河北省衡水中学2019届高三上学期四调考试数学（理）试题（扫描版）

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四调参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．A 4,B 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11.B 12.A 二、填空题 13． 14. 15.120 16. 三、解答题 17．（1）数列 满足： ， （ ） ，所以， ， 即，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列； （2）由（1）得 ，解之得： ； 所以， 于是， 18．解析：①取 中点为 ，则由 平面 与 平面 .连接 ，易求得： 与 可 得： 平面 与 式得： 平面 . ②法 1：取 中点为 ，则 .由①知： 平面 ，故 平面 . 即为所求线面角.易求得： ， 故 ， .[来源:学科网] 法 2：以 为原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则 . 平 面 的 法 向 量 为 ，故所求线面角的正弦等于： . 19. （Ⅰ）因为 ，所以由 ， 即 ，由正弦定理得 ， 即 ，∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ . （Ⅱ）∵ ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴ . 20．（1）连接 ，底面 为平行四边形， 是 的中点， 是 的中点， ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）由 平面 ， 平行四边形 ， 平面 底面 ， ， ， 四边形 为矩形，且 底面 ， ，过 作 ， 以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系（如图）， 由 ， ， ，知 ， 、 、 、 、 、 ， 、 、 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ,取 ， ， ，即 ， 设平面 的法向量为 则 ,取 ， ， ，即 ， 二面角 的平面角 的余弦 . 21．解：（Ⅰ）由抛物线定义可得 ，∵点 M在抛物线 上，[来源:学,科,网 Z,X,X,K] ∴ ，即 ① 又由 ，得 ，将上式代入①，得 解得 ∴ ， 所以曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 ——————4分 （Ⅱ）设直线 的方程为 ，由 消去 y 整理得 ， 设 ， .则 ， 设 ， ，则 ，所以 ， ② 设直线 的方程为 ， 由 ，解得 ，所以 ， 由②可知，用 代替 ，可得 ， 由 ，解得 ，所以 ， 用 代替 ，可得 所以 ，当且仅当 时等号成立。 所以 的取值范围为 . ——————————————————12分 22．试题解析：（1） ， ， 设切点坐标为 ，由题意得 ，解得： . （2） ，令 ， 则 ，当 时， ， ， 又可以写成 ，当 时， ， ， 因此 在 上大于 0， 在 上单调递增，又 ， 因此 在 上小于 0，在 上大于 0， 且 在 上单调递减，在 上单调递增， ，当 时， ， 记 ， 记函数 的导函数为 ，则[来源:Zxxk.Com] ， 故 在 上单调递增，[来源:学科网 ZXXK] 所以 ，所以 ， 不妨设 ，则 ，[来源:学科网 ZXXK] 而 ， ，有单调性知 ，即 .