【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

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【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)

江西省南昌市八一中学2019-2020学年 高二下学期期中考试(理)‎ 第Ⅰ卷(选择题:共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数满足,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知平面内一条直线及平面,则“”是“”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图,‎ 其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是(  )‎ A. B.2 C. D. ‎4.如图4所示,则这个几何体的体积等于(  )‎ A.4 B.6‎ C.8 D.12‎ ‎5.下列说法中,正确的是(  )‎ A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 ‎6.实数使得复数是纯虚数,则的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知正四棱柱的底面是边长为1的正方形,若平面内有且仅有1个点到顶点的距离为1,则异面直线 所成的角为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的部分图象大致为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()‎ A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 ‎10.如图7,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:‎ ‎①BD⊥AC;‎ ‎②△BCA是等边三角形;‎ ‎③棱锥DABC是正三棱锥;‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①②④ B.①②③‎ C.②③④ D.①③④‎ ‎11.在正三棱锥SABC中,M,N分别是SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则正三棱锥SABC外接球的表面积是(  )‎ A.12π B.32π C.36π D.48π ‎12.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若,设,且,则该椭圆离心率的取值范围为( ) ‎ A、 B、 C、 D、‎ 第Ⅱ卷(非选择题:共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13. (sin x+cos x)dx= ‎ ‎14.在三棱锥中,,为的重心,过点作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线和,则该截面的周长为______‎ ‎15.已知一个正三棱柱,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱面积是 . ‎ ‎16.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,正确的命题是________‎ ‎①|BM|是定值;‎ ‎②点M在圆上运动;‎ ‎③一定存在某个位置,使DE⊥A1C;‎ ‎④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)如图所示,P是▱ABCD所在平面外一点,E,F分别在PA,BD上,且PE∶EA=BF∶FD.求证:EF∥平面PBC.‎ ‎18.(本小题满分12分)如图12所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M. ‎ ‎19.(本小题满分12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是,(为参数).‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点,求.‎ ‎20.(本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,‎ ‎∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,O为AD中点,M是棱PC上的点,AD=2BC.‎ ‎(1)求证:平面POB⊥PAD;‎ ‎(2)若点M是棱PC的中点,求证:PA∥平面BMO.‎ ‎21.(本小题满分12分)如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形,,,.且与均为正三角形,为的中点,为重心.‎ ‎(I)求证:平面 ‎(II)求异面直线与的夹角的余弦值 ‎22. (本小题满分12分) 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)试求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题(125分=60分):‎ ‎1D2B3A4A5C6C7B8C9D 10B 11C12A 二、填空题(45分=20分):‎ ‎13.0 14.8 15 16①②④‎ 三、解答题 ‎17【证明】 连接AF延长交BC于G,连接PG.‎ 在▱ABCD中,‎ 易证△BFG∽△DFA,‎ ‎∴==,‎ ‎∴EF∥PG.‎ 而EF平面PBC,PG平面PBC,‎ ‎∴EF∥平面PBC.‎ ‎18【证明】 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,‎ 又BM平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.‎ 又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.‎ 在Rt△B1C1M中,B1M==,‎ 同理BM==,又B1B=2,‎ 所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.‎ 又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M,‎ 因为BM平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.‎ ‎19由,得,‎ 令,,得.因为,消去得,‎ 所以直线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为.………………6分 ‎(2)点的直角坐标为,点在直线上. ‎ 设直线的参数方程为,(为参数),代入,得.‎ 设点对应的参数分别为,,则,,‎ 所以.………………12分 ‎20试题解析:(1)证明: ∵ 为中点,且,‎ ‎∴ 又,,‎ ‎∴ 四边形是矩形,‎ ‎∴ ,又平面平面,且平面平面,平面,‎ ‎∴ 平面,又平面,‎ ‎∴ 平面平面。.......6分 ‎ (2)如下图,连接交 于点,连接,‎ 由(1)知四边形是矩形,‎ ‎∴ ,又为中点, ‎ ‎ ∴ 为中点,又是棱的中点,‎ ‎∴ ,又平面,平面,‎ ‎∴ 平面.......12分 ‎21.【解析】(Ⅰ)方法一:连交于,连接.‎ 由梯形,且,知 ‎ 又为的中点,为的重心,∴,在中,,故//. 又平面, 平面,∴//平面. ‎ 方法二:过作交于,过作交于,连接,‎ 为的重心,,,‎ 又为梯形,,,‎ ‎, ∴ ‎ 又由所作,得// ,为平行四边形.‎ ‎,面 .....6分 ‎(II) 取线段上一点,使得,连,则,‎ ‎, ,在中 ‎,‎ 则异面直线与的夹角的余弦值为 ………12分 ‎22(Ⅰ)因为 所以 ‎ ‎①若,则,即在区间上单调递减;‎ ‎②若,则当时, ;当时,;‎ 所以在区间上单调递减,在区间上单调递增;‎ ‎③若,则当时,;当时,; ‎ 所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ 综上所述,若,函数在区间上单调递减;;‎ 若,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;‎ 若,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减……6‎ ‎(Ⅱ)依题意得,‎ 令.因为,则,即.‎ 于是,由,得,‎ 即对任意恒成立. ‎ 设函数,则.‎ 当时,;当时,;‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减;‎ 所以.‎ 于是,可知,解得.‎ 故的取值范围是 ………12分
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