2013届人教A版理科数学课时试题及解析(12)变化率与导数、导数的运算

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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(12)变化率与导数、导数的运算

课时作业(十二) [第12讲 变化率与导数、导数的运算]‎ ‎[时间:45分钟  分值:100分]‎ ‎                   ‎ ‎1. 若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(  )‎ A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0‎ C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0‎ ‎2. 曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(  )‎ A.e2 B.2e‎2 C.4e2 D. ‎3.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为(  )‎ A.- B.‎0 C. D.5‎ ‎4. 若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为(  )‎ A.1 B. C. D. ‎5.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为(  )‎ A. B. C. D. ‎6.y=的导数是(  )‎ A. B. C. D. ‎7. 函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角的度数为________.‎ ‎8. 已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x1,x2∈D,存在正数K,都有∣f(x1)-f(x2)∣≤K∣x1-x2∣成立,那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”,已知下列函数:①f(x)=2x;②f(x)=2sin;③f(x)=;④f(x)=lg(2x2+1),其中是“倍约束函数”的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎9.曲线y=在点P(1,1)处的切线方程为(  )‎ A.3x-5y+2=0 B.y-x=0‎ C.5y-3x=0 D.3x+5y-8=0‎ ‎10.一辆列车沿直线轨道前进,从刹车开始到停车这段时间内,测得刹车后t s内列车前进的距离为s=27t-0.45t2(单位:m),则列车刹车后________ s车停下来,期间列车前进了________ m.‎ ‎11.如图K12-1所示,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.‎ 图K12-1‎ ‎12.一质点在x轴上运动,其运动规律为x=e-2tsin(ωt+φ)(ω,φ为常数),则t=时质点运动的速度v=________.‎ ‎13.下列命题:‎ ‎①若f(x)存在导函数,则f′(2x)=[f(2x)]′;‎ ‎②若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′=0;‎ ‎③若函数g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2 010)(x-2 011),则g′(2 011)=2 010!;‎ ‎④若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,则“a+b+c=‎0”‎是“f(x)有极值点”的充要条件.‎ 其中假命题为________.‎ ‎14.(10分)设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;‎ ‎(3)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.‎ ‎15.(13分) 设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.‎ ‎(1)求a、b的值,并写出切线l的方程;‎ ‎(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x10即可,a+b+c=0是b2-‎3ac>0的充分不必要条件,④错.‎ ‎14.[解答] (1)f′(x)=a-,‎ 于是解得或 因a,b∈Z,故f(x)=x+.‎ ‎(2)证明:已知函数y1=x,y2=都是奇函数.‎ 所以函数g(x)=x+也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而f(x)=x-1++1.可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.‎ ‎(3)证明:在曲线上任取一点.‎ 由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为 y-=(x-x0).‎ 令x=1得y=,切线与直线x=1交点为.‎ 令y=x得y=2x0-1,切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).‎ 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).‎ 从而所围三角形的面积为|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.‎ 所以,所围三角形的面积为定值2.‎ ‎15.[解答] (1)f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3,由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,故有f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由此解得a=-2,b=5;‎ 切线l的方程为:x-y-2=0.‎ ‎(2)由(1)得f(x)+g(x)=x3-3x2+2x,依题意得:方程x(x2-3x+2-m)=0有三个互不相等的根0,x1,x2,故x1,x2是方程x2-3x+2-m=0的两个相异实根,所以Δ=9-4(2-m)>0⇒m>-;‎ 又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)0,x1x2=2-m>0,故00,则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0;‎ 又f(x1)+g(x1)-mx1=0,‎ 所以函数在x∈[x1,x2]上的最大值为0,于是当m<0时对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)0,则x0=-2±,从而y0=x+4x0+=,‎ 将上式代入①,化简得x+2y+2-‎2a=0或者x-2y+2+‎2a=0.‎ 若a=0,则x0=-2,与x0≠-2矛盾.‎ 若a<0,则②式无解.‎ 综上,当a>0时,在C上有三个点,,,在这三点的法线过点P(-2,a),其方程分别是x+2y+2-‎2a=0、x-2y+2+‎2a=0、x=-2;‎ 当a≤0时,在C上有一个点,在这点的法线过点P(-2,a),其方程为x=-2.‎ ‎ ‎
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