【数学】吉林省长春市第一中学2019--2020学年高二下学期期末考试（理）试题（解析版）

【数学】吉林省长春市第一中学2019--2020学年高二下学期期末考试（理）试题（解析版）

吉林省长春市第一中学 2019--2020 学年 高二下学期期末考试（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则集合 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 （ ） A． B． C． D． 3．已知 ，那么下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 4．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的值域是（ ） A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1) D．[0，1] 6．已知条件 ，条件 直线 与直线 平行，则 是 的 ( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．幂函数 在 上为增函数，则实数 的值为（ ） A．0 B．1 C．1 或 2 D．2 8．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A． B． C． D． { }1,0,1,2,3A = − { }1 0B x x= − > ( )RA C B∩ = { }1,0− { }1,0,1− { }2,3 { }1,2,3 5 2z i = − i z = 10 5 3 3i+ 2 i+ 10 5 3 3i− 2 i− 0a b> > a b− > − a m b m+ < + 2 2a b> 1 1 a b > 1( ) 2lg( 1)f x xx = + −+ [ 2,2]− [ 2,0) (0,2]−  ( 1,0) (0,2]− ∪ (-1,2] 2 1( ) ( )1f x xx = ∈+ R : 1p a = − :q 1 0x ay− + = 2 1 0x a y+ − = p q ( )2 2 1( ) 2 1 mf x m m x −= − + ( )0,∞ m 0.5logy x= siny x= cosy x= tany x= 9．函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则当 时， （ ） A． B． C． D． 11．已知函数 则 ( ) A． B． C． D． 12．已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调递增，则不等 式 的解集为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．函数 且 的图象过定点，这个点的坐标为______ 14．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩 具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是　　　　． 15．将极坐标 化成直角坐标为_________. 16 ． 已 知 函 数 对 任 意 不 相 等 的 实 数 ， ， 都 有 ( )2 1 2 ( ) log 6 8f x x x= − − + (4, )+∞ ( ,2)−∞ (3, )+∞ (3,4) ( )f x 0x ≥ ( ) 3 1xf x = − 0x < ( )f x = 3 1x−− − 3 1x− + 3 1x−− + 3 1x− − ( ) sin , 0,6 2 1, 0.x x xf x x ππ  + ≤  =    + > ( ) ( )2 1f f− + = 6 3 2 + 6 3 2 − 7 2 5 2 ( )y f x= R ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )2 1 2f x f x− > − ( )1,1− ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ ( )1,+∞ ( )0,1 1( ) 2 1( 0xf x a a−= + > 1)a ≠ 3π(2, )2 (3 2) 4 , 1,( ) log , 1,a a x a xf x x x − + <=  ≥ 1x 2x ，则 的取值范围为__________． 三、解答题 17．计算：（1） ； （2） ． 18．已知函数 . （1）求函数 的最小正周期及单调增区间； （2）当 时，求函数 的最大值及最小值. 19．已知 ，求 的最小值与最大值． 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − <− a 1 12 3 2 41 8 6254 −  + −   ( ) ( )2 2lg5 lg 2 lg 4− + ( ) 2 sin(2 )4f x x π= + ( )f x ,4 4x π π ∈ −   ( )f x [ ]3,2x∈ − 1 1( ) 14 2x xf x = − + 20．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 是棱 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的大小. 21．已知函数 f（x）＝aex﹣2x+1． （1）当 a＝1 时，求函数 f（x）的极值； （2）若 f（x）＞0 对 x∈R 成立，求实数 a 的取值范围 P ABCD− PA ⊥ ABCD BC / / AD 2 3 πBAD∠ = 2PA AB BC= = = 4=AD M PD / /CM PAB M AC D− − 22．已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）求曲线 ， 的普通方程并指出它们的形状； （2）若点 在曲线 上，点 在曲线 上，求线段 长度的最小值． 1C ( )cos 2sin 5ρ θ θ+ = 2C 2cos sin x y θ θ =  = θ 1C 2C M 1C N 2C MN 【参考答案】 1.【答案】B 【解析】由已知： ，所以集合 ． 故选：B． 2.【答案】B 【解析】 由题得 . 故选：B. 3.【答案】C 【解析】由不等式的性质可知，若 ， 则： ， ， ， . 故选：C. 4.【答案】C 【解析】 故答案选 C 5.【答案】B 【解析】令 ，则 又 在 单调递减 所以 值域为 ，所以选择 B 6.【答案】C 【解析】因为直线 与直线 平行， 所以 ，解得 或 ；即 或 ； { }| 1RC B x x= ≤ ( ) { }1,0,1RA C B∩ = − 5 5(2 ) 5(2 ) 22 (2 )(2 ) 5 i iz ii i i + += = = = +− − + 0a b> > a b− < − a m b m+ > + 2 2a b> 1 1 a b < 1 0 1 1( ) 2 lg( 1) 0 0 ( 1,0) (0,2]lg( 1) 2 0 2 x x f x x x x xx x x + > ⇒ > − = + − ⇒ + ≠ ⇒ ≠ ⇒ ∈ − ∪+  − ≥ ⇒ ≤ 21t x= + [ )1 +t ∈ ∞， 1y t = [ )1 +t ∈ ∞， 2 1( ) ( )1f x x Rx = ∈+ ( ]0,1 1 0x ay− + = 2 1 0x a y+ − = 2 0a a+ = 0a = 1a = − 0q a =： 1a = − 所以由 能推出 ； 不能推出 ；即 是 的充分不必要条件. 故选 C 7.【答案】D 【解析】由题意 为幂函数，所以 ，解得 或 . 因为 在 上为增函数，所以 ，即 ，所以 . 故选 D. 8.【答案】C 【解析】选项 A 中 不是周期函数,故排除 A; 选项 B,D 中的函数均为奇函数,故排除 B,D;故选:C. 9.【答案】A 【解析】由题得函数 定义域为 ， 函数 或 ）的增区间为 ， 函数 在定义域内是减函数， 在定义域内是减函数， 由复合函数的单调性得 的单调递增区间为 . 故选：A 10.【答案】C 【解析】若 ，则 ， 当 时， ， ， 函数 是奇函数， ， 所以 C 选项是正确的. 11.【答案】C 【解析】 ， （1） ， ， p q q p p q ( )f x 2 2 1 1m m− + = 0m = 2m = ( )f x ( )0,∞ 2 1 0m − > 1 2m > 2m = 0.5logy x= ( )f x ( ,2) (4, )−∞ ∪ +∞ 2 6 8( 4u x x x= − + > 2x < (4, )+∞ 1 2 logv u= k v= − ( )f x (4, )+∞ 0x < 0x− >  0x > ( ) 3 1xf x = − ( ) 3 1xf x −∴ − = −  ( )f x ( ) ( ) 3 1xf x f x −∴ = − − = − +  1( 2) sin( 2 ) sin6 6 2f π ππ− = − + = = f 12 1 3= + = ∴ 1 7( 2) (1) 32 2f f− + = + = 故选：C． 12.【答案】B 【解析】 函数 为偶函数，则 ， 由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， ， 即 ，化简得 ，解得 或 ， 因此，不等式 的解集为 ，故选 B. 13.【答案】 【解析】对任意的实数 ，都有 成立，可得函数为减函数， 可得： ，解得 ， ． 故答案为： ． 14.【答案】 【解析】所有的基本事件共 个， 其中，点数和为 4 的有 、 、 共 3 个， 出现向上的点数之和为 4 的概率是 ， 故答案为： ． 15. 【答案】 【解析】由题意得， ，所以直角坐标为  ( )y f x= ( ) ( )f x f x= ( ) ( )2 1 2f x f x− > − ( ) ( )2 1 2f x f x− > −  ( )y f x= [ )0,+∞ 2 1 2x x∴ − > − ( ) ( )2 22 1 2x x− > − 2 1 0x − > 1x < − 1x > ( ) ( )2 1 2f x f x− > − ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ 2 2 7 3a≤ < 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − <− 3 2 0 0 1 3 2 4 0 a a a a − <  < <  − +  2[7a∈ 2)3 2 2 7 3a≤ < 1 12 6 6 36× = (1,3) (2,2) (3,1) ∴ 3 1 36 12 = 1 12 ( )0, 2− 3 32 cos 0, 2 sin 22 2x y π π= × = = × = − ( )0, 2− 故答案为： 16.【答案】 【解析】令 ， ，所以函数 过定点 . 故答案为: . 17.【解】（1）原式 ； （2）原式 ． 18. 【解】（1）f（x） sin（2x ）， ∵ω＝2，∴最小正周期 T π， 由 2kπ 2x 2kπ （k∈Z），解得 kπ x≤kπ （k∈Z）， 故函数 f（x）的单调增区间是[kπ ，kπ ]（k∈Z）； （2）当 x∈[ ， ]时，（2x ）∈[ ， ]， 故当 2x ，即 x 时，f（x）有最大值 ， 当 2x ，即 x 时，f（x）有最小值﹣1． 19.【解】 , ∵ , ∴ . 则当 ,即 时, 有最小值 ； 当 ,即 时， 有最大值 57 ( )0, 2− (1,3) 1 0x − = 1, 3x y= = ( )f x (1,3) (1,3) 11 324 64 5 2 4 5 1= + − = + − = ( )( )lg5 lg 2 lg5 lg 2 lg 4= + − + lg5 lg 2 2lg 2 lg5 lg 2 1= − + = + = 2= 4 π+ 2π ω= = 2 π− ≤ 4 π+ ≤ 2 π+ 3 8 π− ≤ 8 π+ 3 8 π− 8 π+ 4 π− 4 π 4 π+ 4 π− 3 4 π 4 2 π π+ = 8 π= 2 4 4 π π+ = − 4 π= − ( ) 2 21 1 1 31 4 2 1 2 2 1 24 2 2 4 x x x x x x xf x − − − − − = − + = − + = − + = − +   [ ]3,2x∈ − 1 2 84 x−≤ ≤ 12 2 x− = 1x = ( )f x 3 4 2 8x− = 3x = − ( )f x 20. 【解】证明：（1）如图，取 的中点 ，连接 、 . ∵ 是 的中点，∴ ， ， 又 ， ，所以 ， ， ∴四边形 为平行四边形，∴ ， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . （2）在平面 内过点 作 的垂线 ，由题意知 ， ， 两两垂直， 以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的 空 间直角坐标系， 由题意知 ， ， ， 可得 ， ， ，∴ ， ， AP E BE EM M PD 1 2EM AD= / /EM AD 1 2BC AD= / /BC AD EM BC= / /EM BC BCME / /CM BE BE ⊂ PAB CM ⊄ PAB / /CM PAB ABCD A AD Ax PA Ax AD A Ax AD AP x y z 2PA AB BC= = = 4=AD 2 3 πBAD∠ = ( )0,0,0A ( )3,1,0C ( )0,2,1M ( )3,1,0AC = ( )0,2,1AM = 设平面 的法向量为 ， 则由 ，即 ，令 ，则 ， ， ∴ 为平面 的一个法向量. ∵ 底面 ，∴可取平面 的一个法向量为 ， ∴ ， ∵二面角 为锐二面角， ∴二面角 的大小为 . 21. 【解】（1）当 a＝1 时，f（x）＝ex﹣2x+1，则 f′（x）＝ex﹣2， 令 f′（x）＜0，解得 x＜ln2；令 f′（x）＞0，解得 x＞ln2； 故函数 f（x）在（﹣∞,ln2）上递减，在（ln2,+∞）上递增， 故函数 f（x）的极小值为 f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，无极大值； （2）f（x）＞0 对 x∈R 成立，即为 对任意 x∈R 都成立， 设 ，则 a＞g（x）max ， 令 g′（x）＞0，解得 ；令 g′（x）＜0，解得 ； 故函数 g（x）在 递增，在 递减， ∴ ， 故实数 a 的取值范围为 ． 22. 【解】（1）将曲线 的极坐标方程化为普通方程 MAC ( ), ,n x y z= 0 0 n AC n AM  ⋅ =  ⋅ =   3 0 2 0 x y y z  + = + = 3y = − 3x = 6z = ( )3, 3,6n = − MAC PA ⊥ ABCD ACD ( )0,0,1m = 6 3cos , 248 n mn m n m ⋅= = = ⋅      M AC D− − M AC D− − 6 π 2 1 x xa e −＞ ( ) 2 1 x xg x e −= ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2' ( ) x x x x e x e xg x e e − − −= = 3 2x＜ 3 2x＞ 3 2  −∞  ， 3 2  + ∞  ， 3 2 3 2 3 2( ) 22maxg x g e e − = = =   3 22e − + ∞    ， 1C ， 所以曲线 为一条直线； 曲线 的参数方程化为普通方程 ， 所以曲线 是一个焦点在 轴上的椭圆． （2）曲线 上的点 坐标为 ， 则求线段 的最小值为点 到直线 的距离， 所以 ， 即 的最小值为 ． ( )cos 2sin 5 cos 2 sin 5ρ θ θ ρ θ ρ θ+ = ⇒ + = ⇒ 2 5 0x y+ − = 1C 2C 2 2 2 2 2cos cos cos2 4sin sin sin x xx y y y θ θ θ θ θ θ = = = ⇒ ⇒ ⇒  =  = =  2 2 14 x y+ = 2C x 2C N ( )2cos ,sinθ θ MN N 1C π2 2 sin 52cos 2sin 5 4 5 2 2 2 105 55 5 5 MN θθ θ  + − + − − = = ≥ = − MN 2 105 5 −