2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．98和63的最大公约数是（ ）‎ A．7 B．14 C．21 D．35‎ ‎【答案】A ‎【解析】整理得，，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以98和63的最大公约数是 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两个数的最大公约数求法，属于基础题。‎ ‎2．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解。‎ ‎【详解】‎ 因为点 所以点关于原点对称的点的坐标为：‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了关于原点对称的两点间的关系，属于基础题。‎ ‎3．十进制数2015等值于八进制数为（ ）‎ A．3737（8） B．737（8） C．03737（8） D．7373（8）‎ ‎【答案】A ‎【解析】整理得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为 所以十进制数2015等值于八进制数为：3737.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了十进制数与八进制数的换算，属于基础题。‎ ‎4．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )‎ A．80 B．96 C．108 D．110‎ ‎【答案】C ‎【解析】设高二总人数为人，由总人数及抽样比列方程组求解即可。‎ ‎【详解】‎ 设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人 则高三总人数为个，‎ 由题可得：，解得：.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题。‎ ‎5．已知直线与垂直，则实数m的值为（ ）‎ A．2或4 B．1或4 C．1或2 D．-6或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由两直线垂直时对应方程系数间的关系列方程即可得解。‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：‎ 解得：或 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两直线垂直时对应方程系数间的关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题。‎ ‎6． 化为弧度是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】.‎ 故选B.‎ ‎7．某程序框图如图所示，若输出的 ，则判断框内应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：程序在运行过程中各变量值变换如下表：第一循环：；第二循环：；第三循环：；第四循环：；第五循环：；第六循环：，此时推出循环的条件应为，故选B.‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了循环结构的程序框图，其中算法是新课标的新增内容，也是必然是高考的一个热点，应高度重视，程序框图的天空也是重要的考试题型，这种考试的重点有：（1）条件分支结构，（2）循环结构的程序框图，（3）变量的赋值，（4）变量的输出等类型，其中前两点是考查的中点此种题型易忽略点是：不能准确理解程序运行的含义而导致错误.‎ ‎8．过点 ，且与直线垂直的直线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为的斜率为，所以过点，且与直线垂直的直线的斜率为，因此过点，且与直线垂直的直线的方程为 既是,故选A.‎ ‎【考点】1、直线垂直的性质；2、点斜式求直线方程.‎ ‎9．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为(　　)‎ A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红球、黑球各一个 ‎【答案】D ‎【解析】从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：‎ ‎2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，‎ 所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；‎ 至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；‎ 至少有一个白球，没有白球互斥且对立；‎ 至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，‎ 故选：D ‎10．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由样本的平均值为1列方程即可求得：，再利用样本的标准差公式计算即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：，解得：‎ 所以样本的标准差为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平均数的计算公式及方程思想，考查了样本标准差的计算，属于基础题。‎ ‎11．若角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可得：，求出点到原点的距离为：，再利用三角函数的定义列方程求解。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 所以点到原点的距离为：‎ 所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了特殊角的三角函数值，还考查了三角函数的定义，属于基础题。‎ ‎12．已知圆心在直线上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为 ，则圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆心在直线上，圆心到轴的距离恰好等于圆的半径，圆在轴上截得的弦长为分别列方程即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：，‎ 解得：‎ 所以所求圆的方程为 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了方程思想及圆的性质，还考查了圆的弦长计算，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎13．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为 ‎【考点】古典概型 ‎【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.‎ ‎14．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．‎ ‎【答案】5 8 ‎ ‎【解析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图中的数据，得：‎ ‎∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；‎ 又∵乙组数据的平均数为16.8，‎ ‎∴16.8，‎ 解得：y＝8；‎ 综上，x、y的值分别为5、8．‎ 故答案为：(1). 5 (2). 8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．‎ ‎15．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ= ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为，面积为，故飞镖落在阴影区域的概率．‎ ‎【考点】几何概率．‎ ‎16．下列说法中正确的有______ ‎ ‎①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；‎ ‎②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ‎③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．‎ ‎④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】对于①平均数受少数几个极端值的影响，故①不正确；对于②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率分别为，故②不正确；对于④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型，故④不正确 三、解答题 ‎17．已知 的三个顶点坐标分别为，‎ ‎(1)求AC边上的中线所在直线方程；‎ ‎(2)求AB边上的高所在直线方程；‎ ‎(3)求BC边的垂直平分线的方程．‎ ‎【答案】(Ⅰ) （Ⅱ） （Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据中点坐标公式求得AC的中点D,则由两点式即可求得中线BD的方程.‎ ‎（Ⅱ）先求得直线AB的斜率,根据垂直时直线的斜率关系可知AB上高线的斜率,进而利用点斜式求得高所在直线的方程.‎ ‎（Ⅲ）先求得BC的中点E,根据直线垂直的斜率关系结合点斜式即可求得BC垂直平分线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）线段AC的中点D坐标为 ‎ AC边上的中线BD所在直线的方程是 即 ‎（Ⅱ）根据两点间斜率公式可得 ,‎ AB边上高的斜率是 ‎ AB边上的高所在直线方程是 ‎ 即 ‎ ‎（Ⅲ）BC边上的中点E坐标为 , ‎ BC边的垂直平分线的方程是 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程求法,注意直线垂直时斜率的关系,属于基础题.‎ ‎18．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．‎ ‎(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率；‎ ‎(2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】（1）直接由几何概型中的长度型概率计算公式求解。‎ ‎（2）设甲需要等待的时间为，乙需要等待的时间为，由已知列不等式组，利用几何概型中的面积型概率计算公式求解。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为电台每隔1小时报时一次，‎ 甲在之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，‎ 所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，‎ 而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件.‎ 设事件为“甲等待的时间不多于10分钟”，‎ 则事件恰好是打开收音机的时刻位于时间段内，‎ 因此由几何概型的概率公式得，‎ 所以“甲等待的时间不多于10分钟“的概率为.‎ ‎（2）因为甲、乙两人起床的时间是任意的，‎ 所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型.‎ 设甲需要等待的时间为，乙需要等待的时间为（10分钟为一个长度单位）.‎ 则由已知可得，对应的基本事件空间为.‎ 甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为.‎ 在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示.‎ 显然表示一个边长为6的正方形的内部及线段，，‎ 其面积.表示的是腰长为5的等腰直角三角形的内部及线段，‎ 其面积，故所求事件的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型概率计算，考查转化能力，属于中档题。‎ ‎19．如表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据 ‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ 注： .‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) (3) 19.65吨 ‎【解析】（1）直接描点即可 ‎（2）计算出的平均数，，及，，利用公式即可求得，问题得解。‎ ‎（3）将代入可得，结合已知即可得解。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；‎ ‎（2）计算，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴回归方程的系数为： .‎ ‎，∴所求线性回归方程为；‎ ‎（3）利用线性回归方程计算时，，‎ 则，即比技改前降低了19.65吨.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归方程的求法，考查计算能力，还考查了线性回归方程的应用，属于中档题。‎ ‎20．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．‎ ‎(1)求直方图中x的值；‎ ‎(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；‎ ‎(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．‎ ‎【答案】(1) (2) 72名(3) 33.6分钟.‎ ‎【解析】（1）利用概率和为列方程即可得解。‎ ‎（2）计算出新生上学时间不少于1小时的频率为，问题得解。‎ ‎（3）直接利用均值计算公式求解即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由直方图可得：，解得.‎ ‎（2）新生上学时间不少于1小时的频率为，‎ 因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.‎ ‎（3）由题可知 分钟.‎ 故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的知识，考查了概率的应用，还考查了平均值的计算公式，属于中档题。‎ ‎21．已知 ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）对两边平方即可得解。‎ ‎（2）由已知并结合即可求得，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 解：（1） .‎ ‎（2）∵且，‎ ‎∴.‎ 由得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变形及同角三角函数基本关系，考查计算能力及分析能力，属于中档题。‎ ‎22．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线相切．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设点，过点作直线与圆C交于两点，若，求直线的方程；‎ ‎(3)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线，切点为求证：经过 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．‎ ‎【答案】(1) (2) 或；(3) 见证明 ‎【解析】（1）设圆心，由直线和圆相切可得：，利用点到直线距离公式即可求得，问题得解。‎ ‎（2）若直线的斜率不存在，即：，检验得：成立，若直线的斜率存在，可设直线：，由圆的弦长计算公式可得：，即可求得，问题得解。‎ ‎（3）设，由题可得：经过，，的三点的圆是以为直径的圆，即可求得该圆的方程为：，列方程即可求得定点的坐标为，，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：设圆心，圆心到直线的距离为 则由直线和圆相切可得：，‎ 可得，解得（负值舍去），‎ 即圆的方程为；‎ ‎（2）解：若直线的斜率不存在，即：，‎ 代入圆的方程可得，，即有，成立；‎ 若直线的斜率存在，可设直线：，‎ 即为，‎ 圆到直线的距离为，‎ 由，即有，‎ 解得，即，解得，则直线的方程为，‎ 所以的方程为或；‎ ‎（3）证明：由于是直线上的点，‎ 设，‎ 由切线的性质可得，‎ 经过，，的三点的圆是以为直径的圆，‎ 则方程为，‎ 整理可得，‎ 令，且.‎ 解得或.‎ 则有经过，，三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆相切的关系，还考查了圆的弦长计算及点到直线的距离公式，考查了分类思想及转化思想，考查计算能力，属于难题。‎