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文档介绍
数学理卷·2018届河北省张家口市万全县万全中学高二下学期期初考试(2017-02)
万全中学2016-2017学年第二学期期初考试 高二理数 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1.下列命题是真命题的是( ) A.a>b是ac2>bc2的充要条件 B.a>1,b>1是ab>1的充分条件 C.∃∈R,e≤0 D.若p∨q为真命题,则p∧q为真 2.设,其中x,y是实数,则 A.1 B. C. D.2 3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±4y=0 D.4x±y=0 4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 A. B. C. D. 5.已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 A.(–1,3) B.(–1,) C.(0,3) D.(0,) 6.在区间(0,2]里任取两个数x、y,分别作为点P的横、纵坐标,则点P到点A(-1,1)的距离小于的概率为( ) A. B. C. D. 7.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么( ) A. B. C. D. 9.若函数f(x)=-eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是( ) A.4 B.2 C.2 D. 10.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为( ) A. B. C. D. 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,A1A=2,则直线BC1到平面D1AC的距离为( ) A. B.1 C. D. 12.双曲线C:-=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是(,1),那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A.(,) B.(,) C.(,) D.(,) 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13.已知,,,若向量共面,则 . 14.已知,则 = ______ . 15.若曲线上点P的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 ______ . 16.= ______. 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分) 17.已知命题p:关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根,命题q:函数f(x)=lg(mx2-x+m)的定义域为R,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围. 18. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=AD=2, E是SC的中点. (Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角; (Ⅱ)求二面角B-SC-D的大小. 19.二次函数f(x)=ax2+2bx+1(a≠0). (1)若a∈{-2,-1,2,3},b∈{0,1,2},求函数f(x)在(-1,0)内有且只有一个零点的概率; (2)若a∈(0,1),b∈(-1,1),求函数f(x)在(-∞,-1)上为减函数的概率. 20.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1. (Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE; (Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围. 21.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=3. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围. 22.已知函数f(x)=ln(x-1)+(a∈R) (Ⅰ)若a=3,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)如果当x>1,且x≠2时,恒成立,求实数a的范围. 答案和解析 【答案】 1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.C 11.D 12.D 13.3 14.4 15.(-ln2,2) 16. 17.解:∵方程x2+2x+m=0没有实数根, ∴△=4-4m<0,解得m>1,即命题p:m>1, ∵函数f(x)=lg(mx2-x+m)的定义域为R, ∴mx2-x+m>0对x∈R恒成立,即,解得m>2,即命题q:m>2, 又∵若p或q为真命题,p且q为假命题,∴p和q一真一假, 若p真q假,则1<m≤2, 若p假q真,则m≤1且m>2,无解, 综上,实数m的取值范围是1<m≤2. 18. 解:(1)90° (2) 120° 19.解:(1)由题意可得所有的(a,b)共有4×3=12个,根据f(x)在(-1,0)内有且只有一个零点,且f(0)=1, 故有f(-1)=a-2b+1<0,即a<2b-1,故满足条件的(a,b)有(-2,0)、(-2,-1)、(-2,2)、 (-1,1)、(-1,2)、(2,2),共计6个, ∴所求事件的概率为=. (2)若a∈(0,1),b∈(-1,1),函数f(x)在(-∞,-1)上为减函数,即-≥-1,求得b≤a. 而所有的点(a,b)构成的区域为{(a,b)|0<a<1,且-1<b<1},如图所示: 故函数f(x)在(-∞,-1)上为减函数的概率为==. 20.解:(I)证明:在梯形ABCD中, ∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°, ∴AB=2 ∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3 ∴AB2=AC2+BC2 ∴BC⊥AC ∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD ∴BC⊥平面ACFE (II)由(I)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系, 令,则,B(0,1,0),M(λ,0,1) ∴ 设为平面MAB的一个法向量, 由得 取x=1,则, ∵是平面FCB的一个法向量 ∴ ∵∴当λ=0时,cosθ有最小值, 当时,cosθ有最大值. ∴. 21.解:(Ⅰ)由题意知,,则, ∴, 所以c=1.所以椭圆的方程为. (Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知; ②当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2), 且设直线AB的方程为y=k(x-1), 则直线CD的方程为. 将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以. 同理,. 所以=, ∵当且仅当k=±1时取等号 ∴ 综合①与②可知, 22.解:(Ⅰ)当a=3时f′(x)=>0,即x2-6x+6>0,又定义域为(1,+∞), 解得1<x<3-或x>3+,由f′(x)<0,解得3-<x<3+. 所以单调增区间为(1,3-)和(3+,+∞);单调减区间为(3-,3); (Ⅱ)可化为[ln(x-1)+-a]>0(※) 设h(x)=f(x)-a,由题意可知函数h(x)的定义域为(1,+∞), h′(x)=-=, 设g(x)=x2-2ax+2a,△=4a2-8a=4a(a-2), ①当a≤2时,h(x)在(1,+∞)上是增函数, 若x∈(1,2)时,h(x)<h(2)=0;所以h(x)>0, 若x∈(2,+∞)时,h(x)>h(2)=0.所以h(x)>0, 所以,当a≤2时,※式成立; ②当a>2时,x1=a->1, h(x)在(x1,2)是减函数,所以h(x)>h(2)=0,※式不成立. 综上,实数a的取值范围是(-∞,2].查看更多