【数学】2018届一轮复习人教B版 平面解析几何学案
第九章 平面解析几何
1.平面解析几何初步
(1)直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了
解斜截式与一次函数的关系．
⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
(2)圆与方程
①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判
断圆与圆的位置关系．
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
2．圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶
点、离心率)．
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、
顶点、离心率、渐近线)．
(4)了解曲线与方程的对应关系．
(5)理解数形结合的思想．
(6)了解圆锥曲线的简单应用．
9．1 直线与方程
1．平面直角坐标系中的基本公式
(1)数轴上 A，B 两点的距离：数轴上点 A 的坐标为 x1，点 B 的坐标为 x2，则 A，B 两点
间的距离|AB|＝____________．
(2)平面直角坐标系中的基本公式：
①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公
式为
d(A，B)＝|AB|＝_____________________．
②线段的中点坐标公式：若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的中点
M 的坐标为(x，y)，则
x＝ ，
y＝ .
2．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与直
线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________
时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．
(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k
表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0；当直
线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______
的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜
程度．
(3)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝ ．
3．直线方程的几种形式
(1)截距：直线 l 与 x 轴交点(a，0)的____________叫做直线 l 在 x 轴上的截距，直线
l 与 y 轴交点(0，b)的____________叫做直线 l 在 y 轴上的截距．
注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．
(2)直线方程的五种形式：
名称 方程 适用范围
点斜式 ① k 存在
斜截式 ② k 存在
两点式 ③ ④
截距式 ⑤ a≠0 且 b≠0
一般式 ⑥ 平面直角坐标系内的所有直线
注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________；
②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________；
③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________；
④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
自查自纠：
1．(1)|x2－x1| (2)① (x2－x1)
2
＋(y2－y1)
2
②x1＋x2
2
y1＋y2
2
2．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°
(2)正切值 tanα 90° ＝ > < 90° (3)y2－y1
x2－x1
3．(1)横坐标 a 纵坐标 b 不是
(2)①y－y0＝k(x－x0) ②y＝kx＋b
③y－y1
y2－y1
＝x－x1
x2－x1
④x1≠x2 且 y1≠y2
⑤x
a
＋y
b
＝1 ⑥Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0) 点斜式 两点式
(3)①x＝x1 ②y＝y1 ③x＝0 ④y＝0
直线 xtanπ
3
＋y＋2＝0 的倾斜角α是( )
A.π
3
B.π
6
C.2π
3
D．－π
3
解：由已知可得 tanα＝－tanπ
3
＝－ 3，因为α∈；
0，π
4 ∪
3π
4
，π
.
(2)如图所示，直线 l1 的倾斜角α1＝30°，直线 l1 与 l2 垂直，则直线 l1 的斜率 k1＝
________，直线 l2 的斜率 k2＝________．
解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线 l1 的斜率 k1＝tanα1＝tan30°＝ 3
3
，
直线 l2 的斜率 k2＝tanα2＝tan120°＝－ 3.故填 3
3
；－ 3.
点拨：
①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线
的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式 k＝tanα联系．②
在使用过两点的直线的斜率公式 k＝y2－y1
x2－x1
时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率
不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为 90
°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为 x＝x1.③在已
知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用 tanα＝k＝y2－y1
x2－x1
转化，其中倾斜角α∈时，
直线 l 不经过第四象限，所以 k≥0.
③由 l 的方程，得 A
－1＋2k
k
，0
，B(0，1＋2k)．
依题意得
－1＋2k
k
<0，
1＋2k>0，
解得 k>0.
因为 S＝1
2
·|OA|·|OB|
＝1
2
·|1＋2k
k |·|1＋2k|
＝1
2
·（1＋2k）2
k
＝1
2
4k＋1
k
＋4
≥1
2
×(2×2＋4)＝4，
当且仅当 4k＝1
k
且 k>0，即 k＝1
2
时等号成立，
所以 Smin＝4，此时直线 l 的方程为 x－2y＋ 4＝0.
1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助 k＝tanα的图象(如图)来解决．这里，α
∈2＋(y－3)2＝25 上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25 与圆 2＋(y－3)2＝25 有公共点，
所以 5－5≤ [（t＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得 2－2 21≤t≤2＋2 21.
因此，实数 t 的取值范围是．
点拨：
直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线
的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有
关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以 P 为主元，揭示 P
在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个
思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．
(2015·广东)已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的
两点 A，B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标；
(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；
(3)是否存在实数 k，使得直线 L：y＝k(x－4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k
的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)C1：(x－3)2＋y2＝4，圆心 C1(3，0)．
(2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点 M 在以 OC1 为直径的圆上，即
x－3
2
2
＋y2＝9
4
.
故线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程是
x－3
2
2
＋y2＝9
4
在圆 C1：(x－3)2＋y2＝4 内部的部
分，即
x－3
2
2
＋y2＝9
4
5
3
0.直线 y＝－1
a
x－b
a
，则 k
＝－1
a
>0，－b
a
>0，所以直线不经过第四象限．故选 D.
3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内部，则实数 m 的取
值范围是( )
A．(－1，1) B．(－ 3， 3)
C．(－ 2， 2) D.
－ 2
2
， 2
2
解：因为(0，0)在(x－m)2 ＋(y＋m)2 ＝4 的内部，所以(0－m)2 ＋(0＋m)2<4，解得
－ 20，即 a<2.因为圆关于直线 y＝x＋2b 对称，所以圆心在直线 y＝x＋2b 上，即－3＝1＋
2b，解得 b＝－2，所以 a－b<4.故选 A.
5．(2016·南阳模拟)已知圆 C 与直线 y＝x 及 x－y－4＝0 都相切，圆心在直线 y＝－x
上，则圆 C 的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解：由题意知直线 x－y＝0 和 x－y－4＝0 之间的距离为|4|
2
＝2 2，所以圆 C 的半径 r
＝ 2，又因为 y＝－x 与 x－y＝0，x－y－4＝0 均垂直，所以由 y＝－x 和 x－y＝0 联立得
交点坐标为(0，0)，由 y＝－x 和 x－y－4＝0 联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为
(1，－1)，则圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选 D.
6．(2015·沈阳联考)已知点 A(－2，0)，B(0，2)，实数 k 是常数，M，N 是圆 x2＋y2
＋ kx＝0 上两个不同点，P 是圆 x2＋y2＋kx＝0 上的动点，若 M，N 关于直线 x－y－1
＝0 对称，则△PAB 面积的最大值是( )
A．3－ 2 B．4 C．3＋ 2 D．6
解：依题意得圆 x2＋y2＋kx＝0 的圆心
－k
2
，0
位于直线 x－y－1＝0 上，于是有－k
2
－1
＝0，即 k＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是 1.由题意可得|AB|＝2 2，直线 AB 的方
程是 x
－2
＋y
2
＝1，即 x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线 AB 的距离为|1－0＋2|
2
＝3 2
2
，点 P 到
直线 AB 的距离的最大值是3 2
2
＋1，所以△PAB 面积的最大值为1
2
×2 2×3 2＋2
2
＝3＋ 2.
故选 C.
7．(2016·柳州模拟)若方程 x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0 表示圆，则 m 的取值范
围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．
解：原方程可化为(x－1)2＋(y＋m)2＝ －m2＋6m－8，
则 r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，所以 20，由 4－a＝ a2＋4，解得 a＝3
2
，所以该圆的方程为
x－3
2
2
＋y2＝25
4
.故填
x－3
2
2
＋
y2＝25
4
.
9．已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)两点，若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的
方程．
解法一：线段 AB 中垂线的方程为 2x＋y＋ 4＝0，它与直线 x－2y－3＝0 的交点(－1，
－2)为圆心，由两点间的距离公式得 r2＝10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．
10．已知圆 C 和直线 x－6y－10＝0 相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆 C 的方
程．
解：因为圆 C 和直线 x－6y－10＝0 相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－
1
1
6
＝－6，其方程为 y＋1＝－6(x－4)，即
y＝ －6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线 y－5
2
＝－5
7
x－13
2 上，
即 5x＋7y－50＝0 上，
所以由
y＝－6x＋23，
5x＋7y－50＝0，
解得
x＝3，
y＝5，
即圆心为(3，5)，
从而半径为 （9－3）2＋（6－5）2＝ 37，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
11．已知定点 A(4，0)，P 点是圆 x2＋y2＝4 上一动点，Q 点是 AP 的中点，求 Q 点的轨
迹方程．
解：设 Q 点坐标为(x，y)，P 点坐标为(xP，yP)，则 x＝4＋xP
2
且 y＝0＋yP
2
，即 xP＝2x－4，
yP＝2y，又点 P 在圆 x2＋y2＝4 上，所以 x2
P＋y2
P＝4，将 xP＝2x－4，yP＝2y 代入得(2x－4)2
＋ (2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三
个交点．记过三个交点的圆为圆 C.
(1)求实数 b 的取值范围；
(2)求圆 C 的方程；
(3)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)？证明你的结论．
解：(1)令 x＝0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b)．
令 f(x)＝0，得 x2＋2x＋b＝0，由题知 b≠0，且Δ>0，解得 b<1 且 b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0，
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，这与 x2＋2x＋ b＝0 是同一个方程，故 D＝2，F＝b.
令 x＝0，得 y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为 b，代入得 E＝－b－1.
所以圆 C 的轨迹方程是
x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆 C 过定点，证明如下：
假设圆 C 过定点(x0，y0)(x0，y0 不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为
x2
0＋y2
0＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)
为使(*)式对所有满足 b<1 且 b≠0 的 b 都成立，必须有 1－y0＝0，结合(*)式得 x2
0＋2x0
＝0，解得
x0＝0，
y0＝1，
或
x0＝－2，
y0＝1.
经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆 C 上．因此，圆 C 过
定点．
9．4 直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
位置
关系
图示
公共点
个数
几何
特征
代数特征(解的个数)
相离 无实数解
相切 d＝r
相交 2
2.圆与圆的位置关系
位置
关系
图示
(R>r)
公共
点个
数
几何特征
(O1O2＝d)
代数特征(两个圆的方
程组成的方程组的解
的个数)
外离 0 无实数解
外切 1 两组相同实数解
相交 2 两组不同实数解
内切 1 两组相同实数解
内含 0 无实数解
自查自纠：
1．0 d>r 1 两组相同实数解 dR＋r d＝R＋r R－r4，故直线与圆相离，又 d<4＋2，则满足题意
的点 P 有 2 个．故填 2.
(2016·山东模拟)过点 M(1，2)的直线 l 与圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝25 交于 A，B
两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线 l 的方程是____________．
解：点 M 在圆 C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心 C(3，4)到直线 l 的距离最大，此
时直线 l 与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率 k＝4－2
3－1
＝1，因此所求的直线 l 的方程是 y－2
＝ －(x－1)，即 x＋y－3＝0.故填 x＋y－3＝0.
类型一 直线与圆的位置关系
(1)已知点 M(x0，y0)为圆 x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，则直线 x0x＋y0y
＝ a2 与该圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相离
解：因为 M(x0，y0)为圆 x2＋y2＝a2(a＞0)内异于圆心的一点，所以 x2
0＋y2
00，
x1＋x2＝－
－2 3
3
m
4
3
>0，
x1x2＝
m2－1
4
3
>0，
得 10)的图象可能是( )
解：直线方程可化为x
b
＋y
a
＝1，且由 A，B，C，D 选项知 a>0，b<0，满足圆心(a，b)(a>0，
b<0)的只有选项 D.故选 D.
(2)(2014·安徽)过点 P(－ 3，－1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的倾
斜角的取值范围是( )
A.
0，π
6 B.
0，π
3
C.
0，π
6 D.
0，π
3
解：由题意可知直线 l 的斜率存在，设其为 k，则直线 l 的方程为 y＝k(x＋ 3)－1，
要使直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，只需圆心(0，0)到直线 l 的距离 d＝| 3k－1|
k2＋1
≤1，解
得 0≤k≤ 3.所以直线 l 的倾斜角的取值范围是
0，π
3 .故选 D.
类型二 圆的切线
已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点 P(2，－1)，过 P 点作圆 C 的切线 PA，PB，
A，B 为切点．
(1)求 PA，PB 所在直线的方程；
(2)求切线 PA 的长．
解：(1)如图，易知切线 PA，PB 的斜率存在，设切线的斜率为 k.
由于切线过点 P(2，－1)，所以可设切线的方程为 y＋1＝k(x－2)，
即 kx－y－2k－1＝0.
又因为圆心 C(1，2)，半径 r＝ 2，
所以由点到直线的距离公式，得
2＝ |k－2－2k－1|
k2＋（－1）2，解得 k＝7 或 k＝－1.
故所求切线 PA，PB 的方程分别是 x＋y－1＝0 和 7x－y－15＝0.
(2)连接 AC，PC，则 AC⊥AP.在 Rt△APC 中，|AC|＝ 2，
|PC|＝ （2－1）2＋（－1－2）2＝ 10，
所以|PA|＝ |PC|2－|AC|2＝ 10－2＝2 2.
点拨：
求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为
切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率
不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．
(2016·绥化模拟)已知圆 C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0 和圆 C2：x2＋y2－2by＋
b2－ 1＝0 只有一条公切线，若 a，b∈R 且 ab≠0，则1
a2＋1
b2的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．9
解：圆 C1 的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a，0)，半径为 2.圆 C2 的标准方
程为 x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为 1.因为圆 C1 和圆 C2 只有一条公切线，所以
圆 C1 与圆 C2 内切，所以 （－2a－0）2＋（0－b）2＝2－1，得 4a2＋b2＝1，所以 1
a2＋ 1
b2＝
1
a2＋1
b2 (4a2＋b2)＝5＋b2
a2＋4a2
b2 ≥5＋2 b2
a2·4a2
b2 ＝9，当且仅当b2
a2＝4a2
b2 ，且 4a2＋b2＝1，即 a2
＝1
6
，b2＝1
3
时等号成立．所以1
a2＋1
b2的最小值为 9.故选 D.
类型三 圆的弦长
(1)(2015·全国Ⅱ)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N
两点，则|MN|＝( )
A．2 6 B．8 C．4 6 D．10
解：因为 kAB＝－1
3
，kBC＝3，所以 kAB·kBC＝－1，即 AB⊥BC，所以 AC 为圆的直径．所以圆
心为(1，－2)，半径 r＝|AC|
2
＝10
2
＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令 x＝0，得
y＝±2 6－2，所以|MN|＝4 6.故选 C.
(2)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为____________．
解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距 d
＝ （3－2）2＋（1－2）2＝ 2，所以最短弦长为 l＝2 r2－d2＝2 22－（ 2）2＝2 2.故
填 2 2.
点拨：
(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径
构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦
为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为 1＋k2·|x1－x2|，运用这一公式也可
解此题，但运算量较大．
(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2
＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为____________．
解：因为圆心(2，－1)到直线 x＋2y－3＝0 的距离 d＝|2＋2×（－1）－3|
12＋22
＝ 3
5
，所以
直线被圆截得的弦长为 l＝2 22－
3
5
2
＝2 55
5
.故填2 55
5
.
(2)已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为 AC
和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( )
A．10 6 B．20 6
C．30 6 D．40 6
解：易知过点(3，5)的最长弦 AC 为圆的直径，过点(3，5)的最短弦 BD 为垂直于直径
AC 的弦，所以点(3，5)为 AC 与 BD 的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2
＝25，得圆心(3，4)，半径 r＝5，圆心到直线 BD 的距离 d＝1，|BD|＝2 r2－d2＝2 52－12＝
4 6，|AC|＝2r＝10，所以四边形 ABCD 的面积 S＝ 1
2
|AC|·|BD|＝20 6.故选 B.
类型四 圆与圆的位置关系
已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－ 5＝0，圆 C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，
问：m 为何值时，
(1)圆 C1 和圆 C2 相外切？
(2)圆 C1 和圆 C2 内含？
解：易知圆 C1，C2 的标准方程分别为 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2
＝4，
(1) 如 果 圆 C1 与 圆 C2 相 外 切 ， 则 两 圆 圆 心 距 等 于 两 圆 半 径 之 和 ， 即 有
（m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2，解得 m＝－5 或 2.
故当 m＝－5 或 2 时，圆 C1 和圆 C2 相外切．
(2)如果圆 C1 与圆 C2 内含，则只可能是较大圆 C1 含较小圆 C2，此时两圆圆心距小于两圆
半径之差，即
（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－20)．其中的 a，b 是定值，r 是参数．
②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－ b)2＝r2(r>0)．其中 r 是定值，a，b 是参数．
③过直线 Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey
＋ F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
④过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交点的圆系方程：
x2＋ y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆 C2，因此应用时
注意检验 C2 是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1 时，圆系方程表示直线 l：(D1－D2)x＋(E1
－E2)y＋ (F1－F2)＝0.若两圆相交，则 l 为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则 l 为公
切线．
在以 k 为参数的圆系：x2＋y2＋ 2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0 中，试证两个
不同的圆相内切或相外切．
证明：将原方程转化为(x＋k)2＋(y＋2k＋ 5)2＝5(k＋1)2.
设两个圆的圆心分别为
O1(－k1，－2k1－5)，O2(－k2，－2k2－5)，
半径分别为 5|k1＋1|， 5|k2＋1|，由于圆心距|O1O2|＝ （k2－k1）2＋4（k2－k1）2＝
5|k2－k1|.
当 k1＞－1 且 k2＞－1 或 k1＜－1 且 k2＜－1 时，两圆半径之差的绝对值等于 5|k2－k1|，
即两圆相内切．
当 k1＞－1 且 k2＜－1 或 k1＜－1 且 k2＞－1 时，两圆半径之和的绝对值等于 5|k2－k1|，
即两圆相外切．
类型六 圆的综合应用
(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知圆心为 C 的圆，满足下列条件：圆心 C 位于 x
轴正半轴上，与直线 3x－4y＋7＝0 相切，且被 y 轴截得的弦长为 2 3，圆 C 的面积小于 13.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)设过点 M(0，3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A，B，以 OA，OB 为邻边作平行四边
形 OADB(O 为坐标原点)．是否存在这样的直线 l，使得直线 OD 与 MC 恰好平行？如果存在，
求出 l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设圆 C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，R 为半径，由题意知
|3a＋7|
32＋42
＝R，
a2＋3＝R，
解得 a＝1
或 a＝13
8
，又 S＝πR2<13，所以 a＝1，R＝2，所以圆 C 的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)当斜率不存在时，直线 l 为 x＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线 l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又 l 与圆 C 相交于不同的两点，
联立得
y＝kx＋3，
（x－1）2＋y2＝4，
消去 y 得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，
所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－ 24k－20>0，
解得 k<1－2 6
3
或 k>1＋2 6
3
，且 x1＋x2＝ －6k－2
1＋k2 ，则 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2k＋6
1＋k2 .
OD→＝OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)，MC→＝(1，－3)，假设OD→∥MC→，则－3(x1＋x2)＝y1＋y2，
即 3×6k－2
1＋k2 ＝2k＋6
1＋k2 ，解得 k＝3
4
∉
－∞，1－2 6
3 ∪
1＋2 6
3
，＋∞
，故假设不成立，所
以不存在这样的直线 l.
点拨：
处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及
的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，
注意借助向量工具．
(2016·河南六市一联)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x
＋ 3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线 l 过点 A(4，0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2，它们分
别与圆 C1 和 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等．试求所
有满足条件的点 P 的坐标．
解：(1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交，所以直线 l 的斜率存在．设直线 l 的方程为 y
＝k(x－4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d，则 d＝ 22－（ 3）2＝1.由点到直线的距离
公式得 d＝|－3k－1－4k|
1＋k2
，即|7k＋1|
1＋k2
＝1，化简得 k(24k＋7)＝0，所以 k＝0 或 k＝－ 7
24
，
所以直线 l 的方程为 y＝0 或 7x＋24y－28＝0.
(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线 l2
的方程为 y－b＝－1
k
(x－a)．因为圆 C1 和 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直
线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距
离相等，即
|1－b＋k（3＋a）|
1＋k2
＝
|5－b＋1
k
（4－a）|
1＋1
k2
，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而 1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或 1＋ 3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k
＝ b－a＋3 或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为 k 的取值有无穷多个，所以
a＋b－2＝0，
b－a＋3＝0
或
a－b＋8＝0，
a＋b－5＝0，
解得
a＝5
2
，
b＝－1
2
或
a＝－3
2
，
b＝13
2
，
这样的点 P 的坐标为
5
2
，－1
2 或
－3
2
，13
2 .
经检验，上述坐标均满足题中条件．
1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几
何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆
心到直线的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系，即 dr，分别确定相交、相切、
相离．
2．两圆相交，易只注意到 d＜R＋r 而遗漏掉 d＞R－r.
3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点
的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，
将明显减少代数运算量，请同学们切记．
4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外
一点 M(x0，y0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为|MT|＝ x2
0＋y2
0＋Dx0＋Ey0＋F.
5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角
形 ． 当 然 ， 不 失 一 般 性 ， 圆 锥 曲 线 的 弦 长 公 式 |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝
（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2](A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦的两个端点)也应重视．
6．已知
⊙O1：x2＋y2＝r2；
⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
若点 M(x0，y0)在圆上，则过 M 的切线方程分别为
x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·x0＋x
2
＋E·y0＋y
2
＋F＝0.
若点 M(x0，y0)在圆外，过点 M 引圆的两条切线，切点为 M1，M2，则切点弦(两切点的连
线段)所在直线的方程分别为
x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·x0＋x
2
＋E·y0＋y
2
＋F＝0.
圆 x2＋y2＝r2 的斜率为 k 的两条切线方程分别为
y＝kx±r 1＋k2.
掌握这些结论，对解题很有帮助．
7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的
方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．
8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决
问题，它在运算上往往比较简便．
1．(2015·安徽)直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切，则 b 的值是( )
A．－2 或 12 B．2 或－12
C．－2 或－12 D．2 或 12
解：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线 3x＋4y＝b 的距
离 d＝|3＋4－b|
32＋42
＝1，即|b－7|＝5，解得 b＝12 或 b＝2.故选 D.
2．(2015·重庆)已知直线 l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对
称轴．过点 A(－4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 2 C．6 D．2 10
解：圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为 C(2，1)，半径 r＝2，由直线 l
是圆 C 的对称轴，可知直线 l 过点 C，所以 2＋a×1－ 1＝0，即 a＝－1，所以 A(－4，
－1)，于是 |AC|2＝40，所以|AB|＝ |AC|2－22＝ 40－4＝6.故选 C.
3．(2016·南昌模拟)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O
的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解：因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2>1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1
的距离 d＝ 1
a2＋b2
<1，即直线与圆相交．故选 B.
4．(2016·武汉模拟)过点 P(3，1)作圆 (x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，
B，则直线 AB 的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解：如图，令圆心坐标为 C(1，0)，易知 A(1，1)．
又 kAB·kPC＝－1，且 kPC＝1－0
3－1
＝1
2
，
则 kAB＝－2.
故直线 AB 的方程为 y－1＝－2(x－1)，
即 2x＋y－3＝0.故选 A.
5．与直线 x－y－4＝0 和圆 x2＋y2＋2x－ 2y＝0 都相切的半径最小的圆的方程是
( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
解：由已知圆的圆心 C(－1，1)向直线 x－ y－4＝0 作垂线，垂足为 H，当所求圆的
圆心位于 CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线 CH
的方程为 x＋y＝0，分别求出垂线 x＋y＝0 与直线 x－y－ 4＝0 的交点(2，－2)及与已
知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径 r＝ 2.所求圆的方程为(x－1)2
＋(y＋1)2＝2.故选 C.
6．(2016·浙江丽水模拟)若过点 A(a，a)可作圆 x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0 的两条切
线，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B.
1，3
2
C．(－∞，－3)∪
1，3
2
D．(－3，＋∞)
解：圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a，则 3－2a>0，①，因为过点 A(a，a)可作圆的
两条切线，所以点 A 在圆外，即(a－a)2＋a2>3－2a，②，由①②解得 a<－3 或 11，解得－ 30)与 x2＋y2＋6x－ 8y－11＝0 有公共点，则实数 m 的取值范围
是( )
A．(0，1) B．
C．(121，＋∞) D．(1，121)
解：易知两圆的标准方程分别为 x2＋y2＝m(m>0)，(x＋3)2＋(y－4)2＝36，因为两圆有
公共点，所以| m－6|≤5≤ m＋6，解得 1≤m≤121.故选 B.
4．(2016·深圳模拟)已知圆 C 的圆心与点 P(－2，1)关于直线 y＝x＋1 对称，直线 3x
＋ 4y－11＝0 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝6，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋(y＋1)2＝18 B．(x－1)2＋y2＝18
C．(x＋1)2＋y2＝18 D．x2＋(y－1)2＝18
解：易知点 P(－2，1)关于直线 y＝x＋1 的对称点为(0，－1)，即 C(0，－1)，圆心到
直线 3x＋4y－11＝0 的距离 d＝|0－4－11|
32＋42
＝3，所以半径 r＝ 32＋32＝3 2，则圆 C 的方程
为 x2＋ (y＋1)2＝18.故选 A.
5．(2016·深圳模拟)圆 x2＋2x＋y2＋4y－ 3＝0 上到直线 x＋y＋1＝0 的距离为 2的
点共有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解：圆 x2＋2x＋y2＋4y－3＝0 的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以圆心(－1，－2)
到直线 x＋y＋1＝0 的距离为|－1－2＋1|
2
＝ 2，而 2 2－ 2＝ 2，因此圆上到直线 x＋y
＋1＝0 的距离为 2的点共有 3 个．故选 C.
6．(2016·惠州模拟)在圆 x2＋y2－2x－6y＝0 内，过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别
为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( )
A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2
解：把圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋ (y－3)2＝10，则圆心坐标 M(1，3)，半径为
10，根据题意画出图象，如图所示．
由图象可知，过点 E 的最长弦为直径 AC，最短弦为过 E 与直径 AC 垂直的弦，则 AC＝2 10，
MB＝ 10，ME＝ （1－0）2＋（3－1）2＝ 5，所以 BD＝2BE＝2 （ 10）2－（ 5）2＝2 5，
又 AC⊥BD，所以四边形 ABCD 的面积 S＝1
2
AC·BD＝1
2
×2 10×2 5＝10 2.故选 B.
7．(2014·重庆)已知直线 x－y＋a＝0 与圆心为 C 的圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 相交于 A，
B 两点，且 AC⊥BC，则实数 a 的值为____________．
解：圆 C 的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
圆心 C(－1，2)，半径 r＝3，
因为直线与圆相交于 A，B 两点，且 AC⊥BC，
所以点 C 到直线的距离 d＝|－3＋a|
2
＝3 2
2
，
解得 a＝0 或 6.故填 0 或 6.
8．(2016·鄂州模拟)点 A，B 分别为圆 M：x2＋(y－3)2＝1 与圆 N：(x－3)2＋(y－8)2
＝4 上的动点，点 C 在直线 x＋y＝0 上运动，则 |AC|＋|BC|的最小值为____________．
解：由题可知 M(0，3)，N(3，8)，令圆 M 和圆 N 的半径分别为 R1，R2，则点 M 关于直线
x＋y＝0 的对称点设为 M′，可知坐标为(－3，0)，那么|AC|＋|BC|的最小值就是|M′N|－ R1
－R2＝ （－3－3）2＋（0－8）2－3＝7.故填 7.
9．已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l： mx－y＋1＝0.
(1)求证：对任意 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同交点；
(2)若圆 C 与直线 l 相交于 A，B 两点，求弦 AB 的最小值．
解：(1)证法一：因为直线 mx－y＋1＝0 恒过定点(0，1)，且点(0，1)在圆 C：x2＋(y
－ 2)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点．
证法二：联立方程
x2＋（y－2）2＝5，
mx－y＋1＝0
消去 y 并整理得
(m2＋1)x2－2mx－4＝0，
因为Δ＝4m2＋16(m2＋1)>0，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点．
证法三：圆心 C(0，2)到直线 mx－y＋1＝0 的距离 d＝|0－2＋1|
m2＋1
＝ 1
m2＋1
≤1< 5，
所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点．
(2)因为圆心 C(0，2)到直线 l 的距离 d＝|0－2＋1|
m2＋1
＝ 1
m2＋1
≤1，所以|AB|＝2 r2－d2
≥4，所以弦 AB 的最小值为 4.
10．(2016·湖南模拟)已知圆 O：x2＋y2＝9 及点 C(2，1)，过点 C 的直线 l 与圆 O 交于
P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．
解：当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x＝2，则 P，Q 的坐标分别为(2， 5)，
(2，－ 5)，
所以 S△OPQ＝1
2
×2×2 5＝2 5.
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y－1＝k(x－2)
k≠1
2 ，
则圆心到直线 PQ 的距离为 d＝|1－2k|
k2＋1
，
且|PQ|＝2 9－d2，
则 S△OPQ＝1
2
×|PQ|×d＝1
2
×2 9－d2×d
＝ （9－d2）d2≤
9－d2＋d2
2
2
＝9
2
，
当且仅当 9－d2＝d2，
即 d2＝9
2
时，S△OPQ 取得最大值9
2
.
因为 2 5<9
2
，所以 S△OPQ 的最大值为9
2
，
此时，由4k2－4k＋1
k2＋1
＝9
2
，
解得 k＝－7 或 k＝－1，
则直线 l 的方程为 x＋y－3＝0 或 7x＋y－ 15＝0.
(2015·湖北)如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，
B(B 在 A 的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆 C 的标准．．方程为__________；
(2)过点 A 任作一条直线与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 M，N 两点，下列三个结论：
①|NA|
|NB|
＝|MA|
|MB|
；②|NB|
|NA|
－|MA|
|MB|
＝2；
③|NB|
|NA|
＋|MA|
|MB|
＝2 2.
其中正确结论的序号是____________．(写出所有正确结论的序号)
解：(1)由题意，设圆心 C(1，r)(r 为圆 C 的半径)，则 r2＝
|AB|
2
2
＋12＝2，r＝ 2.所
以圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
(2)由(1)知，A(0， 2－1)，B(0， 2＋1)．
设 M(a，b)，
则 |MA|
|MB|
＝ a2＋[b－（ 2－1）]2
a2＋[b－（ 2＋1）]2
＝ 1－b2＋[b－（ 2－1）]2
1－b2＋[b－（ 2＋1）]2
＝
（ 2－1）（ 2－b）
（ 2＋1）（ 2－b）
＝ 2－1
2＋1
＝ 2－1，同理|NA|
|NB|
＝ 2－1，所以|NA|
|NB|
＝|MA|
|MB|
，①正
确；|NB|
|NA|
－|MA|
|MB|
＝ 1
2－1
－( 2－1)＝2，②正确；|NB|
|NA|
＋|MA|
|MB|
＝ 1
2－1
＋ 2－1＝2 2，③
正确．综上，正确结论的序号是①②③.故填(x－1)2＋ (y－ 2)2＝2；①②③.
9．5 曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上
的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：
(1)___________________________；
(2) ___________________________．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的__________，用有序实数对(x，y)表示曲线上____________M 的坐标；
(2)写出____________的点 M 的集合：P＝{M|p(M)}；
(3)用__________表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0；
(4)化方程 f(x，y)＝0 为____________形式；
(5)说明以化简后的方程的________为坐标的________都在曲线上．
注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况
省略步骤(2)．
3．求曲线的轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系 f(x，y)＝0.也就是：建系设点、列式、
代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出
动点的轨迹方程．
(3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待
定系数．
(4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又
在某已知曲线上，首先用 x，y 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得到要求的轨迹方程．
(5)交轨法：动点 P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方
程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．
(6)参数法：当动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将 x，y 均用一中间变
量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程 f(x，y)＝0.
(4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方
程．
自查自纠：
1．(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
2．(1)坐标系 任意一点 (2)适合条件 p
(3)坐标 (4)最简 (5)解 点
方程(x2－y2－1) x－y－1＝0 表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )
解：原方程等价于
x2－y2－1＝0，
x－y－1≥0
或 x－y－ 1＝0，前者表示等轴双曲线 x2－y2＝1 位
于直线 x－y－1＝0 下方的部分，后者为直线 x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．故
选 B.
已知点 A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0 或 4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0 或 4x－3y－24＝0
解：可知 AB 的方程为 4x－3y＋4＝0，又 |AB|＝5，设动点 C(x，y)．由题意可知1
2
×5
×|4x－3y＋4|
5
＝10，所以 4x－3y－16＝0 或 4x－ 3y＋24＝0.故选 B.
(2016·山东调研)动点 P(x，y)满足 5 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋4y－11|，则
点 P 的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
解：设定点 F(1，2)，定直线 l：3x＋4y－ 11＝0，则|PF|＝ （x－1）2＋（y－2）2，
点 P 到直线 l 的距离 d＝|3x＋4y－11|
5
.由已知得 |PF|＝d，但注意到点 F(1，2)恰在直线
l 上，所以点 P 的轨迹是直线．故选 D.
(2016·武汉模拟)已知 F 是抛物线 y＝ 1
4
x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段
PF 中点的轨迹方程是__________．
解：因为抛物线 x2＝4y 的焦点 F 的坐标为(0，1)，设线段 PF 的中点坐标是(x，y)，则
P(2x，2y－1)在抛物线 x2＝4y 上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得 x2＝2y－1.故填 x2＝2y－
1.
(2016·贵州调研)在平面直角坐标系中，动点 P 和点 M(－2，0)，N(2，0)满足|MN→||MP→|
＋MN→·NP→＝0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为____________．
解：把已知等式|MN→||MP→|＋MN→·NP→＝0 用坐标表示，得 4 （x＋2）2＋y2＋4(x－2)＝0，
化简变形得 y2＝－8x.故填 y2＝－8x.
类型一 已知方程判断曲线
|y|－1＝ 1－（x－1）2表示的曲线是( )
A．抛物线 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解：原方程|y|－1＝ 1－（x－1）2等价于
|y|－1≥0，
1－（x－1）2≥0，
（|y|－1）2＝1－（x－1）2，
得
y≥1，
（x－1）2＋（y－1）2＝1
或
y≤－1，
（x－1）2＋（y＋1）2＝1.
所以原方程表示(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)和(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)两个半
圆．故选 D.
点拨：
化简曲线方程时要注意等价性，每一步都需等价转化，对含有绝对值的式子须进行分类
讨论，且分类要彻底，最后再综合起来分析．
若实数 x，y 满足 x|x|－y|y|＝1，则点(x，y)到直线 y＝x 的距离的取值范围
是( )
A．
C.
1
2
，1
D．(0，1]
解：①当 x≥0 且 y≥0 时，x|x|－y|y|＝ x2－y2＝1；②当 x＞0 且 y＜0 时，x|x|
－y|y|＝x2＋y2＝1；③当 x＜0 且 y＞0 时，无意义；④当 x＜0 且 y＜0 时，x|x|－y|y|＝y2
－x2＝1.作出图象如图所示，因为直线 y＝x 为两段等轴双曲线的渐近线，而四分之一个单
位圆上的点到直线 y＝x 的距离的最大值为 1.故选 D.
类型二 直接法求曲线的轨迹方程
已知|AB|＝2，动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹方程为____________．
解：如图所示，以 AB 的中点 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 A(－1，0)，B(1，0)．
设 P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，
所以 （x＋1）2＋y2＝2 （x－1）2＋y2，
整理得 x2＋y2－10
3
x＋1＝0，
即
x－5
3
2
＋y2＝16
9
.
所以动点 P 的轨迹方程为
x－5
3
2
＋y2＝16
9
.
故填
x－5
3
2
＋y2＝16
9
.
点拨：
(1)直接法求曲线的轨迹方程时，建立适当的坐标系非常重要．建立适当的直角坐标系
一般应遵循两原则：①对称性原则：坐标轴为曲线的对称轴，坐标原点为曲线的对称中心；
②过原点原则：在优先满足①的情形下，尽量让曲线经过原点，这样方程可减少一个常数
项．(2)直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意
翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后
的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注
意检验方程的纯粹性和完备性．
线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|＝2a，|CD|＝2b，动点 P 满足|PA|·|PB|＝
|PC|·|PD|，则动点 P 的轨迹方程为____________．
解：以 AB 中点 O 为原点，直线 AB 为 x 轴，直线 CD 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图
所示，
设 P(x，y)，易知 A(－a，0)，B(a，0)，C(0，－b)，D(0，b)，因为动点 P 满足|PA|·|PB|
＝|PC|·|PD|，所以由两点间距离公式，得
（x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2，
化简得 x2－y2＝a2－b2
2
.故填 x2－y2＝a2－b2
2
.
类型三 几何法求曲线的轨迹方程
(2016·长沙模拟)△ABC 的顶点 A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在
直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是____________．
解：如图，令内切圆与三边的切点分别为 D，E，F，
可知|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BE|＝8－2＝6<|AB|＝10.
根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，其方程为x2
9
－y2
16
＝1(x>3)．故填x2
9
－y2
16
＝1(x>3)．
点拨：
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，
从而得出动点的轨迹方程的方法叫几何法．几何法通过挖掘图形的几何属性，联想有关的定
义和性质，建立适当的等量关系，开阔了思维视野，提高了解题的灵活性，简化了思维过程，
减少了计算量．
(2016·河南郑州一模)如图， △PAB 所在的平面α和四边形 ABCD 所在的平
面β互相垂直，且 AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若 tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，
则点 P 在平面α内的轨迹是( )
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
解：由题意知PA
AD
＋2×PB
BC
＝10，则 PA＋ PB＝40>AB＝6，又因为 P，A，B 三点不共线，
故点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆的一部分．故选 B.
类型四 定义法求曲线的轨迹方程
已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与
圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，则 C 的方程为____________．
解：由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1，圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r2
＝3.
设动圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 r.
因为圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切，
所以|PM|＋|PN|＝(r＋r1)＋(r2－r)＝ r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，半焦距为 1，短半
轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x2
4
＋y2
3
＝1(x≠－2)．故填x2
4
＋y2
3
＝1(x≠－2)．
点拨：
本题是利用常见曲线的定义求其方程的典型例子，求解过程充分运用了平面几何的知
识．一般来说，利用定义法求曲线的轨迹方程常伴有平面几何知识的应用．
(1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1
及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________．
解：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2，即动点 M 到两定点 C2，C1
的距离的差是常数 2，且 2＜|C1C2|＝6， |MC2|＞|MC1|，故动圆圆心 M 的轨迹为以定点 C1，
C2 为焦点的双曲线的左支，则 2a＝2，a＝1.
又 c＝3，所以 b2＝c2－a2＝8.
设动圆圆心 M 的坐标为(x，y)，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2－y2
8
＝1(x≤－1)．
故填 x2－y2
8
＝1(x≤－1)．
(2)(2016·青岛检测) 在△ABC 中，已知 A(2，0)，B(－2，0)，G，M 为平面上的两点
且满足GA→＋GB→＋GC→＝0，|MA→|＝|MB→|＝|MC→|，GM→∥AB→，则顶点 C 的轨迹为( )
A．焦点在 x 轴上的椭圆(长轴端点除外)
B．焦点在 y 轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在 x 轴上的双曲线(实轴端点除外)
D．焦点在 x 轴上的抛物线(顶点除外)
解：设 C(x，y)(y≠0)，由GA→＋GB→＋GC→＝0 可知 G 为△ABC 的重心，得 G
x
3
，y
3 .又|MA→|
＝|MB→|＝|MC→|，即 M 为△ABC 的外心，所以点 M 在y 轴上，又GM→∥AB→，则有 M
0，y
3 .因为|MC|
＝|MA|，所以 x2＋
y－y
3
2
＝4＋y2
9
，化简得x2
4
＋y2
12
＝1(y≠0)．所以顶点 C 的轨迹为焦点在 y
轴上的椭圆(除去短轴端点)．故选 B.
1．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方
程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵
坐标之间的关系．在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹
方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得出方程．
2．要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，
有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程．
3．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，则不仅要求出方程，而且还需要说明
所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位置、大小都需说明．
4．根据问题给出的条件不同，求轨迹的方法也不同，一般有如下规律：
(1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法；
(2)双动点的轨迹问题——相关点法；
(3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法．
5．利用参数法求动点轨迹时要注意：(1)参数的选择要合理；(2)消参的方法灵活多样；
(3)对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对 x，y 的取值范围的制约．
6．曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题，通常是转化为点的中心对称或轴对称，
一般结论如下：
(1)曲线 f(x，y)＝0 关于已知点 A(a，b)的对称曲线的方程是 f(2a－x，2b－y)＝0；
(2)曲线 f(x，y)＝0 关于 y＝kx＋b 的对称曲线的求法：
设曲线 f(x，y)＝0 上任意一点为 P(x0，y0)，点 P 关于直线 y＝kx＋b 的对称点为 P′(x，
y)，则由轴对称的条件知，P 与 P′的坐标满足
y－y0
x－x0
·k＝－1，
y＋y0
2
＝k·x＋x0
2
＋b，
从中解出 x0，y0，将
其代入已知曲线 f(x，y)＝0，就可求出曲线 f(x，y)＝0 关于直线 y＝kx＋b 对称的曲线方
程．
1．(2015·石家庄质检)已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x，y)＝0 的解”是正
确的，则下列命题中正确的是( )
A．满足方程 f(x，y)＝0 的点都在曲线 C 上
B．方程 f(x，y)＝0 是曲线 C 的方程
C．方程 f(x，y)＝0 所表示的曲线不一定是 C
D．以上说法都正确
解：曲线 C 可能只是方程 f(x，y)＝0 所表示的曲线上的某一小段，因此只有 C 正确．故
选 C.
2．(2016·宁夏调研)已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦
点，则线段 MF1 的中点 P 的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解：设 O 为坐标原点，椭圆的右焦点为 F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a>2c，所以
|PF1|＋|PO|＝1
2
(|MF1|＋|MF2|)＝a>c，所以点 P 的轨迹是以 F1 和 O 为焦点的椭圆．故选 B.
3．(2016·银川模拟)已知点 P 是直线 2x－ y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1，2)，
Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解：设 Q(x，y)，由 M 点为 PQ 中点可知 P 为(－2－x，4－y)，代入 2x－y＋3＝0 得 Q
点的轨迹方程为 2x－y＋5＝0.故选 D.
4．动点 P(x，y)到定点 A(3，4)的距离比 P 到 x 轴的距离多一个单位长度，则动点 P
的轨迹方程为( )
A．x2－6x－10y＋24＝0
B．x2－6x－6y＋24＝0
C．x2－6x－10y＋24＝0 或 x2－6x－6y＝0
D．x2－8x－8y＋24＝0
解：由题意可知|PA|＝|y|＋1，即 （x－3）2＋（y－4）2＝|y|＋1，当 y≥0 时，整理
得 x2－6x－10y＋24＝0；当 y<0 时，整理得 x2－6x－6y＋24＝0，变为(x－3)2＋15＝6y，此
方程无轨迹．故选 A.
5．(2015·辽宁联考)已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x2
4
＋y2
3
＝1 的左、右焦点，点 P 为椭圆
C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( )
A.x2
36
＋y2
27
＝1(y≠0) B.4x2
9
＋y2＝1(y≠0)
C.9x2
4
＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋4y2
3
＝1(y≠0)
解：依题意知 F1(－1，0)，F2(1，0)，设 P(x0，y0)，G(x，y)，由三角形重心坐标关系
可得
x＝x0－1＋1
3
，
y＝y0
3
，
即
x0＝3x，
y0＝3y，
代入x2
4
＋y2
3
＝1，得重心 G 的轨迹方程为9x2
4
＋3y2＝1(y≠0)．故
选 C.
6．(2016·浙江杭州模拟)已知正方形的四个顶点分别为 O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，
C(0，1)，点 D，E 分别在线段 OC，AB 上运动，且 OD＝BE，设 AD 与 OE 交于点 G，则点 G 的
轨迹方程是( )
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)
B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)
C．y＝x2(0≤x≤1)
D．y＝1－x2(0≤x≤1)
解：设 D(0，λ)，则 E(1，1－λ)，0≤λ≤1，当λ＝0 或 1 时，G 的坐标分别为(0，0)
和(1，0)；当λ≠0 且λ≠1 时，线段 AD 的方程为 x＋ y
λ
＝1(00，b>0.
由BP→＝2 PA→得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，
即 a＝3
2
x>0，b＝3y>0.
易知点 Q(－x，y)，
故由OQ→·AB→＝1 得(－x，y)·(－a，b)＝1，
即 ax＋by＝1.
将 a＝3
2
x，b＝3y 代入上式，
得所求的轨迹方程为 3
2
x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．故填 3
2
x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
9．若△ABC 的顶点 B，C 的坐标分别是(0，0)和(4，0)，AB 边上中线的长为 3，求顶点
A 的轨迹方程．
解：设 AB 的中点为 M(x1，y1)，由|MC|＝3 知 M 点轨迹方程为(x1－4)2＋y2
1＝9(y1≠0)．
设 A(x，y)，则
x1＝x
2
，
y1＝y
2
，
代入点 M 的轨迹方程得顶点 A 的轨迹方程为 x2＋y2－16x＋28
＝0(y≠0)．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1，1)关于原点 O 对称，P 是动点，且直
线 AP 与 BP 的斜率之积等于－1
3
.求动点 P 的轨迹方程．
解：因为点 B 与点 A(－1，1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，－1)．
设点 P 的坐标为(x，y)，
由题意得y－1
x＋1
·y＋1
x－1
＝－1
3
，
化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
11．(2015·湖北)一种作图工具如图 1 所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，
长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN＝ON＝1，MN＝3.
当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔
尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系，
求曲线 C 的方程．
解：设点 D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，MD→＝2DN→，且|DN→|＝|ON→|＝
1, 所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，
且
（x0－t）2＋y2
0＝1，
x2
0＋y2
0＝1，
即
t－x＝2x0－2t，
y＝－2y0，
且 t(t－2x0)＝0.
由于当点 D 不动时，点 N 也不动，所以 t 不恒等于 0，于是 t＝2x0，x0＝x
4
，y0＝－y
2
，
代入 x2
0＋y2
0＝1，可得x2
16
＋y2
4
＝1，
即所求的曲线 C 的方程为x2
16
＋y2
4
＝1.
(2015·抚州模拟)在平面直角坐标系中，已知 A1(－ 2，0)，A2( 2，0)，P(x，
y)，M(x，1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2OM→·ON→＝A1P→·A2P→(O 为坐标原点)，求 P 点的轨迹
方程，并讨论 P 点的轨迹类型．
解：OM→＝(x，1)，ON→＝(x，－2)，
A1P→＝(x＋ 2，y)，A2P→＝(x－ 2，y)．
因为λ2OM→·ON→＝A1P→·A2P→，
所以λ2(x2－2)＝x2－2＋y2，
整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．
①当λ＝±1 时，方程为 y＝0，轨迹为一条直线；
②当λ＝0 时，方程为 x2＋y2＝2，轨迹为圆；
③当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为x2
2
＋ y2
2（1－λ2）
＝1，轨迹为中心在原点，焦点
在 x 轴上的椭圆；
④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x2
2
－ y2
2（λ2－1）
＝1，轨迹为中心在原点，
焦点在 x 轴上的双曲线．
9．6 椭 圆
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数 2a(2a______|F1F2|)的点的轨
迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
※(2)另一种定义方式(见人教 A 版教材选修 2－1 P47 例 6、P50)：平面内动点 M 到
定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点 F 叫
做椭圆的一个焦点，定直线 l 叫做椭圆的一条准线，常数 e 叫做椭圆的__________．
2．椭圆的标准方程及几何性质
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
(1)图形
(2)标准
方程
y2
a2＋x2
b2＝1
(a>b>0)
(3)范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－a≤y≤a，
－b≤x≤b
(4)中心 原点 O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)
B1(0，－b)，
B2(0，b)
(6)对称轴 x 轴，y 轴
(7)焦点 F1(0，－c)，F2(0，c)
(8)焦距 2c＝2 a2－b2
(9)离心率
自查自纠：
1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率
2．(2)x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)
(5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
(7)F1(－c，0)，F2(c，0) (9)e＝c
a
(0＜e＜1)
椭圆x2
25
＋y2
9
＝1 与椭圆 x2
25－k
＋ y2
9－k
＝1(0b>0)的左焦点，A，
B 分别为 C 的左、右顶点，P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，
与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )
A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
4
解：设 M(－c，y0)，则 AM 所在直线方程为 y＝ y0
－c＋a
(x＋a)，令 x＝0，得 E
0， ay0
－c＋a .BM
所在直线方程为 y＝ y0
－c－a
(x－a)，令 x＝0，得 y＝ －ay0
－c－a
.由题意得 －ay0
－c－a
＝1
2
× ay0
－c＋a
，
解得 a＝3c，故离心率 e＝c
a
＝1
3
.故选 A.
已知椭圆x2
m
＋y2
4
＝1 的焦距是 2，则该椭圆的长轴长为____________．
解：当焦点在 x 轴上时，有 m－4＝1，得 m＝5，此时长轴长为 2 5；当焦点在 y
轴上时，长轴长为 4.故填 2 5或 4.
(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的右焦点，
直线 y＝b
2
与椭圆交于 B，C 两点，且∠BFC＝ 90°，则该椭圆的离心率是__________．
解：由题意可得 B
－ 3
2
a，b
2 ，C
3
2
a，b
2 ，F(c，0)，则由∠BFC＝90°得BF→·CF→＝
c＋ 3
2
a，－b
2 ·(c－ 3
2
a，－b
2
)＝c2－3
4
a2＋ 1
4
b2＝0，化简得 3c＝ 2a，则离心率 e＝c
a
＝
2
3
＝ 6
3
.故填 6
3
.
类型一 椭圆的定义及其标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于
10；
(2)过点 P(－3，2)，且与椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 有相同的焦点；
(3)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过点
P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
解：(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)．
因为 2a＝10，2c＝6，即 a＝5，c＝3，
所以 b2＝a2－c2＝52－32＝16.
所以所求椭圆的标准方程为x2
25
＋y2
16
＝1.
(2)因为所求的椭圆与椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 的焦点相同，所以其焦点在 x 轴上，且 c2＝5.
设所求椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，
因为所求椭圆过点 P(－3，2)，
所以有9
a2＋4
b2＝1.又 a2－b2＝c2＝5，
所以联立上述两式，解得
a2＝15，
b2＝10.
所以所求椭圆的标准方程为x2
15
＋y2
10
＝1.
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)或y2
a2＋x2
b2＝1(a
＞b＞0)，由已知条件得
2a＝5＋3，
（2c）2＝52－32，
解得 a＝4，c＝2，所以 b2＝12.
故椭圆方程为x2
16
＋y2
12
＝1 或y2
16
＋x2
12
＝1.
点拨：
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数
2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再
定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组．如果焦点位置
不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2＋ny2＝1 (m>0，
n>0，m≠n)的形式．
(1)(2016·南通调研)求经过点 P(－2 3，1)，Q( 3，－2)两点椭圆的标准方
程．
解：设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0 且 m≠n)，
因为点 P(－2 3，1)，Q( 3，－2)在椭圆上，所以
12m＋n＝1，
3m＋4n＝1，
解得 m＝ 1
15
，n＝1
5
.
故所求椭圆的标准方程为x2
15
＋y2
5
＝1.
(2)(2016·长沙调研)求与椭圆x2
4
＋y2
3
＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)的椭圆的标
准方程．
解法一：若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为x2
m2＋y2
n2＝1(m>n>0)，依题意可得n2
m2＝3
4
，
又4
m2＋3
n2＝1，所以 m2＝8，n2＝6，
故椭圆的标准方程为x2
8
＋y2
6
＝1.
若焦点在 y 轴上，设所求椭圆方程为y2
m2＋x2
n2＝1(m>n>0)，则3
m2＋4
n2＝1，且n2
m2＝3
4
，
解得 m2＝25
3
，n2＝25
4
.
故椭圆的标准方程为
y2
25
3
＋
x2
25
4
＝1.
解法二：若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为x2
4
＋y2
3
＝t(t>0)，将点(2，－ 3)代入得
t＝22
4
＋（－ 3）2
3
＝2，
故椭圆的标准方程为x2
8
＋y2
6
＝1.
若焦点在 y 轴上，设所求椭圆方程为y2
4
＋x2
3
＝λ(λ>0)，将点(2，－ 3)代入得λ＝25
12
.
故椭圆的标准方程为
y2
25
3
＋
x2
25
4
＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x2
8
＋y2
6
＝1 或
y2
25
3
＋
x2
25
4
＝1.
类型二 椭圆的离心率
设 F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直
线 x＝a2
c
上存在点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.
0， 2
2 B.
0， 3
3
C.
2
2
，1
D.
3
3
，1
解法一：由题意可设 P
a2
c
，y
，因为 PF1 的中垂线过点 F2，所以|F1F2|＝|F2P|，即 2c＝
a2
c
－c 2
＋y2，整理得 y2＝3c2＋2a2－a4
c2.
因为 y2≥0，所以 3c2＋2a2－a4
c2≥0，即 3e2－1
e2＋2≥0，解得 e≥ 3
3
.
所以 e 的取值范围是
3
3
，1
.
解法二：设直线 x＝a2
c
与 x 轴交于 M 点，则|F1F2|＝|F2P|≥|MF2|，即 2c≥a2
c
－c，整理得
1
3
≤e2<1， 3
3
≤e<1.
所以椭圆离心率的取值范围是
3
3
，1
.故选 D.
点拨：
(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变
化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的
把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着 P 点的变化而变化，P 点的变化使得线
段|PF2|的长度也在变化，进而|PF2|与|MF2|的长度关系也在变化．正确地描述这一变化中量与量
之间的数量关系是解题的关键所在．(4)求椭圆的离心率通常要构造关于 a，c 的齐次式，再
转化为关于 e 的方程或不等式．
(2016·江西模拟)已知椭圆 C1： x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)与圆 C2：x2＋y2＝b2，若在
椭圆 C1 上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B，且∠BPA＝π
3
，则椭圆 C1 的离心
率的取值范围是( )
A.
3
2
，1
B.
2
2
， 3
2
C.
2
2
，1
D.
1
2
，1
解：连接 OA，OB，OP，依题意，O，P，A，B 四点共圆，
因为∠BPA＝π
3
，则∠APO＝∠BPO＝π
6
.
在直角三角形 OAP 中，∠AOP＝π
3
，
所以 cos∠AOP＝ b
|OP|
＝1
2
，即|OP|＝2b，
又因为 b<|OP|≤a，所以 2b≤a，
即 4(a2－c2)≤a2，
即 3
2
≤e，又 0b>0)．
(1)在△F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2 ＝|PF1|2 ＋|PF2|2 －2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2 ＝
(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|.
所以 4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2
3
.
又因为|PF1|·|PF2|≤
|PF1|＋|PF2|
2
2
＝a2，所以4a2－4c2
3
≤a2，即c2
a2≥1
4
，即 e2≥1
4
，所
以1
2
≤e<1.
另解：当点 P 在椭圆短轴端点时，∠F1PF2 最大．设椭圆的短轴的一个端点为 B，所以
∠OBF1≥30°，所以 sin∠OBF1＝c
a
≥1
2
，即1
2
≤e<1.
(2)证明：由(1)知|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2
3
＝4b2
3
.所以
1 2F PFS ＝1
2
|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝ 1
2
×4b2
3
× 3
2
＝ 3b2
3
.得证．
点拨：
椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载
体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联
系，内容丰富多彩．
(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点
F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16，求|AF2|；
(2)若 cos∠AF2B＝3
5
，求椭圆 E 的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得 |AF1|＝3，|F1B|＝1，
因为△ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则 k>0 且|AF1|＝3k， |AB|＝4k，由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2 中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－
2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－6
5
(2a－3k)(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而 a＋k>0，故 a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得 F1A⊥F2A，
故△AF1F2 为等腰直角三角形．从而 c＝ 2
2
a，所以椭圆 E 的离心率 e＝c
a
＝ 2
2
.
类型四 椭圆的弦长
(2016·全国卷Ⅰ)设圆 x2＋y2＋ 2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1，0)
且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A
交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆 A 的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得 A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2.
由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x2
4
＋y2
3
＝1(y≠0)．
(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
y＝k（x－1），
x2
4
＋y2
3
＝1
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则 x1＋x2＝ 8k2
4k2＋3
，x1x2＝4k2－12
4k2＋3
，
所以|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）
4k2＋3
.
过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线 m：y＝ －1
k
(x－1)，
A 到 m 的距离为 2
k2＋1
，
所以|PQ|＝2 42－
2
k2＋1
2
＝4 4k2＋3
k2＋1
.
故四边形 MPNQ 的面积
S＝1
2
|MN||PQ|＝12 1＋ 1
4k2＋3
.
可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12，8 3)．
当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x＝1， |MN|＝3，|PQ|＝8，
四边形 MPNQ 的面积为 12.
综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 B.
1，4
3
C.
4
3
，5
3 D．(2，3]
解：设左焦点为 F′，则|PF′|＝2|MO|＝c
4
，由双曲线定义知|PF|－|PF′|＝2a，且
|PF|≥a＋c，即c
4
＋2a≥a＋c，所以 e∈
1，4
3 .故选 B.
类型三 双曲线的渐近线
(1)已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1 (a>0，b>0)的离心率为 5
2
，则 C 的渐近线方程为
( )
A．y＝±1
4
x B. y＝±1
3
x
C. y＝±1
2
x D. y＝±x
解：根据双曲线的性质可知 e＝c
a
＝ 5
2
， c2＝a2＋b2，联立可得 b2＝a2
4
，即b
a
＝1
2
，故
C 的渐近线方程为 y＝±1
2
x.故选 C.
(2)(2015·北京)已知双曲线x2
a2 －y2 ＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a＝
____________．
解：因为双曲线x2
a2－y2＝1(a>0)的渐近线方程是 y＝±1
a
x，所以1
a
＝ 3，解得 a＝ 3
3
.故
填 3
3
.
点拨：
本例考查双曲线中 a，b，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作
是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．
(2015·重庆)设双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F
作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D.若 D
到直线 BC 的距离小于 a＋ a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－ 2，0)∪(0， 2)
D．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
解：由题意知 BC 为双曲线的通径，所以 |BC|＝2b2
a
，|BF|＝b2
a
.又|AF|＝c－a，BD⊥AC，
AB⊥CD，AD⊥BC 且AD 平分BC，所以点D 在x 轴上，由Rt△BFA∽Rt△DFB，得|BF|2＝|AF|·|FD|，
即
b2
a
2
＝(c－a)|FD|，所以 |FD|＝ b4
a2（c－a）
，则由题意知 b4
a2（c－a）
0，b>0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，
A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点．若 A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为
( )
A．±1
2
B．± 2
2
C．±1 D．± 2
解：由题意得 A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)，将 x＝c 代入双曲线方程，解得 y＝±b2
a
.
不妨设 B
c，b2
a ，C
c，－b2
a ，又 A1B⊥A2C，则 A1B→·A2C→＝(c＋a)(c－a)－b2
a
·b2
a
＝b2－b4
a2＝0，
又 a>0，b>0，所以±b
a
＝±1.故选 C.
5．(2015·天津)已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线
的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，则双曲线的方程为( )
A.x2
9
－y2
13
＝1 B.x2
13
－y2
9
＝1
C.x2
3
－y2＝1 D．x2－y2
3
＝1
解：因为双曲线右焦点 F(2，0)与圆心重合，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相
切，所以右焦点到渐近线 y＝±b
a
x 的距离为 b＝ 3，又 a2＋b2＝c2，所以 a＝1，所以双曲线
的方程为 x2－y2
3
＝1.故选 D.
6．(2016·南昌调研)已知 F1，F2 是双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C
上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角的大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程
是( )
A. 2x±y＝0 B．x± 2y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解：由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋
|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c，而 c>a，所以|PF2|<|F1F2|，
即∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2×2c×4acos30°，得 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2
＝ 2a.则双曲线的渐近线方程为 y＝±b
a
x＝± 2x，即 2x±y＝0.故选 A.
7．(2016·河北模拟)若双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等
于焦距的1
4
，则该双曲线的离心率为____________．
解：取双曲线的一条渐近线方程为 bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c，0)．根据题意知
|bc－a×0|
b2＋a2
＝1
4
×2c，所以 c＝2b，则 a＝ c2－b2＝ 3b，所以 e＝c
a
＝2 3
3
.故填2 3
3
.
8．(2015·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上的一个动点．若
点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为____________．
解：直线 x－y＋1＝0 与双曲线 x2－y2＝1 的一条渐近线 x－y＝0 平行，这两条平行线之
间的距离为 2
2
，又 P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上的一个动点，点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距
离大于 c 恒成立，则 c≤ 2
2
，即实数 c 的最大值为 2
2
.故填 2
2
.
9．已知双曲线的两焦点坐标分别为 F1(0，－2)，F2(0，2)，以及双曲线上一点 P 的坐
标为(3，－2)，求双曲线的方程、顶点坐标、渐近线方程以及离心率．
解：由题意知双曲线的焦点在 y 轴上，可设为y2
a2 －x2
b2 ＝1，2a＝|PF2|－|PF1|＝
（3－0）2＋（－2－2）2－3＝2，
即 a＝1，b＝ c2－a2＝ 22－12＝ 3，
所以双曲线的方程为 y2－x2
3
＝1，
顶点坐标为(0，±1)，
渐近线方程为 y＝± 3
3
x，离心率 e＝c
a
＝2.
10．(2015·湛江模拟)已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F(c，0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y＝x 且 c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过点 A 作圆
的切线，斜率为－ 3，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为 y＝±b
a
x，所以 a＝b，
所以 c2＝a2＋b2＝2a2＝4，得 a2＝b2＝2.
所以双曲线方程为x2
2
－y2
2
＝1.
(2)设点 A 的坐标为(x0，y0)，
则直线 AO 的斜率满足y0
x0
·(－ 3)＝－1，
所以 x0＝ 3y0，①
依题意，圆的方程为 x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得 3y2
0＋y2
0＝c2，即 y0＝1
2
c，
所以 x0＝ 3
2
c，所以点 A 的坐标为
3
2
c，1
2
c
，
代入双曲线方程得
3
4
c2
a2
－
1
4
c2
b2
＝1，
即 3b2c2－a2c2＝4a2b2.②
又因为 a2＋b2＝c2，
所以将 b2＝c2－a2 代入②式，整理得
3c4－8a2c2＋4a4＝0，
所以 3
c
a
4
－8
c
a
2
＋4＝0，
得(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为 e＞1，所以 e＝ 2，即双曲线的离心率为 2.
直线 l：y＝ 3(x－2)和双曲线 C： x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)交于 A，B 两点，且
|AB|＝ 3，又 l 关于直线 l1：y＝b
a
x 对称的直线 l2 与 x 轴平行．
(1)求双曲线 C 的离心率 e；
(2)求双曲线 C 的方程．
解：(1)设双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1 过第一、三象限的渐近线 l1：x
a
－y
b
＝0 的倾斜角为α.
因为 l 和 l2 关于 l1 对称，记它们的交点为 P，l 与 x 轴的交点为 M.
而 l2 与 x 轴平行，记 l2 与 y 轴的交点为 Q.
依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.
又 l：y＝ 3(x－2)的倾斜角为 60°，
则 2α＝60°，α＝30°，
所以 tan30°＝b
a
＝ 3
3
.
于是 e2＝c2
a2＝1＋b2
a2＝1＋1
3
＝4
3
，所以 e＝2 3
3
.
(2)由于b
a
＝ 3
3
，于是可设双曲线方程为 x2
3k2－y2
k2＝1(k≠0)，即 x2－3y2＝3k2.
将 y＝ 3(x－2)代入 x2－3y2＝3k2 中，
得 8x2－36x＋36＋3k2＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1 ＋x2 ＝9
2
，x1x2 ＝36＋3k2
8
，所以|AB|＝ 1＋3|x1 －x2|＝2 （x1＋x2）2－4x1x2 ＝
2× 362－4×8×（36＋3k2）
8
＝ 9－6k2＝ 3，解得 k2＝1.故所求双曲线 C 的方程为x2
3
－y2
＝1.
1．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝±2x 的是( )
A．x2－y2
4
＝1 B.x2
4
－y2＝1
C.y2
4
－x2＝1 D．y2－x2
4
＝1
解：A，B 选项中双曲线的焦点在 x 轴上，C，D 选项中双曲线的焦点在 y 轴上，又令y2
4
－
x2＝0，得 y＝±2x，令 y2－x2
4
＝0，得 y＝±1
2
x.故选 C.
2．(2016·武汉模拟)已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)经过点(2，3)，且离心率为 2，
则它的焦距为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解：由离心率为 2 得c
a
＝2，即 c＝2a，则 b＝ c2－a2＝ 3a，又过点(2，3)，则4
a2
－ 9
3a2＝1，解得 a2＝1，则 2c＝4a＝4.故选 B.
3．(2016·云南模拟)已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± 3
3
x，若顶
点到渐近线的距离为 1，则双曲线的方程为( )
A.x2
4
－3y2
4
＝1 B.3x2
4
－y2
4
＝1
C.x2
4
－y2
4
＝1 D.x2
4
－4y2
3
＝1
解：双曲线渐近线方程化简为 x± 3y＝0，一顶点坐标为(a，0)，该顶点到渐近线的距
离为 a
2
＝1，a＝2.根据渐近线方程的斜率b
a
＝ 3
3
，可得 b＝2
3
3，即 a2＝4，b2＝4
3
，所以双曲
线的方程为x2
4
－3y2
4
＝1.故选 A.
4．(2015·全国Ⅰ)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2
2
－y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个
焦点，若MF1
→·MF2
→<0，则 y0 的取值范围是( )
A.
－ 3
3
， 3
3 B.
－ 3
6
， 3
6
C.
－2 2
3
，2 2
3 D.
－2 3
3
，2 3
3
解：由题知 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，因为 M(x0，y0)是双曲线 C：x2
2
－y2＝1 上的一点，
所以x2
0
2
－y2
0＝1，则MF1
→·MF2
→＝(－ 3－x0，－y0)·( 3－x0，－y0)＝x2
0＋y2
0－3＝3y2
0－1<0，解得
－ 3
3
0，b>0)上存在一点 P 满足以|OP|为边长的
正方形的面积等于 2ab(其中 O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.
1， 5
2 B.
1， 7
2
C.
5
2
，＋∞
D.
7
2
，＋∞
解：依题意得|OP|2＝2ab，又 P 为双曲线上一点，从而|OP|≥a，即 2ab≥a2，所以 2b≥a，
又 c2＝a2＋b2≥a2＋a2
4
＝5
4
a2，即 e＝c
a
≥ 5
2
.故选 C.
6．(2015·湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加
m(m>0)个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则( )
A．对任意的 a，b，e1>e2
B．当 a>b 时，e1>e2；当 ab 时，e1e2
解：由题意，双曲线 C1：c2
1＝a2＋b2，e1＝c1
a
＝ a2＋b2
a
，
双曲线 C2：c2
2＝(a＋m)2＋(b＋m)2，
e2＝ （a＋m）2＋（b＋m）2
a＋m
.所以 e2
1－e2
2＝（b－a）（2abm＋bm2＋am2）
a2（a＋m）2 ，
所以当 a>b 时，e1e2.故选 D.
7．(2016·宜昌模拟)如图，在△ABC 中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC 边上的高分别
为 BD，AE，以 A，B 为焦点，且过 D，E 的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则1
e1
＋1
e2
的
值为____________．
解：不妨设 BD＝AE＝1，则 AD＝BE＝ 3，AB＝2.令椭圆长轴长为 2a，双曲线实轴长为
2a′，焦距为 2c，则 2c＝2，2a＝1＋ 3， 2a′＝ 3－1，所以1
e1
＋1
e2
＝a
c
＋a′
c
＝1＋ 3
2
＋ 3－1
2
＝ 3.故填 3.
8．(2015·全国Ⅰ)已知 F 是双曲线 C： x2－y2
8
＝1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，
A(0，6 6) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____________．
解：依题意，双曲线 C：x2－y2
8
＝1 的右焦点为 F(3，0)，实半轴长 a＝1，左焦点为 M(－
3，0)，因为 P 在 C 的左支上，所以△APF 的周长 l＝|AP|＋|PF|＋|AF|≥|PF|＋|AF|＋
|AM|－|PM|＝|AF|＋|AM|＋2a＝15＋15＋2＝32，当且仅当 A，P，M 三点共线且 P 在 A，M
中间时取等号，此时直线 AM 的方程为 x
－3
＋ y
6 6
＝1，与双曲线的方程联立得 P 的坐标为(－
2，2 6)，此时，△APF 的面积为1
2
×6×6 6－1
2
×6×2 6＝12 6.故填 12 6.
9．(2016·广州模拟)已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的实轴长为 2 3，一个焦点
的坐标为(－ 5，0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，且|AB|＝4，求直线 l 的方程．
解：(1)由 2a＝2 3得 a＝ 3，又 c＝ 5，
所以 b2＝c2－a2＝2，
则双曲线 C 的方程为x2
3
－y2
2
＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
y＝2x＋m，
x2
3
－y2
2
＝1 得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0，所以 x1＋x2＝－6
5
m，x1x2＝3（m2＋2）
10
，
且Δ＝24(m2－10)>0，得|m|> 10，
则 弦 长 |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k2 × （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 5 ×
－6
5
m 2
－4×3（m2＋2）
10
＝ 30（m2－10）
5
＝4，解得 m＝± 210
3
.
所以直线 l 的方程为 y＝2x＋ 210
3
或 y＝2x－ 210
3
.
10．(2016·上海)双曲线 x2－y2
b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过 F2 且与
双曲线交于 A，B 两点．
(1)若 l 的倾斜角为π
2
，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设 b＝ 3，若 l 的斜率存在，且(F1A→＋F1B→)·AB→＝0，求 l 的斜率．
解：(1)设 A(c，yA)．
由题意知 F2(c，0)，c＝ 1＋b2，y2
A＝ b2(c2－1)＝b4，
因为△F1AB 是等边三角形，
所以 2c＝ 3|yA|，
即 4(1＋b2)＝3b4，解得 b2＝2(负值舍去)．
故双曲线的渐近线方程为 y＝± 2x.
(2)由已知得 F1(－2，0)，F2(2，0)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：y＝k(x－2)，显然 k≠0.
由
x2－y2
3
＝1，
y＝k（x－2）
得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
因为 l 与双曲线交于两点，所以 k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.
设 AB 的中点为 M(xM，yM)．
因为(F1A→＋F1B→)·AB→＝0，即F1M→·AB→＝0，知 F1M⊥AB，故
1F Mk ·k＝－1.
而 xM＝x1＋x2
2
＝ 2k2
k2－3
，yM＝k(xM－2)＝ 6k
k2－3
，
则
1F Mk ＝ 3k
2k2－3
，
所以 3k
2k2－3
·k＝－1，得 k2＝3
5
，
故 l 的斜率为± 15
5
.
(2014·福建)已知双曲线 E：x2
a2－ y2
b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为 l1：y
＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线 E 的离心率；
(2)如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2 于 A，B 两点(A，B 分别在第一、
四象限)，且△OAB 的面积恒为 8.试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲
线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y＝2x，y＝－2x，
所以b
a
＝2，即 c2－a2
a
＝2，故 c＝ 5a，
从而双曲线 E 的离心率 e＝c
a
＝ 5.
(2)由(1)可知，双曲线 E 的方程为x2
a2－ y2
4a2＝1.
设直线 l 的方程为 x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意得－1
2
0)，则抛物线的准线方程为 x＝－p
2
，且双曲线的渐近线方程为 y＝± 5x，由面积
为 4 5可得1
2
×p
2
× 5p＝4 5，所以 p＝4.故选 B.
(2014·全国卷)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C
于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A.3 3
4
B.9 3
8
C.63
32
D.9
4
解：由题可知 F
3
4
，0
，直线 AB 的方程为 y＝ 3
3
x－3
4 ，即 4x－4 3y－3＝0，与抛
物线方程联立，得 4y2－12 3y－9＝0，|yA－yB|＝ （yA＋yB）2－4yAyB＝6.因此，S△OAB＝
1
2
|OF||yA－yB|＝1
2
×3
4
×6＝9
4
.故选 D.
(2015·陕西)若抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线 x2－y2＝1 的一个焦点，则 p
＝____________．
解：抛物线的准线方程为 x＝－p
2
，因为 p>0，所以 x＝－p
2
必经过双曲线 x2－y2＝1 的左
焦点 (－ 2，0)，所以－p
2
＝－ 2，p＝2 2.故填 2 2.
(2016·浙江)若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是
____________．
解：由题意可知焦点 F 的坐标为(1，0)，则准线方程为 x＝－1，设 M(xM，yM)，则 xM＋1
＝10，所以 xM＝9，即 M 到 y 轴的距离是 9.故填 9.
类型一 抛物线的定义及标准方程
(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点 A(m，－3)
到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值，并写出抛物线的方程．
解：因为抛物线过点 A(m，－3)，所以抛物线的开口向下、向右或向左．
①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为 x2＝－2py(p＞0)，准线方程为 y＝p
2
，由抛
物线的定义得p
2
－(－3)＝5，解得 p＝4，抛物线的方程为 x2＝－8y.
因为点 A(m，－3)在抛物线上，所以代入得 m2＝24，m＝±2 6.
②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为 y2＝2ax(a≠0)，准线方程可统一为 x＝
－a
2
.
由题意可得 |a
2
＋m|＝5，
2am＝9，
解得
a＝1，
m＝9
2
， 或
a＝－1，
m＝－9
2
， 或
a＝9，
m＝1
2
， 或
a＝－9，
m＝－1
2
.
所以当 m＝9
2
时，抛物线的方程为 y2＝2x；当 m＝－9
2
时，抛物线的方程为 y2＝－2x；当
m＝1
2
时，抛物线的方程为 y2＝18x；当 m＝－1
2
时，抛物线的方程为 y2＝－18x.
(2)已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2： x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直
线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.11
5
D.37
16
解：易知直线 l2：x＝－1 为抛物线 y2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，点 P 到 l2 的距
离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线 y2＝4x 上找一个
点 P 使得 P 到点 F(1，0)和直线 l1 的距离之和最小．
因此最小值为 F(1，0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离，即 dmin＝ |4－0＋6|
42＋（－3）2
＝2.故
选 A.
点拨：
(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意
利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率．(2)把“数”“方
程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简
洁．
(1)F 是抛物线 y2＝2x 的焦点，A，B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则
线段 AB 的中点到 y 轴的距离为____________．
(2)已知点 P 是抛物线 y2＝4x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标是(4，
a)，则当|a|＞4 时，|PA|＋|PM|的最小值是____________．
(3)(2016·浙江模拟)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，
B，交其准线于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝ 3x
解：(1)过 A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为 D，E，由|AF|＋|BF|＝6 及抛物线的定
义知|AD|＋|BE|＝6，所以线段 AB 的中点到准线的距离为1
2
(|AD|＋|BE|)＝3.又抛物线的准
线为 x＝－1
2
，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为5
2
.故填5
2
.
(2)将 x＝4 代入抛物线方程 y2＝4x，得 y＝±4，因为|a|＞4，所以 A 在抛物线的外部，
如图．
由题意知 F(1，0)，抛物线上点 P 到准线 l：x＝－1 的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋
|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当 A，P，F 三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此
时|PA|＋|PM|也最小，所以最小值为|AF|－1＝ 9＋a2－1. 故填 9＋a2－1.
(3)如图，分别过 A，B 两点作 AE，BD⊥准线于点 E，D.因为|BC|＝2|BF|，所以由抛物
线的定义可知∠BCD＝30°，
且|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6.
即 F 为 AC 的中点，
所以 p＝1
2
|AE|＝3
2
，故抛物线方程为 y2＝3x.故选 C.
类型二 抛物线焦点弦的性质
如图，AB 为过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，点 A，B 在抛物线准线上的射
影分别为 A1，B1，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p；
(2)x1x2＝p2
4
，y1y2＝－p2；
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；
(4) 1
|AF|
＋ 1
|BF|
＝2
p
.
证明：(1)由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝x1＋x2＋p.
(2)当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x＝p
2
，x1x2＝p2
4
，y1y2＝－ 2px1· 2px2
＝－p2；
当直线 AB 的斜率存在时，
设直线 AB 的方程为 y＝k
x－p
2 ，
联立抛物线方程，消 x 得 y2－2p
k
y－p2＝0，
所以 y1y2＝－p2，x1x2＝y2
1
2p
·y2
2
2p
＝p2
4
.
(3)设 AB 的中点为 M，M 到准线的距离为 d，
则 d＝|AA1|＋|BB1|
2
＝|AF|＋|BF|
2
＝|AB|
2 ，所以以 AB 为直径的圆与准线相切．
(4)当直线 AB 的斜率不存在时， 1
|AF|
＋ 1
|BF|
＝ 1
|AA1|
＋ 1
|BB1|
＝
1
x1＋p
2
＋
1
x2＋p
2
＝1
p
＋1
p
＝2
p
；
当直线 AB 的斜率存在时，因为 x1＋x2＝
y1
k
＋p
2 ＋
y2
k
＋p
2 ＝y1＋y2
k
＋p＝2p
k2 ＋p，x1x2＝p2
4
，所
以 1
|AF|
＋ 1
|BF|
＝ 1
|AA1|
＋ 1
|BB1|
＝
1
x1＋p
2
＋
1
x2＋p
2
＝
x1＋x2＋p
x1x2＋p
2
（x1＋x2）＋p2
4
＝
2p
k2 ＋2p
p2＋p2
k2
＝2
p
.
点拨：
本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质
(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线 x2＝2py，性质(1)应为|AB|＝y1
＋y2＋p，性质(2)应为 x1x2＝－p2，y1y2＝p2
4
，其余情况可自行推导．本题与变式 2 分别从数
与形的角度描述了抛物线的某些性质．
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)若点 A，B 在准线上的射影分别为 M，N，则∠MFN＝90°；
(2)取 MN 的中点 R，则∠ARB＝90°；
(3)以 MN 为直径的圆必与直线 AB 相切于点 F；
(4)若经过点 A 和抛物线顶点 O 的直线交准线于点 Q，则 BQ 平行于抛物线的对称轴．
证明：(1)由抛物线的定义知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，所以∠AMF＝∠AFM，∠BNF＝
∠BFN.
因为 AM∥x 轴，BN∥x 轴，
所以∠AMF＝∠KFM，∠BNF＝∠KFN.
所以∠MFN＝∠KFM＋∠KFN
＝1
2
(∠KFA＋∠KFB)
＝90°.
(2)证法一：取 P 为 AB 的中点，连接 PR，有|PR|＝1
2
(|MA|＋|NB|)＝1
2
|AB|，则∠ARB＝
90°.
证法二：易知 R
－p
2
，y1＋y2
2 ，则RA→＝
x1＋p
2
，y1－y2
2 ，RB→＝
x2＋p
2
，y2－y1
2 ，
因为RA→·RB→＝
x1＋p
2
x2＋p
2 －1
4
(y1－y2)2
＝x1x2＋p
2
(x1＋x2)＋p2
4
－1
4
(y2
1＋y2
2)＋1
2
y1y2＝0，
所以∠ARB＝90°.
(3)因为∠MFN＝90°，所以 F 在以 MN 为直径的圆上．
因为|AF|＝|AM|，|MR|＝|FR|，
所以∠MFA＝∠AMF，∠MFR＝∠FMR.
所以∠AFR＝∠MFA＋∠MFR＝∠AMF＋∠FMR＝90°，即 RF⊥AB，F 为垂足．
因此，以 MN 为直径的圆必与直线 AB 相切于点 F.
(4)易知直线 AO 的方程为 y＝y1
x1
x，则 Q
－p
2
，－py1
2x1 .因为 y1y2＝－p2，
所以－py1
2x1
＝－p
2
·
y1
y2
1
2p
＝－p2
y1
＝y2，
于是 Q
－p
2
，y2 与点 N 重合．因此，BQ 平行于 x 轴，即 BQ 平行于抛物线的对称轴．
1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．
2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，
为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为 y2＝mx 或 x2＝ny(m≠0，n≠0)．若 m
＞0，开口向右；若 m＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对 n＞0
与 n＜0，有类似的讨论．
3．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因
此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑
利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．
4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦
点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
5．抛物线的几个常用结论
(1)抛物线上的点 P(x0，y0)与焦点 F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作 r
＝|PF|.
①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋p
2
；
②y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋p
2
；
③x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋p
2
；
④x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋p
2
.
(2)若 AB 为抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
弦中点 M(x0，y0)，|AB|＝l.则：
①x1x2＝p2
4
；
②y1y2＝－p2；
③弦长 l＝x1＋x2＋p，因 x1＋x2≥2 x1x2＝p，故当 x1＝x2 时，l 取得最小值，最小值为
2p，此时弦 AB 垂直于 x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦
叫做抛物线的通径)．
1．(2016·河北唐山一模)已知抛物线的焦点 F(a，0)(a<0)，则抛物线的标准方程为
( )
A．y2＝2ax B．y2＝4ax
C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax
解：由题意可令抛物线的标准方程为 y2＝ －2px(p>0)，由－p
2
＝a 可知 p＝－2a，则抛
物线的标准方程为 y2＝4ax.故选 B.
2．(2016·东北三省三校一联)点 M(1，1)到抛物线 y＝ax2 准线的距离为 2，则 a 的值
为( )
A.1
4
B．－ 1
12
C.1
4
或－ 1
12
D．－1
4
或 1
12
解：抛物线 y＝ax2 的准线方程为 y＝－ 1
4a
，依题意有|1＋ 1
4a|＝2，解得 a＝1
4
或 a＝－ 1
12
.
故选 C.
3．(2016·西安模拟)过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)
两点，如果 x1＋x2＝6，那么|AB|＝( )
A．10 B．8 C．6 D．4
解：由 2p＝4 得 p＝2，根据焦点弦公式 |AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选 B.
4．(2016·运城期末)已知抛物线 x2＝ay 与直线 y＝2x－2 相交于 M，N 两点，若 MN 中
点的横坐标为 3，则此抛物线的方程为( )
A．x2＝3
2
y B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
解：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
x2＝ay，
y＝2x－2
消去 y 得 x2－2ax＋2a＝0，
所以x1＋x2
2
＝2a
2
＝3，即 a＝3，
因此所求的抛物线的方程为 x2＝3y.故选 D.
5．(2016·大连模拟)设 F 为抛物线 y2＝6x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点．若FA→＋
FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝( )
A．4 B．6 C．9 D．12
解：由题意得抛物线的焦点为 F
3
2
，0
，准线方程为 x＝－3
2
.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
C(x3，y3)，因为FA→＋FB→＋FC→＝0，所以点 F 是△ABC 的重心，即 x1＋x2＋x3＝9
2
.由抛物线的定
义可得|FA|＝x1＋3
2
，|FB|＝x2＋3
2
，|FC|＝x3＋3
2
，
所以|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1＋3
2
＋x2＋3
2
＋ x3＋3
2
＝9.故选 C.
6．(2015·浙江)如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同
的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是
( )
A.|BF|－1
|AF|－1
B.|BF|2－1
|AF|2－1
C.|BF|＋1
|AF|＋1
D.|BF|2＋1
|AF|2＋1
解：如图所示，
抛物线的准线 DE 的方程为 x＝－1，过 A，B 分别作 AE⊥DE 于点 E，交 y 轴于点 N，BD
⊥DE 于点 D，交 y 轴于点 M，由抛物线的定义知 |BF|＝|BD|，|AF|＝|AE|，则|BM|＝|BD|
－ 1＝|BF|－1，|AN|＝|AE|－1＝|AF|－1，则S△BCF
S△ACF
＝|BC|
|AC|
＝|BM|
|AN|
＝|BF|－1
|AF|－1
.故选 A.
7．(2016·贵州模拟)过抛物线 y2＝4x 的焦点作倾斜角为 45°的直线 l 交抛物线于 A，
B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为____________．
解：由题意知，抛物线焦点的坐标为(1，0)，直线 l 的方程为 y＝x－1，与抛物线方程
联立
y＝x－1，
y2＝4x
消去 x 得 y2－4y－4＝0，设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＋
y2＝4， y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝ （y1＋y2）2－4y1y2＝4 2，则 S△OAB＝1
2
×1×|y1
－y2|＝2 2.故填 2 2.
8．(2016·河南模拟)已知 F1，F2 分别是双曲线 3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P 是
抛物线 y2 ＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|＋ |PF2|＝12，则抛物线的准线方程为
__________．
解：将双曲线方程化为标准方程得x2
a2－ y2
3a2＝1，则其焦点坐标为(±2a，0)，且(2a，0)
与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程
3x2－y2＝3a2，
y2＝8ax，
解得 x＝3a(负值舍去)，即
P 点横坐标为 3a，而由
|PF1|＋|PF2|＝12，
|PF1|－|PF2|＝2a
得|PF2|＝6－a，则|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得
a＝1，所以抛物线的方程为 y2＝8x，其准线方程为 x＝ －2.故填 x＝－2.
9．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点 F(0，1)的距离比它到直线 y＝－3 的距离小 2，
求曲线Γ的方程．
解法一：设 S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
依题意，点 S 到 F(0，1)的距离与它到直线 y＝－1 的距离相等，所以曲线Γ是以点 F(0，
1)为焦点，直线 y＝－1 为准线的抛物线，其方程为 x2＝4y.
解法二：设 S(x，y)为曲线Γ上任意一点，则|y－(－3)|－ （x－0）2＋（y－1）2＝2，
依题意，点 S(x，y)只能在直线 y＝－3 的上方，所以 y>－3.
所以 （x－0）2＋（y－1）2＝y＋1，化简得曲线Γ的方程为 x2＝4y.
10．(2014·全国)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点为
P，与 C 的交点为 Q，且|QF|＝5
4
|PQ|，求 C 的方程．
解：设 Q(x0，4)，代入 y2＝2px 得 x0＝8
p
，
所以|PQ|＝8
p
，所以|QF|＝x0＋p
2
＝8
p
＋p
2
.
又因为|QF|＝5
4
|PQ|，
所以8
p
＋p
2
＝5
4
·8
p
，解得 p＝2(舍去负值)．
所以 C 的方程为 y2＝4x.
11．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x－y－2＝0，抛物线
C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；
(2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.
①求证：线段 PQ 的中点坐标为(2－p，－p)；
②求 p 的取值范围．
解：(1)抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为
p
2
，0
，
由点
p
2
，0
在直线 l：x－y－2＝0 上，得p
2
－0－2＝0，即 p＝4.
所以抛物线 C 的方程为 y2＝8x.
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段 PQ 的中点 M(x0，y0)．
因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，
于是直线 PQ 的斜率为－1，则可设其方程为 y＝－x＋b.
①证明：由
y2＝2px，
y＝－x＋b
消去 x 得 y2＋2py－2pb＝0.(*)
因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 y1≠y2，
从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得 p＋2b>0.
方程(*)的两根为 y1，2＝－p± p2＋2pb，从而 y0＝y1＋y2
2
＝－p.
因为 M(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0＝2－p.
因此，线段 PQ 的中点坐标为(2－p，－p)．
②因为 M(2－p，－p)在直线 y＝－x＋b 上，所以－p＝－(2－p)＋b，即 b＝2－2p.
由①知 p＋2b>0，于是 p＋2(2－2p)>0，所以 p<4
3
.
因此，p 的取值范围是
0，4
3 .
(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线
l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点．
(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
解：由题知 F
1
2
，0
.设 l1：y＝a，l2：y＝b，则 ab≠0，且 A
a2
2
，a
，B
b2
2
，b
，P
－1
2
，a
，
Q
－1
2
，b
，R
－1
2
，a＋b
2 .
记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1＋ab＝0.记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，
则 k1＝a－b
1＋a2＝ a－b
a2－ab
＝1
a
＝－ab
a
＝－b＝k2.
所以 AR∥FQ.
(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1，0)，
则 S△ABF＝1
2
|b－a|·|FD|
＝1
2
|b－a||x1－1
2|，S△PQF＝|a－b|
2
.
由题设可得|b－a||x1－1
2|＝|a－b|
2
，所以 x1＝0(舍去)或 x1＝1.
设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)．
当 AB 与 x 轴不垂直时，
由 kAB＝kDE 可得 2
a＋b
＝ y
x－1
(x≠1)．
而a＋b
2
＝y，所以 y2＝x－1(x≠1)．
当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合．
所以，所求轨迹方程为 y2＝x－1.
9．9 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______
公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，
直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：
设直线 l：Ax＋By＋C＝0 与二次曲线 C：f(x，y)＝0，
由
Ax＋By＋C＝0，
f（x，y）＝0
消元，如果消去 y 后得：ax2＋bx＋c＝0，
(1)当 a≠0 时，
①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线
________；
②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线
________；
③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________．
(2)注意消元后非二次的情况，即当 a＝0 时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．
当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线
是抛物线时，直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．
(3)直线方程涉及斜率 k 要考虑其不存在的情形．
2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题
(1)直线 l：y＝kx＋m 与二次曲线 C：f(x，y)＝0 交于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，
y2)，由
y＝kx＋m，
f（x，y）＝0
得 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则 x1＋x2＝________，x1x2＝________，
|AB|＝________________________．
(2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算．
3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次
方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．
(2)点差法：若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A，B，一般地，首先设出 A(x1，y1)，B(x2，
y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出 x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标
和斜率的关系．
无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．
自查自纠：
1．无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离
(2)平行或重合 平行或重合
2．(1)－b
a
c
a
1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 b2－4ac
|a|
(2016·山西模拟)过抛物线 y2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它
们的横坐标之和等于 2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
解：因为垂直于 x 轴且过焦点的弦长为 2p＝2，令 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1
＋x2＋p，所以|AB|＝3>2p，故这样的直线有且只有两条．故选 B.
椭圆x2
4
＋y2
3
＝1 的离心率为 e，点(1，e)是圆 x2＋y2－4x－4y＋4＝0 的一条弦的中点，
则此弦所在直线的方程是( )
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
解：依题意得 e＝1
2
，圆心坐标为(2，2)，圆心(2，2)与点
1，1
2 的连线的斜率为
2－1
2
2－1
＝
3
2
，故所求直线的斜率为－2
3
，所以所求直线的方程是 y－1
2
＝－2
3
(x－1)，即 4x＋6y－7＝0.
故选 B.
直线 l 过抛物线 y2＝8x 的焦点，且与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则( )
A．y1y2＝－64 B．y1y2＝－8
C．x1x2＝4 D．x1x2＝16
解：由题意知抛物线的焦点为 F(2，0)，设直线 l 的方程为 my＝x－2，联立
x＝my＋2，
y2＝8x
得 y2－8my－16＝0，又 A，B 为直线 l 与抛物线的交点，故 y1y2＝－16，则 x1x2＝y2
1y2
2
64
＝162
64
＝
4.故选 C.
已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，F( 2，0)为其右焦点，过点 F 且垂直于 x 轴的直
线与椭圆相交所得的弦长为 2，则椭圆 C 的方程为____________．
解：由题意得
c＝ 2，
b2
a
＝1，
a2＝b2＋c2，
解得
a＝2，
b＝ 2，
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
2
＝1.故填x2
4
＋y2
2
＝1.
已知点 A(－ 2，0)，点 B( 2，0)，且动点 P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点 P 的轨
迹与直线 y＝k(x－2)有两个交点的充要条件为 k∈____________．
解：由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支，且 2a＝2，c＝ 2，则 b＝ c2－a2＝1，
所以点 P 的轨迹方程为 x2－y2＝1(x>0)，其渐近线方程为 y＝±x.若点 P 的轨迹与直线 y＝
k(x－2)有两个交点，则 k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故填(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
类型一 弦的中点问题
(1)已知一直线与椭圆 4x2＋9y2＝36 相交于 A，B 两点，弦 AB 的中点坐标为 M(1，
1)，则直线 AB 的方程为_____________________．
解法一：根据题意，易知直线 AB 的斜率存在，设通过点 M(1，1)的直线 AB 的方程为 y
＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
设 A，B 的横坐标分别为 x1，x2，
则x1＋x2
2
＝－9k（1－k）
9k2＋4
＝1，解之得 k＝－4
9
.
故直线 AB 的方程为 y＝－4
9
(x－1)＋1，即 4x＋9y－13＝0.
解法二：设 A(x1，y1)．
因为 AB 中点为 M(1，1)，所以 B 点坐标是(2－x1，2－y1)．
将 A，B 点的坐标代入方程 4x2＋9y2＝36，得
4x2
1＋9y2
1－36＝0，①
及 4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，
化简为 4x2
1＋9y2
1－16x1－36y1＋16＝0.②
①－②，得 16x1＋36y1－52＝0，
化简为 4x1＋9y1－13＝0.
同理可推出 4(2－x1)＋9(2－y1)－13＝0.
因为 A(x1，y1)与 B(2－x1，2－y1)都满足方程 4x＋9y－13＝0，
所以 4x＋9y－13＝0 即为所求．
解法三：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得
4x2
1＋9y2
1＝36， ①
4x2
2＋9y2
2＝36， ②
①－②，
得 4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为 M(1，1)为弦的中点，所以 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
所以 4(x1－x2)＋9(y1－y2)＝0.
所以 kAB＝y1－y2
x1－x2
＝－4
9
.
故 AB 方程为 y－1＝－4
9
(x－1)，
即 4x＋9y－13＝0.故填 4x＋9y－13＝0.
(2)设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过点 P(－1，0)的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，
点 Q 为线段 AB 的中点．若|FQ|＝2 3，则直线 l 的斜率等于________．
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，联立
y＝k（x＋1），
y2＝4x，
得 k2x2
＋ (2k2－4)x＋k2＝0，由
k≠0，
Δ＝（2k2－4）2－4k4>0，
解得 k∈(－1，0)∪(0，1)，x1＋x2＝－
2k2－4
k2 ＝－2＋4
k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝4
k
，设 Q(x0，y0)，则 x0＝x1＋x2
2
＝－1＋2
k2，y0＝y1＋y2
2
＝2
k
，即 Q
－1＋2
k2，2
k ，又 F(1，0)，
所以|FQ|＝
－1＋2
k2－1 2
＋
2
k
2
＝2 3，解得 k＝± 2
2
.故填± 2
2
.
点拨：
(1)本题的三种解法很经典，各有特色，解法一思路直接，但计算量大，解法三计算简
捷，所列式子“整齐、美观，对称性强”，但消去 x1，x2，y1，y2 时，要求灵活性高，整体意
识强．(2)本题易错点：缺少对“直线与抛物线相交于 A，B 两点”这一几何条件的检验，即
k≠0，
Δ＝（2k2－4）2－4k4>0，
解得 k∈(－1，0)∪(0，1)．
(1)(2014·江西)过点 M(1，1)作斜率为－1
2
的直线与椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)
相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于____________．
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2
1
a2＋y2
1
b2＝1，x2
2
a2＋y2
2
b2＝1，
两式相减得（x1－x2）（x1＋x2）
a2 ＋（y1－y2）（y1＋y2）
b2 ＝0，
变形得－b2（x1＋x2）
a2（y1＋y2）
＝y1－y2
x1－x2
，
即－2b2
2a2＝－1
2
，
a2＝2b2，e＝c
a
＝ 1－
b
a
2
＝ 2
2
.故填 2
2
.
(2)已知双曲线 x2－y2
3
＝1 上存在两点 M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，且 MN 的中点在抛物
线 y2＝18x 上，则实数 m 的值为____________．
解：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0，y0)，则
x2
1－y2
1
3
＝1，①
x2
2－y2
2
3
＝1，②
x1＋x2＝2x0，③
y1＋y2＝2y0，④
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝1
3
(y2－y1)(y2＋y1)，
显然 x1≠x2.
所以y2－y1
x2－x1
·y2＋y1
x2＋x1
＝3，即 kMN·y0
x0
＝3.
因为 M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，
所以 kMN＝－1，所以 y0＝－3x0.
又因为 y0＝x0＋m，所以 P
－m
4
，3m
4 ，
代入抛物线方程得 9
16
m2＝18·
－m
4 ，
解得 m＝0 或－8，经检验都符合．故填 0 或－8.
类型二 定点问题
(2014·山东改编)已知抛物线 C： y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原
点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|＝|FD|.
当点 A 的横坐标为 3 时，△ADF 为正三角形．
(1)求 C 的方程；
(2)若直线 l1∥l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，证明直线 AE 过定点，并求出定点
坐标．
解：(1)由题意知 F
p
2
，0
，
设 D(t，0)(t>0)，则 FD 的中点坐标为
p＋2t
4
，0
，
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知 3＋p
2
＝|t－p
2|，
解得 t＝3＋p 或 t＝－3(舍去)．
依题意有p＋2t
4
＝3，将 t＝3＋p 代入上式解得 p＝2.
所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
(2)由(1)知 F(1，0)，
设 A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)，
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由 xD>0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)，
则直线 AB 的斜率为 kAB＝－y0
2
.
因为直线 l1 和直线 AB 平行，
所以可设直线 l1 的方程为 y＝－y0
2
x＋b，
代入抛物线方程得 y2＋8
y0
y－8b
y0
＝0，
由题意得Δ＝64
y2
0
＋32b
y0
＝0，得 b＝－2
y0
.
设 E(xE，yE)，则 yE＝－4
y0
，xE＝4
y2
0
.
当 y2
0≠4 时，kAE＝yE－y0
xE－x0
＝－
4
y0
＋y0
4
y2
0
－y2
0
4
＝ 4y0
y2
0－4
，
可得直线 AE 的方程为 y－y0＝ 4y0
y2
0－4
(x－x0)，
由 y2
0＝4x0，整理可得 y＝ 4y0
y2
0－4
(x－1)，
即直线 AE 恒过点 F(1，0)．
当 y2
0＝4 时，直线 AE 的方程为 x＝1，过点 F(1，0)．
综上所述，直线 AE 过定点 F(1，0)．
点拨：
(1)根据已知条件，建立关于 p 的方程；(2)通过假设相关点的坐标，利用函数与方程思
想及点的坐标关系，按照“设而不求”的原则计算或化简．
如图所示，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x2＝
2py(p>0)上．
(1)求抛物线 E 的方程；
(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y＝－1 相交于点 Q，求证：以 PQ 为直径
的圆恒过 y 轴上某定点．
解：(1)依题意，
得|OB|＝8 3，∠BOy＝30°.
设 B(x，y)，则 x＝|OB|sin30°＝4 3，y＝|OB|cos30°＝12.
因为点 B(4 3，12)在 x2＝2py(p>0)上，
所以(4 3)2＝2p×12，
解得 p＝2.所以抛物线 E 的方程为 x2＝4y.
(2)证法一：由(1)知 y＝1
4
x2，y′＝1
2
x.
设 P(x0，y0)，则 x0≠0，且 l 的方程为
y－y0＝1
2
x0(x－x0)，即 y＝1
2
x0x－1
4
x2
0.
由
y＝1
2
x0x－1
4
x2
0，
y＝－1，
得
x＝x2
0－4
2x0
，
y＝－1，
所以 Q
x2
0－4
2x0
，－1
.
设 M(0，y1)，令MP→·MQ→＝0 对满足 y0＝ 1
4
x2
0(x0≠0)的点(x0，y0)恒成立．
由于MP→＝(x0，y0－y1)，MQ→＝
x2
0－4
2x0
，－1－y1 ，
由MP→·MQ→＝0，得x2
0－4
2
－y0－y0y1＋y1＋y2
1＝0，即(y2
1＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)
由于(*)式对满足 y0＝1
4
x2
0(x0≠0)的 y0 恒成立，所以
1－y1＝0，
y2
1＋y1－2＝0，
解得 y1＝1.
故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0，1)．
证法二：由(1)知 y＝1
4
x2，y′＝1
2
x.
设 P(x0，y0)，则 x0≠0，
且 l 的方程为 y－y0＝1
2
x0(x－x0)，
即 y＝1
2
x0x－1
4
x2
0.
由
y＝1
2
x0x－1
4
x2
0，
y＝－1，
得
x＝x2
0－4
2x0
，
y＝－1，
所以 Q
x2
0－4
2x0
，－1
.
取 x0＝2，此时 P(2，1)，Q(0，－1)，以 PQ 为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交 y 轴于点
M1(0，1)，M2(0，－1)；
取 x0＝1，此时 P
1，1
4 ，Q
－3
2
，－1
，以 PQ 为直径的圆为
x＋1
4
2
＋
y＋3
8
2
＝125
64
，交
y 轴于 M3(0，1)，M4
0，－7
4 .
故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0，1)．
以下证明点 M(0，1)就是所要求的点．
因为MP→＝(x0，y0－1)，MQ→＝
x2
0－4
2x0
，－2
，MP→·MQ→＝x2
0－4
2
－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0，
所以以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0，1)．
类型三 定值问题
(2014·江西)如图，已知抛物线 C：x2＝4y，过点 M(0，2)任作一直线与 C 相交
于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)．
(1)证明：动点 D 在定直线上；
(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y＝2 相交于点 N1，与(1)中的定直线相
交于点 N2.证明：|MN2|2－|MN1|2 为定值，并求此定值．
证明：(1)依题意可设 AB 方程为 y＝kx＋2，代入 x2＝4y，得 x2＝4(kx＋2)，即 x2－4kx
－8＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x2＝－8，
直线 AO 的方程为 y＝y1
x1
x，BD 的方程为 x＝x2，解得交点 D 的坐标为
x＝x2，
y＝y1x2
x1
.
注意到x1x2＝－8 及 x2
1＝4y1，则有 y＝y1x1x2
x2
1
＝－8y1
4y1
＝－2.因此 D 点在定直线 y＝－2(x≠0)
上．
(2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 y＝ax＋b(a≠0)，代入
x2＝4y 得 x2＝4(ax＋b)，即 x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0 得 16a2＋16b＝0，化简整理得 b＝－
a2.
故切线 l 的方程可写为 y＝ax－a2.
分别令 y＝2，y＝－2 得 N1，N2 的坐标为
N1
2
a
＋a，2
，N2
－2
a
＋a，－2
，
则|MN2|2－|MN1|2＝
－2
a
＋a 2
＋42－
2
a
＋a 2
＝8，即|MN2|2－|MN1|2 为定值 8.
点拨：
求解此类问题的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定
点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从
而得到定点、定值、定线．应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整
体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．
(2016·北京)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 3
2
，A(a，0)，B(0，
b)，O(0，0)，△OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：
|AN|·|BM|为定值．
解：(1)由题意得
c
a
＝ 3
2
，
1
2
ab＝1，
a2＝b2＋c2，
解得 a＝2，b＝1.
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)，
设 P(x0，y0)，则 x2
0＋4y2
0＝4.
当 x0≠0 时，直线 PA 的方程为 y＝ y0
x0－2
(x－2)．令 x＝0，得 yM＝－ 2y0
x0－2
，从而|BM|＝
|1－yM|＝|1＋ 2y0
x0－2|.
直线 PB 的方程为 y＝y0－1
x0
x＋1.
令 y＝0，得 xN＝－ x0
y0－1
，从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋ x0
y0－1|.
所以|AN|·|BM|＝|2＋ x0
y0－1|·|1＋ 2y0
x0－2|
＝|x2
0＋4y2
0＋4x0y0－4x0－8y0＋4
x0y0－x0－2y0＋2 |
＝|4x0y0－4x0－8y0＋8
x0y0－x0－2y0＋2 |＝4.
当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．
类型四 与弦有关的范围与最值问题
(2015·浙江)已知椭圆x2
2
＋y2＝1 上两个不同的点 A，B 关于直线 y＝mx＋1
2
对称．
(1)求实数 m 的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
解：(1)由题意知 m≠0，可设直线 AB 的方程为
y＝－1
m
x＋b.
由
x2
2
＋y2＝1，
y＝－1
m
x＋b，
消去 y，得
1
2
＋1
m2 x2－2b
m
x＋b2－1＝0.
因为直线 y＝－1
m
x＋b 与椭圆x2
2
＋y2＝1 有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋4
m2>0.①
将 AB 的中点 M
2mb
m2＋2
， m2b
m2＋2 的坐标代入直线方程
y＝mx＋1
2
，解得 b＝－m2＋2
2m2 .②
由①②得3m4＋4m2－4
2m4 >0，
即 3m4＋4m2－4>0 也即(3m2－2)(m2＋2)>0，解得 m<－ 6
3
或 m> 6
3
.
(2)令 t＝1
m
∈
－ 6
2
，0
∪
0， 6
2 ，则
|AB|＝ t2＋1·
－2t4＋2t2＋3
2
t2＋1
2
，
且 O 到直线 AB 的距离 d＝
t2＋1
2
t2＋1
.
设△AOB 的面积为 S(t)，则
S(t)＝1
2
|AB|·d＝1
2
－2
t2－1
2
2
＋2≤ 2
2
，当且仅当 t2＝1
2
时，等号成立．
故△AOB 面积的最大值为 2
2
.
点拨：
(1)圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通
过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最
值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．(2)
解决圆锥曲线中的取值范围问题常从五方面考虑：①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造
不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问
题的核心是建立两个参数之间的等量关系；③利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参
数的取值范围；④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；⑤利用求函
数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2016·天津)设椭圆x2
a2＋y2
3
＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1
|OF|
＋
1
|OA|
＝ 3e
|FA|
，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，
与 y 轴交于点 H.若 BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线 l 的斜率的取值范围．
解：(1)设 F(c，0)，由 1
|OF|
＋ 1
|OA|
＝ 3e
|FA|
，即1
c
＋1
a
＝ 3c
a（a－c）
，可得 a2－c2＝3c2，又
a2－ c2＝b2＝3，所以 c2＝1，因此 a2＝4，所以椭圆的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)设直线 l 的斜率为 k(k≠0)，则直线 l 的方程为 y＝k(x－2)．设 B(xB，yB)，由方程
组
x2
4
＋y2
3
＝1，
y＝k（x－2）
消去 y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得 x＝2 或 x＝8k2－6
4k2＋3
，由题意得 xB＝8k2－6
4k2＋3
，从而 yB＝－12k
4k2＋3
.
由(1)知 F(1，0)，设 H(0，yH)，则有FH→＝(－1，yH)，BF→＝
9－4k2
4k2＋3
， 12k
4k2＋3 .由BF→⊥HF→，
得BF→·FH→＝0，所以4k2－9
4k2＋3
＋ 12kyH
4k2＋3
＝0，解得 yH＝9－4k2
12k
.因此直线 MH 的方程为 y＝－1
k
x
＋9－4k2
12k
.
设 M(xM，yM)，由方程组
y＝－1
k
x＋9－4k2
12k
，
y＝k（x－2）
消去 y，解得 xM＝ 20k2＋9
12（k2＋1）
.在△MAO 中，
∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y2
M≤x2
M＋y2
M，化简得 xM≥1，即 20k2＋9
12（k2＋1）
≥1，解
得 k≤－ 6
4
或 k≥ 6
4
.
所以，直线 l 的斜率的取值范围为
－∞，－ 6
4 ∪
6
4
，＋∞
.
类型五 对称问题
已知抛物线 y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线 x＋y＝0 对称的相异两点，则 a
的取值范围是____________．
解：设 A(x1，y1)和 B(x2，y2)为抛物线 y＝ ax2－1 上的关于直线 x＋y＝0 对称的两相
异点，则 y1＝ax2
1－1，y2＝ax2
2－1.
两式相减，得 y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2)．
再由 x1≠x2，得y1－y2
x1－x2
＝a(x1＋x2)＝1.
设线段 AB 的中点为 M(x0，y0)，
则 x0＝x1＋x2
2
＝ 1
2a
.
由 M 点在直线 x＋y＝0 上，得 y0＝－ 1
2a
.
所以直线 AB 的方程为 y＋ 1
2a
＝x－ 1
2a
.
联立直线 AB 与抛物线的方程并消去 y，得
ax2－x＋1
a
－1＝0.
依题意，上面的方程有两个相异实根，
所以Δ＝1－4a
1
a
－1
＞0，解得 a＞3
4
.
所以 a 的取值范围是
3
4
，＋∞
.
故填
3
4
，＋∞
.
点拨：
应用判别式法解决此类对称问题，要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的
连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点，故Δ＞0.一般通过“设而不求”“点
差法”得到对称点连线的方程，再与曲线方程联立，由判别式不等式求出参数范围．
已知椭圆x2
2
＋y2＝1 的左焦点为 F，O 为坐标原点．设过点 F 且不与坐标轴垂直
的直线交椭圆于 A，B 两点，点 A 和点 B 关于直线 l 对称，l 与 x 轴交于点 G，则点 G 横坐标
的取值范围是____________．
解：设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入x2
2
＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F 且不垂直于 x 轴，
所以方程有两个不等实根．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 N(x0，y0)，
则 x1＋x2＝－ 4k2
2k2＋1
，
x0＝1
2
(x1＋x2)＝－ 2k2
2k2＋1
，
y0＝k(x0＋1)＝ k
2k2＋1
，
因为点 A 和点 B 关于直线 l 对称，
所以直线 l 为 AB 的垂直平分线，其方程为
y－y0＝－1
k
(x－x0)．
令 y＝0，
得 xG＝x0＋ky0＝－ 2k2
2k2＋1
＋ k2
2k2＋1
＝－ k2
2k2＋1
＝－1
2
＋ 1
4k2＋2
，
因为 k≠0，所以－1
2
＜xG＜0，
即点 G 横坐标的取值范围为
－1
2
，0
.故填
－1
2
，0
.
1．对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；
②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜
率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”“整体代入”“点差法”“对称转
换”等方法．
2．在给定的圆锥曲线 f(x，y)＝0 中，求中点为(m，n)的弦 AB 所在直线方程或动弦中
点 M(x，y)轨迹时，一般可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用 A，B 两点在曲线上，得 f(x1，y1)
＝0，f(x2，y2)＝0 及 x1＋x2＝2m(或 2x)，y1＋y2＝2n(或 2y)，从而求出斜率 kAB＝y1－y2
x1－x2
，最
后由点斜式写出直线 AB 的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标 x，y 之间的关系，
整体消去 x1，x2，y1，y2，得到点 M(x，y)的轨迹方程．
3．对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，
利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方
程或方程组．为简化运算，应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再
利用直线或曲线过定点的知识加以解决.
以“求直线 l：y＝kx＋2k＋1(k 为参数)是否过定点”为例，有以下常用方法：
①待定系数法：假设直线 l 过点(c1，c2)，则 y－c2＝k(x－c1)，即 y＝kx－c1k＋c2，通
过与已知直线方程比较得 c1＝－2，c2＝1.所以直线 l 过定点(－2，1)．
②赋值法：令 k＝0，得 l1：y＝1；令 k＝1，得 l2：y＝x＋3，求出 l1 与 l2 的交点(－2，
1)，将交点坐标代入直线系得 1＝－2k＋2k＋1 恒成立，所以直线 l 过定点(－2，1)．
赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其
是否恒满足直线方程．
③参数集项法：对直线 l 的方程中的参数集项得 y－1＝k(x＋2)，由直线的点斜式方程，
易知直线 l 过定点(－2，1)．
若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系．
4．给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳
为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解．
5．圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与
已知直线 l(或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线 l 上，
再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解．
1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解：由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与
椭圆必相交．故选 A.
2．(2016·嘉兴模拟)经过椭圆x2
2
＋y2＝1 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l，交椭圆
于 A，B 两点．设 O 为坐标原点，则OA→·OB→等于( )
A．－3 B．－1
3
C．－1
3
或－3 D．±1
3
解：依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为 y－0＝tan45°(x－1)，
即 y＝ x－1，代入椭圆方程x2
2
＋y2＝1 并整理得 3x2－ 4x＝0，解得 x＝0 或 x＝4
3
，所
以两个交点的坐标分别为(0，－1)，
4
3
，1
3 ，所以OA→·OB→＝－1
3
，同理，直线l 经过椭圆的左焦
点时，也可得OA→·OB→＝－1
3
.故选 B.
3．(2016·台州质检)设斜率为 2
2
的直线 l 与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)交于不同的两点，
且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )
A. 3
3
B.1
2
C. 2
2
D.1
3
解：令直线与椭圆的两个交点 A，B 在 x 轴上的射影分别为左、右焦点 F1(－c，0)，F2(c，
0)，可得 A
－c，－b2
a ，B
c，b2
a ，由直线 l 的斜率为 2
2
，即 kAB＝b2
ac
＝ 2
2
，又 a2＝b2＋c2，
化简得 2e2＋ 2e－2＝0，解得 e＝ 2
2
(负值舍去)．故选 C.
4．已知直线 x＝1 过椭圆x2
4
＋y2
b2＝1 的焦点，则直线 y＝kx＋2 与椭圆至多有一个交点的
充要条件是( )
A．k∈
－1
2
，1
2
B．k∈
－∞，－1
2 ∪
1
2
，＋∞
C．k∈
－ 2
2
， 2
2
D．k∈
－∞，－ 2
2 ∪
2
2
，＋∞
解：易知椭圆中 c2＝a2－b2＝4－b2＝1，即 b2＝3，所以椭圆方程是x2
4
＋y2
3
＝1.联立 y
＝kx＋2 可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.由Δ≤0 可解得 k∈
－1
2
，1
2 .故选 A.
5．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜
率为 3
2
，则a
b
＝( )
A. 3
2
B.2 3
3
C.9 3
2
D.2 3
27
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，结合题意，由点差法得y2－y1
x2－x1
＝－a
b
·x1＋x2
y1＋y2
＝－a
b
·x0
y0
＝－a
b
· 2
3
＝－1，所以a
b
＝ 3
2
.故选 A.
6．(2016·四川)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2＝2px(p>0)上任意一点，
M 是线段 PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( )
A. 3
3
B.2
3
C. 2
2
D．1
解：设 P(2pt2，2pt)，M(x，y)(不妨设 t>0)，易知 F
p
2
，0
，则FP→＝
2pt2－p
2
，2pt
，FM→
＝
x－p
2
，y
，由已知得FM→＝1
3
FP→，则
x－p
2
＝2p
3
t2－p
6
，
y＝2pt
3
，
所以
x＝2p
3
t2＋p
3
，
y＝2pt
3
，
则 kOM＝ y
x
＝ 2t
2t2＋1
＝
1
t＋ 1
2t
≤
1
2 1
2
＝ 2
2
，当且仅当 t＝ 1
2t
，即 t＝ 2
2
时取等号，即(kOM)max＝ 2
2
.故选 C.
7．已知抛物线 y＝ax2 的焦点到准线的距离为 2，则直线 y＝x＋1 截抛物线所得的弦长
等于____________．
解：由题设知 p＝ 1
2a
＝2，所以 a＝1
4
.
则抛物线的方程为 y＝1
4
x2，焦点为 F(0，1)，准线为 y＝－1.
联立
y＝1
4
x2，
y＝x＋1
消去 x，整理得 y2－6y＋1＝0，
令交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，即 y1＋y2＝6，
因为直线过焦点 F，
所以所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋ y2＋1＝8.故填 8.
8．(2016·贵州模拟)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2
4
＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的
最大值为____________．
解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t，代入x2
4
＋y2＝1，消去 y，整理
得 5
4
x2＋2tx＋t2－1＝0，
由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即 t2<5.
由 根 与 系 数 的 关 系 得 x1 ＋ x2 ＝ － 8
5
t ， x1x2 ＝ 4（t2－1）
5
， 则 弦 长 |AB| ＝
（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝4 2× 5－t2
5
≤4 10
5
.故填4 10
5
.
9．(2015·河北省唐山市高三年级统考)已知抛物线 E：x2＝2py(p＞0)，直线 y＝kx＋2
与 E 交于 A，B 两点，且OA→·OB→＝2，其中 O 为原点．
(1)求抛物线 E 的方程；
(2)点 C 坐标为(0，－2)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k2
1＋k2
2－2k2 为定
值．
解：(1)将 y＝kx＋2 代入 x2＝2py，
得 x2－2pkx－4p＝0，
其中Δ＝4p2k2＋16p＞0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p，
OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x2
1
2p
·x2
2
2p
＝－4p＋ 4＝2，得 p＝1
2
，所以抛物线 E 的方程为 x2
＝y.
(2)证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.
k1＝y1＋2
x1
＝x2
1＋2
x1
＝x2
1－x1x2
x1
＝x1－x2，同理 k2＝x2－x1，所以 k2
1＋k2
2－2k2＝2(x1－x2)2
－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16，即 k2
1＋k2
2－2k2 为定值．
10．(2015·西安模拟)设 F1，F2 分别是椭圆x2
4
＋y2＝1 的左、右焦点．
(1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1
→·PF2
→的最大值和最小值；
(2)设过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且∠AOB 为锐角(其中 O 为
坐标原点)，求直线 l 的斜率的取值范围．
解：(1)由已知得，F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设点 P(x，y)，则x2
4
＋y2＝1，且－2≤x≤2.
所以PF1
→·PF2
→＝(－ 3－x，－y)·( 3－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－x2
4
＝3
4
x2－2，
当 x＝0，即 P(0，±1)时，(PF1
→·PF2
→)min＝－2；
当 x＝±2，
即 P(±2，0)时，(PF1
→·PF2
→)max＝1.
(2)由题意可知，过点 M(0，2)的直线 l 的斜率存在．
设 l 的方程为 y＝kx＋2，
由
y＝kx＋2，
x2
4
＋y2＝1 消去 y，化简整理得
(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得 k2>3
4
.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－ 16k
1＋4k2，x1x2＝ 12
1＋4k2，
又∠AOB 为锐角，所以OA→·OB→＞0，
即 x1x2＋y1y2＞0，
有 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)· 12
1＋4k2＋2k·－16k
1＋4k2＋4＞0，解得 k2＜4，
所以3
4
＜k2＜4，即 k∈
－2，－ 3
2 ∪
3
2
，2
.
(2016·四川)已知椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直
角三角形的三个顶点，直线 l：y＝－x＋3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.
(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；
(2)设 O 是坐标原点，直线 l′平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，且与直线 l
交于点 P，证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．
解：(1)由已知得 a＝ 2b，则椭圆 E 的方程为 x2
2b2＋y2
b2＝1.
由方程组
x2
2b2＋y2
b2＝1，
y＝－x＋3，
得 3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得 b2＝3，此时方程①的解为 x＝2，
所以椭圆 E 的方程为x2
6
＋y2
3
＝1，点 T 的坐标为(2，1)．
(2)证明：由已知可设直线 l′的方程为 y＝ 1
2
x＋m(m≠0)，
由方程组
y＝1
2
x＋m，
y＝－x＋3，
可得
x＝2－2m
3
，
y＝1＋2m
3
，
所以 P 点坐标为
2－2m
3
，1＋2m
3 ，|PT|2＝8
9
m2.
设点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组
x2
6
＋y2
3
＝1，
y＝1
2
x＋m，
可得 3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－3 2
2
0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切，
则该双曲线的离心率等于( )
A. 3 B．2 C. 5 D. 6
解：设切点P(x0，y0)，则切线的斜率为
0x xy ＝2x0.由题意有y0
x0
＝2x0，又 y0＝x2
0＋1，解得
x2
0＝1，所以b
a
＝2，则 e＝ 1＋
b
a
2
＝ 5.故选 C.
2．(2016·漳州模拟)已知对 k∈R，直线 y－kx－1＝0 与椭圆x2
5
＋y2
m
＝1 恒有公共点，
则实数 m 的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，5)
C．，那么直线 PA1 斜率的取值范围是( )
A.
1
2
，3
4 B.
3
8
，3
4
C.
1
2
，1
D.
3
4
，1
解法一：由题意知点 P 在第一象限，设 P 点横坐标为 x，则其纵坐标 y＝ 3
2
· 4－x2，
由 PA2 的 斜 率 知 － 2≤
3
2
· 4－x2
x－2
≤ － 1 ， 因 为 2 －x>0 ， 2 ＋ x>0 ，所 以 上 式 可 化 为
1≤ 3
2
· 2＋x
2－x
≤2，即 2
3
≤ 2＋x
2－x
≤ 4
3
.所以 PA1 的斜率 k＝
3
2
· 4－x2
x＋2
＝ 3
2
· 2－x
2＋x
∈
3
8
，3
4 .
解法二：设 P(x0，y0)，则x2
0
4
＋y2
0
3
＝1，可知 x0≠±2，则
1PAk ＝ y0
x0＋2
，
2PAk ＝ y0
x0－2
，
所以
1PAk ·
2PAk ＝ y2
0
x2
0－4
＝－3
4
.因为－2≤
2PAk ≤－1，易得3
8
≤
1PAk ≤3
4
.故选 B.
7．(2016·大连模拟)已知斜率为 2 的直线经过椭圆x2
5
＋y2
4
＝1 的右焦点 F1，与椭圆相交
于 A，B 两点，则弦 AB 的长为____________．
解：由题意知，椭圆的右焦点 F1 的坐标为(1，0)，则直线 AB 的方程为 y＝2(x－1)．
由方程组
y＝2（x－1），
x2
5
＋y2
4
＝1 消去 y，
整理得 3x2－5x＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得 x1＋x2＝5
3
，x1x2＝0.
则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝ （1＋22）
5
3
2
－4×0 ＝5 5
3
.
故填5 5
3
.
8．(2016·武汉模拟)已知直线 x＝t 交抛物线 y2＝4x 于 A，B 两点．若该抛物线上存在
点 C，使得 AC⊥BC，则 t 的取值范围为____________．
解：由题意可知 A(t，2 t)，B(t，－2 t)，设 C(m，2 m)(m≥0)，由 AC⊥BC 得AC→·BC→
＝0，即(m－t)2＋(2 m－2 t)(2 m＋2 t)＝m2＋ (4－2t)m＋t2－4t＝0，解得 m＝t(舍去)
或 m＝ t－4，由 m＝t－4≥0 得 t 的取值范围为
＝k2
2k2－2
2k2＋1
－ 4k2
2k2＋1
＋1
＝ －k2
2k2＋1
，
所以QA→·QB→＝
x1－5
4
，y1 ·
x2－5
4
，y2 ＝ x1x2－5
4
(x1＋x2)＋25
16
＋y1y2＝2k2－2
2k2＋1
－5
4
· 4k2
2k2＋1
＋25
16
＋ －k2
2k2＋1
＝－ 7
16
.
综上所述，在 x 轴上存在点 Q
5
4
，0
，使得QA→·QB→＝－ 7
16
恒成立．
21．(12 分)(2016·武汉模拟)已知 F1，F2 分别为椭圆y2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，
点 P(1，y0)(y0>0)在椭圆上，且 PF2⊥x 轴，△PF1F2 的周长为 6.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)E，F 是曲线 C 上异于点 P 的两个动点，如果直线 PE 与直线 PF 的倾斜角互补，证明：
直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值．
解：(1)由题意可知 F1(－1，0)，F2(1，0)，即 c＝1，
因为△PF1F2 的周长为 6，
所以|PF1|＋|PF2|＋2c＝2a＋2c＝6，
所以 a＝2，则 b＝ a2－c2＝ 3，
所以椭圆的标准方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)证明：由(1)知 P
1，3
2 ，可知两直线斜率均存在，
设直线 PE 的方程为 y＝k(x－1)＋3
2
，
则联立
x2
4
＋y2
3
＝1，
y＝k（x－1）＋3
2
得
(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4
3
2
－k 2
－12＝0，
设 E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点 P
1，3
2 在椭圆上，
所以 xE＝4
3
2
－k 2
－12
3＋4k2 ，yE＝kxE＋3
2
－k，
又直线 PF 的斜率与 PE 的斜率互为相反数，将上式中以－k 代 k，可得
xF＝4
3
2
＋k 2
－12
3＋4k2 ，yF＝－kxF＋3
2
＋k，
所以直线 EF 的斜率 kEF＝yF－yE
xF－xE
＝－k（xF＋xE）＋2k
xF－xE
＝1
2
，
即直线 EF 的斜率为定值，其值为1
2
.
22．(12 分)(2016·南通模拟)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1(－ 2，
0)，F2( 2，0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点 M(1，0)．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，设点 N(3，2)，记直线 AN，BN 的斜率
分别为 k1，k2，问 k1＋k2 是否为定值？并证明你的结论．
解：(1)由已知得 c＝ 2，a2－b2＝2，且 b＝|OM|＝1，解得 a＝ 3，则椭圆 C 的方程为
x2
3
＋y2＝1.
(2)①当直线 l 的斜率不存在时，由
x＝1，
x2
3
＋y2＝1得 x＝1，y＝± 6
3
，设 A
1， 6
3 ，
B
1，－ 6
3 ，则 k1＋k2＝
2－ 6
3
2
＋
2＋ 6
3
2
＝2.
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，将 y＝k(x－1)代入x2
3
＋y2
＝1，化简整理得
(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
依题意，直线 l 与椭圆 C 必相交于两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 6k2
3k2＋1
，
x1x2＝3k2－3
3k2＋1
，
又 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以 k1＋k2＝2－y1
3－x1
＋2－y2
3－x2
＝（2－y1）（3－x2）＋（2－y2）（3－x1）
（3－x1）（3－x2）
＝[2－k（x1－1）]（3－x2）＋[2－k（x2－1）]（3－x1）
9－3（x1＋x2）＋x1x2
＝12－2（x1＋x2）＋k[2x1x2－4（x1＋x2）＋6]
9－3（x1＋x2）＋x1x2
＝
12－2× 6k2
3k2＋1
＋k
2×3k2－3
3k2＋1
－4× 6k2
3k2＋1
＋6
9－3× 6k2
3k2＋1
＋3k2－3
3k2＋1
＝
2
2
12(2 1)
6(2 1)
k
k
＝2.
综上得 k1＋k2 为定值 2.
