甘肃省临夏市临夏中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试题

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甘肃省临夏市临夏中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试题

甘肃省临夏中学2019—2020学年第一学期第一次月考试卷 一、单选题(共40分,每小题4分)‎ ‎1.中,若,则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三角形面积公式知,故选B.‎ ‎2.若数列的前4项分别是,则此数列的一个通项公式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察数列,可知分子为1,分母的数值成等差数列,正负相间,进而可求出数列的通项公式.‎ ‎【详解】由数列的前4项分别是,‎ 可知:第项的符号为,其绝对值为.‎ 因此此数列的一个通项公式为 ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式,解题的关键是培养对数字的敏锐性,属于基础题.‎ ‎3.设分别是△ABC的三边长,且,则△ABC是(  )‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得C为最大角,由余弦定理可得值,可判三角形形状.‎ ‎【详解】解:由三角形大边对大角可得C为最大角,‎ 由余弦定理可得,‎ 为钝角,为钝角三角形.‎ 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理,涉及三角形的三边关系,属基础题.‎ ‎4.在中,角、、的对边分别为、、,已知,则( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得到,再由正弦定理得到进而得到结果.‎ ‎【详解】在中,角、、的对边分别为、、,已知,根据正弦定理得到 ‎ 进而得到,故 故答案为:B.‎ ‎【点睛】在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎5.等差数列的前n项和为,己知,,则  ‎ A. 110 B. ‎200 ‎C. 210 D. 260‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质得,,成等差数列,根据等差中项公式,列出方程,即可求解,得到答案。‎ ‎【详解】由题意,等差数列的前n项和为,,,‎ 由等差数列的性质得,,成等差数列,‎ 即,,成等差数列,‎ 所以,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用,其中解答中根据等差数列的性质,得到,,成等差数列,利用等差中项公式,列出方程求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。‎ ‎6.(2016全国1改编)记为等差数列的前n项和.若,则 A. 72 B. ‎48 ‎C. 64 D. 54‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据等差数列的性质可知,所以,故选A.‎ 点睛:数列问题是高考中的重要问题,主要考查等差等比数列的通项公式和前项和,主要利用解方程得思想处理通项公式问题,利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和.在利用错位相减求和时,要注意提高运算的准确性,防止运算错误.‎ ‎7.在中,已知,且,则的值为( )‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 4或8 D. 无解 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用余弦定理求解.‎ ‎【详解】∵,∴,‎ ‎∴,即,‎ 即,解得或.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理.解三角形中公式较多,可根据已知条件灵活选用公式,选用公式使解题过程越简单越好.‎ ‎8.一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午到达处,此时又测得灯塔在它的北偏东处,且与它相距,此时船的速度为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意及图形在中,利用正弦定理求出AB的长,再利用物理知识解出速度即可.‎ ‎【详解】解:因为在中,已知,且边,‎ 利用正弦定理可得: ,‎ 又因为从A到S匀速航行时间为半个小时,所以速度应为:.‎ 故答案选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.‎ ‎9.在锐角三角形中, 分别是角的对边, ,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析:由已知求出,然后可把化为一个角的一个三角函数,再由正弦函数的性质得取值范围.‎ 详解:由得,‎ 即,∴,∴,从而,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 又,∴,‎ ‎∴,,∴.‎ 故选B.‎ 点睛:求三角函数的取值范围及其他性质问题,一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即的形式,其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等,掌握这些公式是解题的基础.‎ ‎10.已知,又函数是上的奇函数,则数列的通项公式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在R上为奇函数,知,令,则,得到.由此能够求出数列 的通项公式.‎ ‎【详解】解:在R上为奇函数 故,代入得: ‎ 当时,.‎ 令,则,上式即为:.‎ 当偶数时:‎ ‎.‎ 当为奇数时:‎ ‎.‎ 综上所述,.‎ 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题首先考查函数的基本性质,借助函数性质处理数列问题,十分巧妙,对数学思维的要求比较高,要求学生理解.本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,仔细解答.‎ 二、填空题(共16分,每小题4分)‎ ‎11.在等差数列{an}中,已知,则=_______________.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎∵数列{an}是等差数列,且,‎ ‎∴‎3a5=15,a5=5.‎ ‎.‎ 答案为20.‎ 点睛:本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式,属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,另外,解等差数列问题要注意应用等差数列的性质()与前 项和的关系,利用整体代换思想解答.‎ ‎12.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则角A= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意可得,根据余弦定理又因为 考点:利用余弦定理解三角形.‎ ‎13.已知数列的前项和为,则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时, ;当时, ,故数列的通项公式为 ‎ ‎14.在中,内角、、所对的边分别为、、,且满若点是外一点,,则四边形的面积的最大值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子,由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B,结合条件判断出为等边三角形,设求出的范围,利用三角形的面积公式与余弦定理,表示出,利用辅助角公式化简,由的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB面积的最大值.‎ ‎【详解】解:,‎ 化简得 为三角形内角,, ‎ 由得,‎ 又, 为等边三角形 设,则 ‎,‎ 当,即时,取得最大值1,‎ 平面四边形OACB面积的最大值为 ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式、两角和的余弦公式、余弦定理、三角形面积公式以及正弦函数的性质,题目较为综合,涉及面较广,属于难题.‎ 三、解答题(共44分)‎ ‎15.在△ABC中,a=3,b=2,B=‎2A.‎ ‎(1)求cos A的值;‎ ‎(2)求c的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A,‎ 所以在△ABC中,由正弦定理得=.‎ 所以=.故cos A=.‎ ‎(2)由(1)知cos A=,所以sin A==.‎ 又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos‎2A-1=.‎ 所以sin B==.‎ 在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+‎ cos Asin B=.‎ 所以c==5.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎16.设数列{an}满足当n>1时,an=,且a1=.‎ ‎(1)求证:数列为等差数列;‎ ‎(2)a‎1a2是否是数列{an}中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见证明;(2) a‎1a2是数列{an}中项,是第11项.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得,数列{an}是非0数列,递推关系式取倒数,即可判断是首项为5,公差为4的等差数列.‎ ‎(2)求数列的通项公式,求出,令它等于通项,求出n的值即可得出结论.‎ ‎【详解】(1)证明:根据题意a1=及递推关系an≠0.因为an=.取倒数得+4,‎ 即=4(n>1),所以数列是首项为5,公差为4的等差数列.‎ ‎(2)解:由(1),得=5+4(n-1)=4n+1,.‎ 又,解得n=11.‎ 所以a‎1a2是数列{an}中的项,是第11项.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的判断,数列通项公式的求法,考查计算能力. 熟练掌握等差数列的定义和通项公式是解决此题的关键.‎ ‎17.记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)求,并求最小值.‎ ‎【答案】(1)an=2n–9,(2)Sn=n2–8n,最小值为–16.‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)根据等差数列前n项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,(2)根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解:(1)设{an}的公差为d,由题意得‎3a1+3d=–15.‎ 由a1=–7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.‎ 点睛:数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18.设角所对边分别为,.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若的面积,求的周长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据同角三角函数关系求由正弦定理求的值;(2)先根据三角形面积公式得,再根据余弦定理求,最后求的周长.‎ ‎【详解】解(1)‎ 由正弦定理,得.‎ ‎(2) .‎ 由余弦定理得,‎ 周长为 ‎【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.‎ ‎19.为数列{}的前项和.已知>0,=.‎ ‎(Ⅰ)求{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式:‎ ‎(Ⅱ)求出bn,利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【详解】解:(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2(an+1﹣an)=4an+1,‎ 即2(an+1+an)=an+12﹣an2=(an+1+an)(an+1﹣an),‎ ‎∵an>0,∴an+1﹣an=2,‎ ‎∵a12+‎2a1=‎4a1+3,‎ ‎∴a1=﹣1(舍)或a1=3,‎ 则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,‎ ‎∴{an}的通项公式an=3+2(n﹣1)=2n+1:‎ ‎(Ⅱ)∵an=2n+1,‎ ‎∴bn(),‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn()().‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键.‎ ‎ ‎
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