MDC的体积VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC==．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•白山期末）已知椭圆E的两个焦点分别为（0，﹣1）和（0，1），离心率e=‎ ‎（1）求椭圆E的方程 ‎（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点P（0，），求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），c=1，e==，a=，b2=1，即可求得椭圆E的方程；‎ ‎（2）由丨PA丨=丨PB丨，利用两点之间的距离公式求得（x1+x2）（k2+1）=﹣2k（m﹣），①，将直线方程代入椭圆方程，x1+x2=﹣，②，由△＞0，m2＜k2+2，③代入即可求得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），‎ 则c=1，e==，a=，‎ b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的垂直平分线过定点P（0，），‎ ‎∴丨PA丨=丨PB丨，即=，‎ ‎∵A，B在l上，则y1=kx1+m，y2=kx2+m，代入求得（x1+x2）（k2+1）=﹣2k（m﹣），①‎ 则，整理得：（k2+2）x2+2kmx+m2﹣2=0，‎ 由韦达定理：x1+x2=﹣，②，‎ 由直线和椭圆有两个交点，‎ ‎∴△＞0，即4k2m2﹣4（k2+2）（m2﹣2）＞0，则m2＜k2+2，③‎ 将②代入①得m=，④，‎ 将④代入③，解得：﹣＜k＜，‎ ‎∵k≠0，‎ ‎∴实数k的取值范围（﹣，0）∪（，0）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎