2021高考数学大一轮复习考点规范练43空间向量及其运算理新人教A版

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考点规范练43　空间向量及其运算 ‎　考点规范练A册第30页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2019江西丰城中学期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若AE‎=‎AA‎1‎+xAB+yAD,则x,y的值分别为(　　)‎ A.x=1,y=1 B.x=1,y=‎‎1‎‎2‎ C.x=‎1‎‎2‎,y=‎1‎‎2‎ D.x=‎1‎‎2‎,y=1‎ 答案:C 解析:AE‎=AA‎1‎+A‎1‎E=AA‎1‎+‎1‎‎2‎A‎1‎C‎1‎=AA‎1‎+‎1‎‎2‎(AB+‎AD),故x=‎1‎‎2‎,y=‎‎1‎‎2‎‎.‎ ‎2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　)‎ A.2,‎1‎‎2‎ B.-‎1‎‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎ C.-3,2 D.2,2‎ 答案:A 解析:∵a∥b,‎ ‎∴存在k∈R,使b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),‎ 则‎6=k(λ+1),‎‎2μ-1=0,‎‎2λ=2k,‎解得λ=2,‎μ=‎‎1‎‎2‎或λ=-3,‎μ=‎1‎‎2‎.‎ ‎3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(　　)‎ A.-2 B.-‎14‎‎3‎ C‎.‎‎14‎‎5‎ D.2‎ 答案:D 解析:由题意知a·(a-λb)=0,‎ 即a2-λa·b=0,∴14-7λ=0.∴λ=2.‎ ‎4.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB‎·‎AC=0,AC‎·‎AD=0,AB‎·‎AD=0,M为BC的中点,则△AMD是(　　)‎ A.钝角三角形 B.锐角三角形 ‎ 6‎ C.直角三角形 D.不确定 答案:C 解析:∵M为BC的中点,‎∴AM=‎1‎‎2‎(AB+‎AC).‎ ‎∴AM·AD=‎1‎‎2‎(AB+‎AC‎)‎·AD=‎1‎‎2‎AB·AD+‎1‎‎2‎AC·‎AD=0.∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.‎ ‎5.(2019安徽阜阳调考)在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则(　　)‎ A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0‎ C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0‎ 答案:A 解析:∵A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),‎∴‎AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).‎ ‎∵A,B,C,D四点共面,∴存在实数λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),‎ ‎∴‎x-1=-2μ,‎y-1=λ+2μ,‎z+2=-λ+2μ,‎解得2x+y+z=1,故选A.‎ ‎6.在空间四边形ABCD中,则AB‎·CD+AC·DB+AD·‎BC的值为(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ 答案:B 解析:(方法一)如图,令AB=a,AC=b,AD=c,‎ 则AB‎·CD+AC·DB+AD·BC=AB·‎(AD‎-‎AC)+AC‎·‎(AB‎-‎AD)+AD‎·‎(AC‎-‎AB)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.‎ ‎(方法二)在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱互相垂直可知,AB‎·‎CD=0,AC‎·‎DB=0,AD‎·‎BC=0.‎ 6‎ 故AB‎·CD+AC·DB+AD·‎BC=0.‎ ‎7.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a的夹角为60°的是(　　)‎ A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)‎ 答案:B 解析:对于选项B,设b=(1,-1,0),‎ 则cos=‎a·b‎|a||b|‎‎=‎1×1‎‎2‎‎×‎‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ 因为0°≤≤180°,所以=60°,故选B.‎ ‎8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=(1,2,0),AD=(2,1,0),CC‎1‎=(0,1,5),则对角线AC1的边长为(　　)‎ A.4‎2‎ B.4‎3‎ C.5‎2‎ D.12‎ 答案:C 解析:AC‎1‎‎=AA‎1‎+A‎1‎B‎1‎+B‎1‎C‎1‎=CC‎1‎+AB+‎AD=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5),‎ 所以|AC‎1‎|=‎3‎‎2‎‎+‎4‎‎2‎+‎‎5‎‎2‎=5‎‎2‎‎.‎ ‎9.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是(　　)‎ A.相交 B.垂直 C.不垂直 D.成60°角 答案:B 解析:因为AB‎·‎AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,‎ 所以AB‎⊥AP.‎ 因为AD‎·‎AP=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,‎ 所以AD‎⊥AP.‎ 又AB∩AD=A,‎ 所以AP⊥底面ABCD.‎ ‎10.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当QA‎·‎QB最小时,点Q的坐标是　　　　　　　　. ‎ 6‎ 答案:‎‎4‎‎3‎‎,‎4‎‎3‎,‎‎8‎‎3‎ 解析:设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),则QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ).‎ 故QA‎·‎QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6‎λ-‎‎4‎‎3‎‎2‎‎-‎2‎‎3‎.‎ 所以当λ=‎4‎‎3‎时,QA‎·‎QB取得最小值-‎2‎‎3‎,此时OQ‎=‎4‎‎3‎‎,‎4‎‎3‎,‎‎8‎‎3‎.‎ 所以点Q的坐标是‎4‎‎3‎‎,‎4‎‎3‎,‎‎8‎‎3‎‎.‎ ‎11.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:‎ ‎(1)A1,G,C三点共线;‎ ‎(2)A1C⊥平面BC1D.‎ 证明(1)CA‎1‎‎=CB+BA+AA‎1‎=CB+CD+‎CC‎1‎,可以证明CG‎=‎1‎‎3‎(CB+CD+‎CC‎1‎)=‎1‎‎3‎CA‎1‎,‎∴CG∥‎CA‎1‎,即A1,G,C三点共线.‎ ‎(2)设CB=a,CD=b,CC‎1‎=c,‎ 则|a|=|b|=|c|=a,‎ 且a·b=b·c=c·a=0,‎ ‎∵‎CA‎1‎‎=a+b+c,BC‎1‎=c-a,‎ ‎∴CA‎1‎·‎BC‎1‎‎=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.‎ 因此CA‎1‎‎⊥‎BC‎1‎,即CA1⊥BC1.‎ 同理CA1⊥BD,‎ 又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,‎ 故A1C⊥平面BC1D.‎ 能力提升 ‎12.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若AC'‎=xAB+2yBC-3zCC'‎,则x+y+z=(　　)‎ 6‎ A.1 B‎.‎‎7‎‎6‎ C‎.‎‎5‎‎6‎ D‎.‎‎2‎‎3‎ 答案:B 解析:‎∵AC'‎=AC+CC'‎=AD+AB+CC'‎=AB+BC+‎CC'‎=xAB+2yBC-3zCC'‎,‎ ‎∴x=1,y=‎1‎‎2‎,z=-‎1‎‎3‎,∴x+y+z=1+‎‎1‎‎2‎‎-‎1‎‎3‎=‎7‎‎6‎.‎ ‎13.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE‎·‎AF的值为(　　)‎ A.a2 B‎.‎‎1‎‎2‎a2 C‎.‎‎1‎‎4‎a2 D‎.‎‎3‎‎4‎a2‎ 答案:C 解析:如图,设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°.‎ AE‎=‎‎1‎‎2‎‎(a+b),AF‎=‎‎1‎‎2‎c,‎ 故AE‎·AF=‎‎1‎‎2‎(a+b)‎·‎‎1‎‎2‎c ‎=‎1‎‎4‎(a·c+b·c)‎ ‎=‎1‎‎4‎(a2cos60°+a2cos60°)=‎1‎‎4‎a2.‎ 高考预测 ‎14.如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,BC=2CE,则D‎1‎E=(　　)‎ A‎.AB+AD+‎AA‎1‎ ‎ B‎.AB+‎1‎‎2‎AD-‎AA‎1‎ 6‎ C‎.AB+AD-‎AA‎1‎ ‎ D‎.AB+‎1‎‎3‎AD-‎AA‎1‎ 答案:B 解析:如图所示,取BC的中点F,连接A1F,则A1D1∥FE,且A1D1=FE,‎ ‎∴四边形A1D1EF是平行四边形,‎ ‎∴A1F∥D1E,且A1F=D1E.‎ ‎∴A‎1‎F=D‎1‎E.‎ 又A‎1‎F‎=A‎1‎A+AB+‎BF=-AA‎1‎‎+AB+‎‎1‎‎2‎AD,‎ ‎∴D‎1‎E=AB+‎1‎‎2‎AD-AA‎1‎.‎ 6‎