天津市南开中学2020届高三数学开学统练试题

天津市南开中学2020届高三数学开学统练试题

天津南开中学2020届高三年级开学考试 南开中学2020届高三数学统练（1）‎ 一、选择题 ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出后可求.‎ ‎【详解】，故，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题.‎ ‎2.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．‎ ‎3.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.‎ ‎【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为、中点，‎ ‎，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．‎ 解法二:‎ 设，分别为中点，‎ ‎，且，为边长为2的等边三角形，‎ 又 中余弦定理，作于，，‎ 为中点，，，‎ ‎，，又，两两垂直，，，，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．‎ ‎4.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．‎ ‎【详解】抛物线的准线的方程为，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 则有 ‎∴，，，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．‎ ‎5.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等中间值区分各个数值的大小．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 所以．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．‎ ‎6.设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为表示不超过的最大整数．由得，‎ 由得，‎ 由得，所以，‎ 所以，‎ 由得，‎ 所以，‎ 由得，与矛盾，‎ 故正整数的最大值是4．‎ 考点：函数的值域，不等式的性质．‎ ‎7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需根据函数性质逐步得出值即可．‎ ‎【详解】因为为奇函数，∴；‎ 又 ‎，，又 ‎∴，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．‎ ‎8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．‎ ‎【详解】∵，即，‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，‎ 故当时，在上恒成立；‎ 若在上恒成立，即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 当函数单增，当函数单减，‎ 故，所以．当时，在上恒成立；‎ 综上可知，的取值范围是，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．‎ 二、填空题 ‎9.展开式中的常数项为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项．‎ ‎【详解】，‎ 由，得，‎ 所以的常数项为.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．‎ ‎10.设，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即时成立，‎ 故所求的最小值为．‎ ‎【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．‎ ‎11. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．‎ ‎【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．‎ 因为∥，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以直线的斜率为，其方程为，‎ 直线的斜率为，其方程为．‎ 由得，，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．‎ ‎12.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.‎ ‎【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．‎ ‎13.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.‎ 详解：分类讨论：当时，方程即，‎ 整理可得：，‎ 很明显不是方程的实数解，则，‎ 当时，方程即，‎ 整理可得：，‎ 很明显不是方程的实数解，则，‎ 令，‎ 其中，‎ 原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.‎ 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，‎ 同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，‎ 结合观察可得，实数的取值范围是.‎ 点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎14.已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，分类讨论：‎ ‎①当时，，‎ 函数的最大值，舍去；‎ ‎②当时，，此时命题成立；‎ ‎③当时，，则：‎ 或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．‎ 三、解答题 ‎15. 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 ‎(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，‎ 又由，得，即.‎ 又因为，得到，.‎ 由余弦定理可得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，‎ 从而，.‎ 故 ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.‎ ‎16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.‎ ‎（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多‎2”‎，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；‎ ‎(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，‎ 故，从面.‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.‎ 且.‎ 由题意知事件与互斥，‎ 且事件与，事件与均相互独立，‎ 从而由(Ⅰ)知：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎17.如图，平面，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 ‎(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；‎ ‎(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；‎ ‎(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.‎ ‎【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，‎ 可得.‎ 设，则.‎ ‎(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，‎ 又，可得，‎ 又因为直线平面，所以平面.‎ ‎ (Ⅱ)依题意，，‎ 设为平面BDE的法向量，‎ 则，即，‎ 不妨令z=1，可得，‎ 因此有.‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.‎ 不妨令y=1，可得.‎ 由题意，有，解得.‎ 经检验，符合题意｡‎ 所以，线段的长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎18.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；‎ ‎(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.‎ ‎【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.‎ 所以，椭圆方程为.‎ ‎(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，‎ 又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，‎ 整理得，可得，‎ 代入得，‎ 进而直线的斜率，‎ 在中，令，得.‎ 由题意得，所以直线的斜率为.‎ 由，得，‎ 化简得，从而.‎ 所以，直线的斜率为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.‎ ‎19.设是等差数列，是等比数列.已知.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足其中.‎ ‎（i）求数列的通项公式；‎ ‎（ii）求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 依题意得，解得，‎ 故，.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)(i).‎ 所以，数列的通项公式为.‎ ‎(ii)‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.‎ ‎20.设函数为的导函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明；‎ ‎（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；‎ ‎(Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由已知，有.‎ 当时，有，得，则单调递减;‎ 当时，有，得，则单调递增.‎ 所以，的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为.‎ ‎(Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：，‎ 从而.当时，，故 ‎.‎ 因此，区间上单调递减，进而.‎ 所以，当时，.‎ ‎(Ⅲ)依题意，，即.‎ 记，则.‎ 且.‎ 由及(Ⅰ)得.‎ 由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数，‎ 因此.‎ 又由(Ⅱ)知，故：‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.‎