【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

江西省南昌市八一中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ 第Ⅰ卷(选择题：共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数满足，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，‎ 其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是(　　)‎ A. B.2 C. D. ‎4.如图4所示，则这个几何体的体积等于(　　)‎ A.4 B.6‎ C.8 D.12‎ ‎5.下列说法中，正确的是(　　)‎ A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 ‎6．实数使得复数是纯虚数，则的大小关系是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知正四棱柱的底面是边长为1的正方形，若平面内有且仅有1个点到顶点的距离为1，则异面直线 所成的角为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的部分图象大致为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()‎ A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 ‎10.如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BCA是等边三角形；‎ ‎③棱锥DABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(　　)‎ A.①②④ B.①②③‎ C.②③④ D.①③④‎ ‎11.在正三棱锥SABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是(　　)‎ A．12π B．32π C．36π D．48π ‎12．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ 第Ⅱ卷（非选择题：共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13． (sin x＋cos x)dx＝ ‎ ‎14．在三棱锥中，,为的重心，过点作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线和，则该截面的周长为______‎ ‎15．已知一个正三棱柱,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱面积是 ． ‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________‎ ‎①|BM|是定值；‎ ‎②点M在圆上运动；‎ ‎③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；‎ ‎④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分10分)如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.‎ ‎18.(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M. ‎ ‎19.(本小题满分12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是,(为参数).‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点,求.‎ ‎20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，‎ ‎∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD＝2BC．‎ ‎（1）求证：平面POB⊥PAD；‎ ‎（2）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMO．‎ ‎21．(本小题满分12分)如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，,.且与均为正三角形,为的中点，为重心.‎ ‎（I）求证：平面 ‎(II)求异面直线与的夹角的余弦值 ‎22. (本小题满分12分) 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)试求函数的单调区间；‎ ‎ (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题（125分=60分）：‎ ‎1D2B3A4A5C6C7B8C9D 10B 11C12A 二、填空题（45分=20分）：‎ ‎13.0 14.8 15 16①②④‎ 三、解答题 ‎17【证明】　连接AF延长交BC于G，连接PG.‎ 在▱ABCD中，‎ 易证△BFG∽△DFA，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴EF∥PG.‎ 而EF平面PBC，PG平面PBC，‎ ‎∴EF∥平面PBC.‎ ‎18【证明】　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，‎ 又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.‎ 又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.‎ 在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，‎ 同理BM＝＝，又B1B＝2，‎ 所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.‎ 又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，‎ 因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.‎ ‎19由,得,‎ 令,,得.因为,消去得,‎ 所以直线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为.………………6分 ‎(2)点的直角坐标为,点在直线上. ‎ 设直线的参数方程为,（为参数）,代入,得.‎ 设点对应的参数分别为,,则,,‎ 所以.………………12分 ‎20试题解析：（1）证明： ∵ 为中点，且，‎ ‎∴ 又，，‎ ‎∴ 四边形是矩形，‎ ‎∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，‎ ‎∴ 平面，又平面，‎ ‎∴ 平面平面。．．．．．．．6分 ‎ （2）如下图，连接交 于点，连接，‎ 由（1）知四边形是矩形，‎ ‎∴ ，又为中点， ‎ ‎ ∴ 为中点，又是棱的中点，‎ ‎∴ ，又平面，平面，‎ ‎∴ 平面．．．．．．．12分 ‎21.【解析】（Ⅰ）方法一：连交于,连接.‎ 由梯形，且，知 ‎ 又为的中点，为的重心，∴，在中，,故//. 又平面, 平面,∴//平面. ‎ 方法二：过作交于,过作交于,连接,‎ 为的重心，,,‎ 又为梯形，,,‎ ‎, ∴ ‎ 又由所作，得// ，为平行四边形.‎ ‎,面 ．．．．．6分 ‎(II) 取线段上一点，使得，连,则,‎ ‎, ,在中 ‎，‎ 则异面直线与的夹角的余弦值为 ………12分 ‎22（Ⅰ）因为 所以 ‎ ‎①若，则，即在区间上单调递减；‎ ‎②若，则当时， ；当时，；‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ ‎③若，则当时，；当时，； ‎ 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 综上所述，若，函数在区间上单调递减；；‎ 若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减……6‎ ‎（Ⅱ）依题意得，‎ 令.因为，则，即．‎ 于是，由，得，‎ 即对任意恒成立. ‎ 设函数，则.‎ 当时，；当时，；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 所以.‎ 于是，可知，解得.‎ 故的取值范围是 ………12分