新疆2020届高三高考第一次模拟测试（问卷）数学（理）试题

新疆2020届高三高考第一次模拟测试（问卷）数学（理）试题

‎2020年高考（理科）数学一模（问卷）试卷 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．已知复数z＝cos23°+isin23°（i为虚数单位），则z•＝（　　）‎ A．cos46° B．sin46° C．cos45° D．tan45°‎ ‎2．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（　　）‎ A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎3．已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）的导函数y＝f'（x）的图象为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．已知向量的夹角为120°，且，，则向量在向量方向上的投影是（　　）‎ A．0 B． C．﹣1 D．‎ ‎5．已知F‎1F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF‎1F2＝30°，且焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±3x ‎6．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC＝acosB+bcosA，若c＝2，a＝4，则b的值为（　　）‎ A．6 B．‎2 ‎C．5 D．‎ ‎7．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：‎ 甲说：我去过阿勒泰；‎ 乙说：丙去过阿勒泰；‎ 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；‎ 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．‎ 若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎8．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE＝2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）在区间[﹣]单调递减，在区间（）有零点，则φ的取值范围是（　　）‎ A．[] B．[） C．（] D．[）‎ ‎11．已知函数f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝，则f（2020）＝（　　）‎ A．2020 B． C． D．0‎ ‎12．已知F是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应的横线上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）‎ ‎13．函数y＝x（2x﹣a）在点（1，1）处的切线方程为3x+by﹣c＝0，则b+c＝　 　．‎ ‎14．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为　 　．‎ ‎15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝a，BC＝b，CD＝c，且a2+b2+c2＝1，则鳖臑A﹣BCD的外接球的表面积为　 　．‎ ‎16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是　 　．‎ 三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）‎ ‎17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝‎4a1，a2是a1+1与a3的等差中项．‎ ‎（1）求an与Sn；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，且AB∥DC，AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PDC⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若PA＝PD＝AB＝DC，∠PAD＝60°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎19．某商场春节期间推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满300元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域Ⅰ 返券60元；停在区域Ⅱ返券30元；停在区域Ⅲ不返券．例如：消费600元，可抽奖2次，所获得的返券金额是两次金额之和．‎ ‎（Ⅰ）若某位顾客消费300元，求返券金额不低于30元的概率；‎ ‎（Ⅱ）若某位顾客恰好消费600元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点；x1、x2，且x1＜x2，求证：f（x1）＜0且f（x2）＞﹣．‎ ‎21．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）中，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1，|AB|＝．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是椭圆C上一点，F1、F2是椭圆的左右两个焦点，直线F1P、F2P分别交x＝4于M、N，是否存在点P，使S△PMN＝5S，若存在，求出P点的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系：xOy中曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，P点满足＝3，P点的轨迹为曲线C2．‎ ‎（Ⅰ）求C2的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y＝x与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，将曲线C1、C2的方程转化为极坐标方程后，求|AB|．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|，g（x）＝x+2．‎ ‎（Ⅰ）当m＝﹣1时，求不等式f（x）＜3的解集；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[﹣m，）时f（x）＜g（x），求m的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知复数z＝cos23°+isin23°（i为虚数单位），则z•＝（　　）‎ A．cos46° B．sin46° C．cos45° D．tan45°‎ ‎【分析】利用互为共轭复数的运算性质即可得出．‎ 解：z•＝cos223°+sin223°＝1＝tan45°．‎ 故选：D．‎ ‎2．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（　　）‎ A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．‎ 解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，‎ ‎∴A∩B＝{﹣1，0}．‎ 故选：B．‎ ‎3．已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）的导函数y＝f'（x）的图象为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】先求导可得f′（x）＝lnx+1（x＞0），再根据图象变换得出正确选项．‎ 解：f′（x）＝lnx+1（x＞0），‎ 故f′（x）＝lnx+1相当于函数y＝lnx向上移动了一个单位，由选项可知，选项C符合．‎ 故选：C．‎ ‎4．已知向量的夹角为120°，且，，则向量在向量方向上的投影是（　　）‎ A．0 B． C．﹣1 D．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积与投影的定义，计算即可．‎ 解：向量的夹角为θ＝120°，‎ 且，，‎ ‎∴（+）•＝+•＝12+1×2×cos120°＝0；‎ ‎∴向量在向量方向上的投影是 ‎|+|cos＜+，＞＝|+|×＝＝0．‎ 故选：A．‎ ‎5．已知F‎1F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF‎1F2＝30°，且焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±3x ‎【分析】先求出c的值，再求出点P的坐标，可得|PF2|＝，再由已知求得|PF1|，然后根据双曲线的定义可得的值，则答案可求．‎ 解：由题意，‎2c＝2，‎ 解得c＝，‎ ‎∵F2（c，0），设P（c，y），‎ ‎∴，解得y＝±，‎ ‎∴|PF2|＝，‎ ‎∵∠PF‎1F2＝30°，‎ ‎∴|PF1|＝2|PF2|＝，‎ 由双曲线定义可得：＝‎2a，‎ 则‎2a2＝b2，即．‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝．‎ 故选：B．‎ ‎6．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC＝acosB+bcosA，若c＝2，a＝4，则b的值为（　　）‎ A．6 B．‎2 ‎C．5 D．‎ ‎【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC＝sinC，结合sinC≠0，可求得tanC＝，结合范围C∈（0，π），可求C，进而根据余弦定理b2﹣4b﹣12＝0，解方程可求b的值．‎ 解：∵ctanC＝acosB+bcosA，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinCtanC＝（sinAcosB+sinBcosA）＝sin（A+B）＝sinC，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴可得tanC＝，‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴C＝，‎ ‎∵c＝2，a＝4，‎ ‎∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得28＝16+b2﹣2×，可得b2﹣4b﹣12＝0，‎ ‎∴解得b＝6，（负值舍去）．‎ 故选：A．‎ ‎7．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：‎ 甲说：我去过阿勒泰；‎ 乙说：丙去过阿勒泰；‎ 丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；‎ 丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．‎ 若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【分析】先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话．‎ 解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；‎ 如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过．‎ 故选：C．‎ ‎8．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数n＝＝45，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数m＝＝35，由此能求出他取到的书的书名中有“算”字的概率．‎ 解：《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，‎ 李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，‎ 朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．某图书馆中正好有这十本书，‎ 现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，‎ 基本事件总数n＝＝45，‎ 他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数m＝＝35，‎ 那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为p＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎9．在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE＝2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1B所成角的余弦值．‎ 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AB＝3，则A（3，0，0），E（0，3，2），A1（3，0，3），B（3，3，0），A1（3，0，3），‎ ‎＝（﹣3，3，2），＝（0，3，﹣3），‎ 设异面直线AE与A1B所成角为θ，‎ 则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为：‎ cosθ＝＝＝．‎ 故选：B．‎ ‎10．函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）在区间[﹣]单调递减，在区间（）有零点，则φ的取值范围是（　　）‎ A．[] B．[） C．（] D．[）‎ ‎【分析】根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系进行求解即可．‎ 解：由2kπ≤2x+φ≤2kπ+π，k∈Z，‎ 得kπ﹣≤x≤kπ﹣+，k∈Z，‎ 即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+﹣]，k∈Z，‎ ‎∵f（x）在区间[﹣]单调递减，‎ ‎∴kπ﹣≤﹣且，kπ+﹣≥，‎ 即，得kπ+≤≤kπ+，k∈Z，‎ 即2kπ+≤φ≤2kπ+，k∈Z，‎ ‎∵0＜φ＜π，‎ ‎∴当k＝0时，≤φ≤，‎ ‎∵由2x+φ＝kπ+得x＝﹣+，‎ ‎∵f（x）在区间（）有零点，‎ ‎∴满足﹣＜﹣+＜0，‎ 当k＝0时，﹣＜﹣+＜0，‎ 得＜φ＜，‎ 综上＜φ≤，‎ 故选：C．‎ ‎11．已知函数f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝，则f（2020）＝（　　）‎ A．2020 B． C． D．0‎ ‎【分析】根据题意，由函数f（x）的对称性可得f（x+4）＝﹣f（x+2），即f（x+2）＝﹣f（x），进而可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2020）＝f（0），由函数的解析式计算可得答案．‎ 解：根据题意，函数f（x+2）为奇函数，即函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，则有f（﹣x）＝﹣f（x+4），‎ 函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（﹣x）＝f（2+x），‎ 变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2），即f（x+2）＝﹣f（x），‎ 则有f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ f（2020）＝f（0+505×4）＝f（0）＝0；‎ 故选：D．‎ ‎12．已知F是椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．‎ 解：设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，根据椭圆对称性可知四边形PFF'Q为平行四边形，‎ 则|QF|＝|PF'|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，‎ 所以|PF|+|PF'|＝4|PF'|＝‎2a，则|PF'|＝，|PF|＝‎ 由余弦定理可得（‎2c）2＝|PF|2+|PF'|2﹣2|PF||PF'|cos60°＝（|PF|+|PF'|）2﹣3|PF||PF'|，‎ 即‎4c2＝‎4a2﹣a2＝a2，‎ ‎∴椭圆的离心率e＝＝＝，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应的横线上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）‎ ‎13．函数y＝x（2x﹣a）在点（1，1）处的切线方程为3x+by﹣c＝0，则b+c＝　1　．‎ ‎【分析】先将（1，1）分别代入函数解析式和切线方程得关于a，b，c的两个方程，再对函数求导数，利用切点处导数值等于切线斜率列方程，解方程组即可．‎ 解：因为y＝x（2x﹣a）在点（1，1）处的切线方程为3x+by﹣c＝0，∴切线斜率为．‎ ‎∴，∴a＝1，∴y′＝4x﹣1，∴，‎ 故b＝﹣1，c＝2．‎ ‎∴b+c＝1．‎ 故答案为：1‎ ‎14．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为　14　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，‎ 平移直线y＝﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．‎ 由，‎ 解得，即A（4，6），‎ 代入z＝2x+y＝2×4+6＝14．‎ 即目标函数z＝2x+y最大值为14．‎ 故答案为：14．‎ ‎15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝a，BC＝b，CD＝c，且a2+b2+c2＝1，则鳖臑A﹣BCD的外接球的表面积为　π　．‎ ‎【分析】要求外接球，需知到其半径，因为球心到球面的点的距离相等，可以找出一点到ABCD四个点的距离相等，求解即可．‎ 解：因为球心到球面的点的距离相等，可以找出一点到ABCD四个点的距离相等，在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，‎ 可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等，所以AO＝AD；‎ 而AD2＝AB2+BD2＝AB2+BC2+CD2＝a2+b2+c2＝1；‎ ‎∴A﹣BCD的外接球的半径为：r＝；‎ 故A﹣BCD的外接球的表面积为：4πr2＝π；‎ 故答案为：π．‎ ‎16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是　[﹣，+∞）　．‎ ‎【分析】由已知可知x＝2是f′（x）＝0唯一的根，进而可转化为﹣k＝在x＞0时没有变号零点，构造函数g（x）＝，x＞0，结合导数及函数的性质可求．‎ 解：函数定义域（0，+∞），＝，‎ 由题意可得，x＝2是f′（x）＝0唯一的根，‎ 故ex+kx2＝0在（0，+∞）上没有变号零点，‎ 即﹣k＝在x＞0时没有变号零点，‎ 令g（x）＝，x＞0，则，‎ 当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，‎ 故当x＝2时，g（x）取得最小值g（2）＝，‎ 故﹣k即k．‎ 故答案为：[﹣）．‎ 三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）‎ ‎17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝‎4a1，a2是a1+1与a3的等差中项．‎ ‎（1）求an与Sn；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由S2＝‎4a1，a2是a1+1与a3的等差中项．可得a1（1+q）＝‎4a1，‎2a2＝a1+1+a3，即‎2a1q＝a1+1+a1q2，联立解得a1，q，再利用通项公式与求和公式即可得出an，Sn．‎ ‎（2）bn＝＝＝（﹣），利用裂项求和方法即可得出数列{bn}的前n项和Tn．‎ 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵S2＝‎4a1，a2是a1+1与a3的等差中项．‎ ‎∴a1（1+q）＝‎4a1，‎2a2＝a1+1+a3，即‎2a1q＝a1+1+a1q2，‎ 联立解得a1＝2，q＝3，‎ ‎∴an＝2×3n﹣1．‎ Sn＝＝3n﹣1．‎ ‎（2）bn＝＝＝（﹣），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn＝+﹣+……+‎ ‎＝．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，且AB∥DC，AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PDC⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若PA＝PD＝AB＝DC，∠PAD＝60°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先利用面面垂直的性质定理可得AB⊥平面PAD，进而得到CD⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定定理得证；‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解即可．‎ 解：（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB在平面ABCD内，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ 而CD在平面PAD内，‎ ‎∴平面PDC⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）作PO⊥AD于O，则PO⊥平面ABCD，过O作OE∥AB交BC于E，‎ 如图，以O为坐标原点，DA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AB＝2，则，故，‎ 设平面PAB的一个法向量为，则，则可取，‎ 设平面PBC的一个法向量为，则，则可取，‎ ‎∴，‎ 由图可知，二面角A﹣PB﹣C的平面角为锐角，故二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为 ‎．‎ ‎19．某商场春节期间推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满300元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域Ⅰ返券60元；停在区域Ⅱ返券30元；停在区域Ⅲ不返券．例如：消费600元，可抽奖2次，所获得的返券金额是两次金额之和．‎ ‎（Ⅰ）若某位顾客消费300元，求返券金额不低于30元的概率；‎ ‎（Ⅱ）若某位顾客恰好消费600元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设指针落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别记为事件A、B、C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，若返券金额不低于30元，则指针落在区域Ⅰ或区域Ⅲ，再根据和事件求概率即可；‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，30，60，90，120，然后结合独立事件依次求出每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，再求数学期望即可得解．‎ 解：（Ⅰ）设指针落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别记为事件A、B、C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，‎ 若返券金额不低于30元，则指针落在区域Ⅰ或区域Ⅲ的概率为P（A）+P（B）＝‎ ‎，‎ 即消费300元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．‎ ‎（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次，随机变量X的可能取值为0，30，60，90，120，‎ P（X＝0）＝，‎ P（X＝30）＝，‎ P（X＝60）＝，‎ P（X＝90）＝，‎ P（X＝120）＝．‎ 所以，随机变量X的分布列为 ‎ X ‎ 0‎ ‎ 30‎ ‎ 60‎ ‎ 90‎ ‎ 120‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望E（X）＝．‎ ‎20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点；x1、x2，且x1＜x2，求证：f（x1）＜0且f（x2）＞﹣．‎ ‎【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；‎ ‎（II）结合函数的极值与导数零点的关系及函数的性质进行合理的变形可证．‎ 解：（I）a＝1时，f（x）＝x（lnx﹣x），f（1）＝﹣1，‎ 因为f′（x）＝lnx+1﹣2x，f′（1）＝﹣1，‎ 所以f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y+1＝﹣（x﹣1）即x+y＝0；‎ ‎（II）由已知可得，f′（x）＝lnx+1﹣2ax，x＞0，‎ 由f′（x）＝0可得，‎2a＝，‎ 令g（x）＝，则，‎ 易得g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且g（1）＝1，g（）＝0，‎ 故当x＞1时，g（x）＞0，x→+∞时，g（x）→0，‎ 数f（x）有两个极值点；x1、x2，且x1＜x2，即f′（x）＝0有两个零点x1、x2，且x1＜x2，则0＜‎2a＜1，‎ 所以0，‎ ‎∴x1＜1＜x2，‎ 当x∈（x1，1）时，＞‎2a，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 所以f（x1）＜f（1）＝﹣a＜0，‎ 当x∈（1，x2）时，＞‎2a，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎∴f（x2），‎ 综上，f（x1）＜0且f（x2）＞﹣．‎ ‎21．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）中，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1，|AB|＝．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是椭圆C上一点，F1、F2是椭圆的左右两个焦点，直线F1P、F2P分别交x＝4于M、N，是否存在点P，使S△PMN＝5S，若存在，求出P点的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（I）由三角形的面积公式可得ab＝2，结合两点的距离公式解得a，b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（II）假设存在点P，使S△PMN＝5S，设P（x0，y0），求得D的坐标，过P作x轴的垂线交x轴于Q（x0，0），运用三角形的面积公式和三角形的相似性质，结合坐标运算，解方程可得所求值．‎ ‎【解答】 解：（I）由题意可得，△OAB的面积为ab＝1，‎ 又|AB|＝，可得a2+b2＝5，解得a＝2，b＝1，‎ 则椭圆C的方程为+y2＝1；‎ ‎（II）假设存在点P，使S△PMN＝5S，‎ 设P（x0，y0），x＝4与x轴交于D（4，0），过P作x轴的垂线交x轴于Q（x0，0），‎ 又F1（﹣，0），F2（，0），‎ 由S△PMN＝5S，‎ 可得|PM|•|PN|•sin∠MPN＝5•|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2，‎ 即|PM|•|PN|＝5|PF1|•|PF2|，‎ 可得＝5•，则＝5•，‎ 即＝5•，可得4x02+8x0﹣31＝0，或6x02﹣8x0+1＝0，‎ 又﹣2＜x0＜2，则x0＝∈（0，2）或x0＝∈（0，2），‎ 故存在P，且P的横坐标为或或．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系：xOy中曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，P点满足＝3，P点的轨迹为曲线C2．‎ ‎（Ⅰ）求C2的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y＝x与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，将曲线C1、C2的方程转化为极坐标方程后，求|AB|．‎ ‎【分析】（Ⅰ ‎）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的变换的应用求出结果．‎ 解：（Ⅰ）设P（x，y）由于P点满足＝3，所以M（），由于点M在C1上，‎ 所以，整理得C2的参数方程（α为参数）．‎ ‎（Ⅱ）曲线C1的参数方程转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C2的参数方程转换为极坐标方程为ρ＝6sinθ，‎ 直线y＝x转换为极坐标方程为．‎ 所以，解得ρA＝1，‎ 同理，解得ρB＝3，‎ 故|AB|＝|ρA﹣ρB|＝3﹣1＝2．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|，g（x）＝x+2．‎ ‎（Ⅰ）当m＝﹣1时，求不等式f（x）＜3的解集；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[﹣m，）时f（x）＜g（x），求m的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义，去绝对值符号，可得x的不等式组，解不等式，求并集可得所求解集；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得m＜2x+1在x∈[﹣m，）恒成立，运用一次函数的单调性可得y＝2x+1的最小值，可得m的不等式，注意﹣m＜，解不等式可得m的范围．‎ 解：（Ⅰ）当m＝﹣1时，|2x﹣1|+|x﹣1|＜3，‎ 等价为或或，‎ 解得1≤x＜或＜x＜1或﹣＜x≤，‎ 则原不等式的解集为（﹣，）；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[﹣m，）时f（x）＜g（x），‎ 即为1﹣2x+x+m﹣（x+2）＜0，即m＜2x+1在x∈[﹣m，）恒成立，‎ 可得m＜﹣‎2m+1，可得m＜，但﹣m＜，即m＞﹣，‎ 可得m的取值范围为（﹣，）．‎