湖南省怀化市中方县第二中学2020届高三全国统一冲刺考试数学（理）试卷

湖南省怀化市中方县第二中学2020届高三全国统一冲刺考试数学（理）试卷

湖南省怀化市中方县第二中学2020届高三全国统一冲刺考试数学(理)试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数满足，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．的展开式中的常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“”是“为锐角”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎5．若双曲线的离心率为，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点是 D．在单调递增 ‎7．执行下面框图，则输出结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知正三棱柱的高为，它的六个顶点都在一个直径为的球的球面上，则该棱柱的体积 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．各项为整数的等差数列的首项为，若，，成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数有奇数个零点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．‎ 若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设等比数列满足，，则______．‎ ‎14．已知抛物线，则抛物线与过焦点且垂直于轴的直线所围成的图形的面积为______．‎ ‎15．已知，，函数，若对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围为______．‎ ‎16．下列推理正确的是______．‎ ‎①，，，‎ ‎②，‎ ‎③，‎ ‎④，‎ ‎⑤，‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）的内角的对边分别为，已知，，．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎18．（12分）期中考试后，老师把学生的成绩分为较低、及格（不含优秀）、优秀三类，制成下表．‎ 其中低分率与优秀率分别是与．‎ ‎（1）求全班人数及，的值；‎ ‎（2）老师重点关注成绩较低的及成绩优秀的学生，利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访，为了保证电话家访的质量，他每天随机打给三位学生的家长，求在第一天老师抽取的三位学生中成绩优秀者的人数的分布列及数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，在四面体中，是直角三角形，且有，为正三角形，且有．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）延长到点，使用得，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，圆以线段为直径．‎ ‎（1）证明：圆与直线相切；‎ ‎（2）当圆过点，求直线与圆的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上任一点到直线的距离的最大值和最小值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围 理 科 数 学答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】，解得或，‎ 所以．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】的展开项通项为，‎ 令，解得，‎ 故常数项为．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】为锐角，则一定成立，但是，为锐角不一定成立，‎ 故“”是“为锐角”的必要不充分条件．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】，，结合，可得，‎ 所以双曲线的标准方程为．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】，所以选项A错误；‎ ‎，所以选项B正确；‎ ‎，所以C错误；‎ 的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】第一次运算，，，执行循环；‎ 第二次运算，，，执行循环；‎ 第三次运算，，，执行循环；‎ 第四次运算，，，执行循环；‎ 第五次运算，，，执行循环；‎ 第六次运算，，，结束循环，输出．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】由题意可知球的半径，球心到三棱柱底面的距离，‎ 根据球的截面圆的性质，可得棱柱底面与球的截面圆的半径，‎ 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，容易求得三角形的边长为，‎ 所以三角形的面积为，‎ 该棱柱的体积为．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】依题可有，即，‎ 整理有，解得或（舍），‎ ‎，．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】以线段为直径的圆的方程为，‎ 与直线相切，所以，‎ 即有，．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】，‎ 所以函数关于直线对称，函数有奇数个零点，‎ 则有，解得．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】以为原点，直线，为，轴建立平面直角坐标系，‎ 则，，，‎ 直线，圆直线相切，所以圆的半径，‎ 圆的方程为，‎ 设点，则有，‎ 所以．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】等比数列，有，两式相除可得，‎ 所以，代回可得．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点为，所以，‎ 所以面积，，所以面积．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 的值域为，‎ 要使恒成立，即，‎ 所以，解得．‎ ‎16．【答案】①②④‎ ‎【解析】①，，，，即，故①对；‎ ‎②，，故②对；‎ ‎③，，可能与相交，可能有，故③不对；‎ ‎④，，必有故，④对；‎ ‎⑤，，则，可能平行，也可能异面，⑤不对，‎ 故答案为①②④．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知可得，所以，，‎ 在中，由正弦定理得，即，‎ 角为钝角，所以角为锐角，即．‎ ‎（2）由（1）可得 ‎，‎ ‎，‎ 又，所以，‎ 由正弦定理可得，‎ 所以的面积为．‎ ‎18．【答案】（1）全班人数为人，，；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】（1），，．‎ ‎（2）需要家访的共10人，其中成绩优秀的有4人，‎ ‎；；‎ ‎；，‎ ‎．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）是直角三角形，，所以，‎ 又，，‎ 所以平面，平面，平面平面．‎ ‎（2），两个三棱锥的高都可以是点到平面的距离，‎ 所以与的面积相等，即可得出，‎ 以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图的空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，‎ 所以有，，，‎ 设向量是平面的一个法向量，‎ 则，即，令，则；‎ 同理设向量是平面的一个法向量，‎ 则，即，令，则，‎ 所以，且二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，‎ 所以直线的斜率一定存在，‎ 可设直线为，与抛物线联立有，，，‎ 则有，‎ 圆的半径为，的中点即圆的圆心为，‎ 圆心到直线的距离为等于圆的半径，‎ 所以在圆与直线相切．‎ ‎（2）由（1）知圆的方程可写为，‎ 把点代入后得，解得或．‎ 当时，直线的方程为，圆的方程；‎ 当时，直线的方程为，圆的方程．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 当，，为减函数；‎ 当，，为增函数，‎ 所以在处取得最小值，且，‎ 所以只要，即就能保证恒成立，‎ 所以的最大值为．‎ ‎（2）由（1）知当时，，‎ 令，则有，‎ 即有，‎ 即有，‎ 即，对任意恒成立，‎ 又，所以整数的最小值为．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】（1）由，得，消去参数得，‎ 由，得．‎ ‎（2）曲线的参数方程为（为参数），‎ 设，‎ 则到直线的距离为，‎ 所以当时，距离取得最大值为，‎ 当时，距离取得最小值为．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，原不等式化为，‎ 即解或或，解得．‎ ‎（2），即，，，‎ 或，解得，‎ 所以的取值范围为