数学理卷·2017届河北省正定中学高三上学期第三次月考（期中）（2016

数学理卷·2017届河北省正定中学高三上学期第三次月考（期中）（2016

河北省正定中学2016-2017学年高三质量检测第三次考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.复数，，则的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.已知集合，，若，则，则（ ）‎ A．-5 B．5 C．-1 D．1‎ ‎3.命题“，，使得”的否定是（ ）‎ A．, ，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 ‎4.已知函数的图象关于轴对称，且函数在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前25项之和为（ ）‎ A．0 B． C．25 D．50‎ ‎5.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A．，的最小值为 B．，的最小值为 C．，的最小值为 D．，的最小值为 ‎6.若函数在区间（）上的值域为，则 等于（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎7.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.等腰直角三角形中，，，点分别是的中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.函数的零点个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.如图，已知点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则（ ）‎ A．46 B．30 C．242 D．161‎ ‎12.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，现有下列命题：‎ ‎①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；‎ ‎②若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线” 关于轴对称；‎ ‎③单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ‎④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，，其中，若，则的值是________.‎ ‎14.如图，在边长为1的正方形内，阴影部分是由两曲线，（）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是，则函数的值域为________.‎ ‎15.已知函数，，是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为________.‎ ‎16.已知双曲线（）上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，设直线的斜率分别为，则当最小时，双曲线的离心率为________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）设的平分线交于，，，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某学校根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔能否成功进入这三个社团是相互独立的，2016年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社会的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，菱形的对角线与交于点，，，点分别在上，，交于点，将沿折到的位置，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知各项均不为零的数列的前项和，满足：（为常数，且，）．‎ ‎（1）设，若数列为等比数列，求的值；‎ ‎（2）在满足（1）的情形下，设，数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设．‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ 高三质检三数学（理科）试题参考答案 一、选择题答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A C C A D B A B C D B 二、 填空题答案：13. 14. 15. ‎ ‎ 16. ‎ 三、解答题答案 ‎17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、‎ ‎ 综合分析问题解决问题的能力以及 转化与化归的数学思想．‎ ‎17.【解析】（1）, ……………………2分 ‎ ………………………………………………………………4分 ‎ , ………………………………………………………………………‎ ‎………5分 ‎ （2）在中,由正弦定理：‎ ‎ …………………………………………………………………7分 ‎ …………………………………………9分 ‎ ……………………………………………10分 18. ‎【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力.‎ ‎18．【解析】‎ ‎ （1）依题，，解得.………………………………………6分 ‎ （2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量，则 ‎ 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分 ‎ 而；；‎ ‎ ； ；‎ ‎ ； ；‎ ‎ . …………………………………………10分 （每答对两个，加1分）‎ 的分布列为： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…………………………………………11分 ‎………………………………………………………………………………………………………11分 于是，. …………………………12分 ‎ 19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求 ‎ 解能力.‎ ‎19.【解析】(1)由已知得，,又由得，故∥，因此 ‎ ，从而⊥.由得.…………2分 由∥得.所以,.…………………………………3分 ‎ 于是,故.又,而,‎ ‎ 所以平面. ……………………………………………………………………………4分 (2) 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ‎ ，，，，，，，‎ ‎ .………………………………………………………………………………………6分 ‎ 设是平面的法向量，‎ ‎ 则，即，可取.…………………………………8分 ‎ 设是平面的法向量，‎ ‎ 则，即，可取………………………………………10分 ‎ 于是，………………………………………………11分 设二面角的大小为，.因此二面角的正弦值是.……………12分 20. ‎【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知 ‎ 识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．‎ ‎20.【解析】（1）当时，，得．……………………………………………1分 ‎ 当时，由，即，①‎ ‎ ，②‎ ‎ ①②，得，即，数列的各项均不为零∴（），‎ ‎ ∴是等比数列，且公比是，∴． ………………………………………………3分 ‎ ，，即，……………………………4分 ‎ 若数列为等比数列，则有，而，，，‎ ‎ 故，解得， ………………………………………………5分 ‎ 再将代入，得，由，知为等比数列，∴．……………………6分 ‎ （2）由，知，∴，……………………………………………………7分 ‎ ∴，………………………………………………………………9分 ‎ 由不等式恒成立，得恒成立，‎ ‎ 设，由，………………………………………10分 ‎ ∴当时，，当时，，而，，∴，‎ ‎ ∴，∴．………………………………………………………………………………12分 21. ‎【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识， ‎ ‎ 意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.‎ ‎21.【解析】（1）：设，由，即，可得，又 ‎ ，所以，因此，所以椭圆的方程为.………………4分 ‎(2)设直线l的斜率为（），则直线l的方程为.设，‎ ‎ 由方程组，消去，整理得.‎ ‎ 解得，或 ‎，………………………………………………………………………6分 由题意得，从而.由（1）知，设，‎ 有，.……………………………………………………8分 由，得，所以-，解得.……………9分 因此直线的方程为.设，‎ 由方程组消去，解得.……………………………………10分 在中，，即，化简得，‎ 即，解得或.……………………………………………………11分 所以直线的斜率的取值范围为.…………………………………………12分 22. ‎【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意 ‎ 在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．‎ 22. ‎【解析】（1）证明：，则，……………………1分 ‎ 设，则， ………………………………………………………2分 ‎ 当时，，即为增函数，所以，‎ ‎ 在时为增函数，所以．…………………………………………4分 ‎ （2）解法一：由（1）知时，，，所以，‎ ‎ 设，则， ………………………………………………5分 ‎ 设，则，……………………………………………………………6分 ‎ 当时，所以为增函数，‎ ‎ 所以，所以为增函数，所以，…………………………7分 ‎ 所以对任意的恒成立.…………………………………………………8分 ‎ 又，时，，所以时对任意的 恒成立.……10分 ‎ 当时，设，则，…………………11分 ‎ ，所以存在实数，使得任意，均有，所以在 ‎ ‎ 为减函数，所以在时，所以时不符合题意. ‎ ‎ 综上，实数的取值范围为.……………………………………………………………………12分 ‎ （2）解法二：因为等价于 ………………………6分 ‎ 设，则………………………………7分 ‎ 可求， ………………………………………………………………9分 ‎ 所以当时，恒成立，在是增函数，‎ ‎ 所以，即，即 ‎ 所以时，对任意恒成立．………………………………………10分 ‎ 当时，一定存在，满足在时，，‎ ‎ 所以在是减函数，此时一定有，‎ ‎ 即，即，不符合题意，‎ ‎ 故不能满足题意，‎ ‎ 综上所述，时，对任意恒成立．……………………………12分 选择题解析：‎ ‎1.【解析】，.在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. ‎ ‎2.【解析】，若，，由，‎ ‎ ，所以，∴是方程的两根，由根与系数关系得 ‎ ‎ ．‎ ‎3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“，‎ ‎ ，使得”的否定是“，，使得”．故选C．‎ ‎4.【解析】由已知可得，又是等差数列，所以，数列的前项和 ‎，所以数列的前项和为.故选C.‎ ‎5.【解析】在图象上，，，，‎ ‎ 又位于函数的图象上，，或 ‎ ，，.故选A.‎ 6. ‎【解析】，‎ ‎ ，且，所以是以点为 ‎ 对称中心，所以其最大值与最小值的和.故选D.‎ ‎7.【解析】由知函数的图象关于直线对称，当时，，‎ ‎ 则，所以在时，递增，，又，所以 ‎ ，即．故选B．‎ ‎8.【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，‎ ‎ 则且，,，令 ‎ ，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，‎ ‎ 有最小值，将代入得，当直线经过点时，有 ‎ 最大值，将代入得，故答案为A．‎ ‎9.【解析】由已知得，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两函数图象 ‎ 有两个不同的交点，故函数的零点个数为，故选B．‎ ‎ ‎ ‎ （第9题图） （第10题图）‎ ‎10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，设，则，‎ ‎ 解得，该多面体的外接球半径，所以其表面积为 ‎ ，故选C.‎ 11. ‎【解析】因为，所以， ‎ 设，，又因为 ，‎ ‎ ， 以，又，所以数列 ‎ ‎ 表示首项为，公比为的等比数列，所以，,故选D．‎ ‎12.【解析】对于①，若令，则其“伴随点”为，而的“伴随点”为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于 轴对称，则与方程表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其“伴随点”为仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线上任一点的“伴随点”为，的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B.‎ 填空题解析：‎ ‎13.【解析】，‎ ‎ ‎ 14. ‎【解析】设阴影部分的面积为,则，又正方形面积 为，，的值域为 15. ‎【解析】 ,,则，点的坐标为，‎ 若为切点，，曲线在点处切线的斜率为3，切线方程为，即 ‎ ；若不为切点，曲线的切线的切点为，曲线的切线的斜率 ‎ ，则，又，则，，得出切线方程 ‎，‎ 即.过曲线上一点的切线方程为.‎ ‎16.【解析】设，显然．‎ ‎ ∵点在双曲线上，∴，两式相减得，‎ ‎ ∴ . 由，‎ ‎ 设， 则，∴求导得，由得．‎ ‎ ∴在单调递减，在单调递增，时即时取最小值， ‎ ‎ ∴，∴．‎