2018-2019学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试 数学 解析版

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绝密★启用前 广东省汕头市金山中学2018-2019学年高二上学期期中考试 数学 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设，则ST为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题。‎ ‎2．已知两条直线， ，两个平面， ，给出下面四个命题：‎ ‎①， ②， ， ‎ ‎③， ④， ， ‎ 其中正确命题的序号是（ ）．‎ A． ①③ B． ②④ C． ①④ D． ②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】命题② 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能 ‎ ，故③错误；命题①显然正确；命题④ ，故④正确；综上正确命题为①④，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的性质和面面平行的性质等知识，涉及数形结合思想和分类与整合思想，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题型.解决此种主要采取特例法和排除法，例如：命题② 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能 ，故③错误.‎ ‎3．椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，则的周长为（ ）‎ A． 20 B． 18 C． 16 D． 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 焦点三角形的周长为，由此计算得选项.‎ ‎【详解】‎ 焦点三角形的周长为，依题意，故周长为，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何意义，焦点三角形的周长为，直接计算得出结果，属于基础题.‎ ‎4．已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（ ）‎ A． 平面ABC⊥平面ADC B． 平面ADC⊥平面BCD C． 平面ABC⊥平面BDC D． 平面ABC⊥平面ADB ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，所以平面，故平面平面.‎ ‎【详解】‎ 画出图象如下图所示，由于，所以平面，而平面，所以平面平面.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查线面垂直的判定定理，以及分析和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线BD1与AC所成的角等于(　　)‎ A． 60° B． 45° C． 30° D． 90°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过证明平面，可证得直线与直线垂直，即所成的角为.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，连接，由于几何体为正方体，故，所以平面，所以,即所成的角为.所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查正方体的几何性质，还考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.‎ ‎6．如果执行下面的框图，输入N＝5，则输出的数等于 (　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入算法程序，运行后得到输出结果为.‎ ‎【详解】‎ 将代入算法程序，，，，，退出循环结构，输出.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查程序框图，其中包括了考查循环结构，答题时，只需要按照程序循环运行，直至退出程序，得到输出的结果.属于基础题.‎ ‎7．“”是“”的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，所以．又因，所以，因此“”是“”的充分不必要条件．故选A．‎ 考点：充分性、必要性问题．‎ ‎8．椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，轴，且是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可知，结合，化简后可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于轴，且是等腰直角三角形，所以，即，即 ‎.两边除以得，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查椭圆的几何性质，考查等腰直角三角形的几何性质，考查椭圆离心率的求法.解题的关键是通过阅读题目，得到一个方程，然后结合，将得到的方程转化为离心率的形式，然后解方程可求得离心率的值.考查了分析和求解问题的能力，属于基础题.‎ ‎9．在等腰梯形中，,,为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知三棱锥为正四面体,且边长.故外接球半径为,外接球的体积为.故选C.‎ 考点：几何体.‎ ‎10．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（　）‎ A． B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出直观图，计算三棱锥四个面的面积，由此求得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 画出直观图如下图所示，计算各面的面积为,,,故最大面积为，所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三视图还原为原图，并求原图各个面的面积，由于题目所给垂直较多，故只需要代入直角三角形面积公式，即可计算得到结果，属于基础题.‎ ‎11．已知方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原方程变为两个函数，.画出图像，结合图像求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 原方程变为两个函数，.画出图像如下图所示，由图可知，斜率的取值范围为，,由于直线和半圆相切，故圆心到直线的距离为半径，即 ‎，解得.故斜率的取值范围为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数零点的分析方法，考查半圆的方程的识别，考查直线和圆的位置关系的表示.首先是函数零点的问题，转化为两个函数图像的交点来考查.其次是数形结合的数学思想方法，要注意到实际上表示的图像是半圆，而直线过定点，由此画出图像，再计算斜率即可求得斜率的取值范围.‎ ‎12．已知点P（1，1）及圆C：，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为（　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出图像，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，故,所以通过求的范围来求的范围.当三点共线时，有最大值，由此可得出选项.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画出图像如下图1所示，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，故,根据图像可知，当三点共线时，有最大值，如图2所示.此时直线 斜率为零，直线斜率不存在，直角三角形为等腰直角三角形.将代入圆的方程，求得，故,所以.也即的最大值为，只有选项A符合，故选A.‎ 图1‎ 图2‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和动态分析问题的能力，属于难题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝ _______‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量平行的坐标表示，列方程，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查两个向量平行的条件.对于两个向量，若，则；若，则.‎ ‎14．已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为2，底面边长为1，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值等于______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，由图像可知与平面为，由此计算得线面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，由图可知，平面，且是底面等边三角形的中心，故是直线与底面所成的角.其中，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线与平面所成角的余弦值的计算.要计算这个余弦值，首先根据线面角的概念作出这个角，再计算它的余弦值.属于基础题.‎ ‎15．菱形ABCD的边长为2，且∠BAD＝60°，将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD体积的最大值为____________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于三棱锥底面积固定，所以高最高的时候取得体积的最大值，此时高为.由此计算得体积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由于三棱锥底面积固定，所以高最高的时候取得体积的最大值，此时高为.故体积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三棱锥的体积计算，考查折叠问题的分析方法.在求体积最大值的过程中，由于底面积一定，则高取得最大值时，体积取得最大值.‎ ‎16．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_________‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两个函数都关于点中心对称，且左右两次各有个交点，故横坐标总和为.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，有图可知，两个函数都关于点中心对称，且左右两次各有个交点，故横坐标总和为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查反比例函数的图像与性质，考查正弦函数型三角函数的图像与性质，考查函数的对称性，要用到数形结合的数学思想方法.对于函数，可类比的图像，向右平移个单位得到，而的最小正周期为，由此可画出图像.再结合图像来解决.属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知A、B、C是ABC的内角，分别是角A，B，C的对边。‎ 若 ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若,求ABC面积的最大值 ‎【答案】（I） （II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先用正弦定理转化已知条件，再用余弦定理化简成的形式，求得的值，由此得到的大小.（2）利用角的余弦定理，结合基本不等式，求得的最大值，再利用三角形的面积公式求得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由正弦定理及得由余弦定理 又，则 ‎ （II）由（I）得，又，得 ‎ 又可得 ‎ ‎,当时取得等号所以的ABC面积最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，并用基本不等式求三角形面积的最大值，属于中档题.‎ ‎18．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.‎ O为AB的中点 ‎(1)证明：AB⊥平面A1OC ‎(2)若AB＝CB＝2，平面ABC平面A1ABB1，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形，证得三角形是等边三角形，由此证得，再根据三角形为等腰三角形证得，故平面.（2）由（1）利用面面垂直的性质定理，证得平面，即为三棱柱的高，由此可求得三棱柱的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：连结A1B.，因为CA＝CB，OA＝OB，所OC⊥AB 因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所三角形AA1B为等边三角形，‎ 所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以OA1⊥AB，又＝，面A1OC ‎（2）由题可知，与是边长为2的等边三角形，得 平面ABC平面A1ABB 平面ABC平面A1ABB＝AB，‎ 由（1）OA1⊥AB，平面A1ABB 面ABC 为三棱柱ABC－A1B1C1的高 ‎＝3‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间点线面位置关系和空间几何体体积的求法.要证明线面垂直，可以通过证明线线垂直，然后利用线面垂直的判定定理得到结论.要求一个几何体的体积，首先判断几何体的结构，是椎体还是柱体，或者是台体，然后主要将几何体的高找到，进而利用体积公式求得体积.‎ ‎19．在数列中， ‎ ‎（I）设，求数列的通项公式 ‎（II）求数列的前项和 ‎【答案】（I） ()‎ ‎（II）= ‎ ‎【解析】试题分析：解:(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()‎ ‎(II)由(I)知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型,‎ 易得=‎ 考点：数列的通项公式和求和的运用 点评：解决的关键是对于数列的递推关系式的运用，根据迭代法得到通项公式，并结合错位相减法求和。‎ ‎20．已知过点A（0，4），且斜率为的直线与圆C：，相交于不同两点M、N.‎ ‎（1）求实数的取值范围； ‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求的值，若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（1）；(2)见解析；（3）不存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，可求得的取值范围.（2）联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理.代入并化简，可证得 为定值.（3）先假设存在这样的直线，利用两个向量的数量积为零建立方程并化简成一元二次方程的形式，计算其判别式，可知不存在.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（法一）设直线方程为，即，点C（2，3）到直线的距离为 ‎,解得 ‎（法二）设直线方程为，联立圆C的方程得 ‎,此方程有两个不同的实根 ‎,解得 ‎(2)设直线方程为，联立圆C的方程得 ‎,设M,‎ 则 ‎ ‎ ‎（3）假设存在满足条件的直线，则有 得，从而得,此方程无实根 所以，不存在以MN为直径的圆过原点。‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆的位置关系.要直线和圆由两个交点，可以用圆心到直线的距离小于半径来列不等式解决.‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把函数化简为，这个分段函数是由两个二次函数构成，右边是开口向上的抛物线的一部分，对称轴是，左边是开口向下的抛物线的一部分，对称轴是，为了使函数为增函数，因此有 ；（2）方程有三个不相等的实数根，就是函数的图象与直线有三个不同的交点，为此研究函数的单调性，由（1）知当时，在上单调递增，不合题意，当时， ，在上单调增，在上单调减，在上单调增，关于的方程有三个不相等的实数根的条件是， 由此有，因为，则有，由于题中是存在，故只要大于1且小于的最大值；当时同理讨论即可．‎ 试题解析：（1）， ‎ 当时，的对称轴为：； ‎ 当时，的对称轴为：； ‎ ‎∴当时，在R上是增函数，‎ 即时，函数在上是增函数； ‎ ‎（2）方程的解即为方程的解．‎ ‎①当时，函数在上是增函数， ‎ ‎∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ‎ ‎②当时，即，‎ ‎∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ ‎∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，‎ ‎∵∴．‎ 设，‎ ‎∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ‎ ‎∴，‎ 又可证在上单调增 ‎∴∴；‎ ‎③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ ‎∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；‎ 即，∵∴，设 ‎∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ‎ ‎∴，又可证在上单调减∴‎ ‎∴； ‎ 综上：．‎ 考点：分段函数，函数的单调性，方程根的分布．‎ ‎【名师点晴】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路:‎ ‎（1）直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;‎ ‎（2）分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;‎ ‎（3）数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.‎ 本题利用数形结合思想，可把问题转化为研究函数的单调性与最值问题，‎