2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 33基本不等式与绝对值不等式

2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 33基本不等式与绝对值不等式

考点规范练33　基本不等式与绝对值不等式 基础巩固组 ‎1.下列不等式一定成立的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.lgx‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎>lg x(x>0)‎ B.sin x+‎1‎sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.‎1‎x‎2‎‎+1‎<1(x∈R)‎ ‎2.(2017浙江名校联考)若a,b都是正数,则‎1+‎ba‎·‎‎1+‎‎4ab的最小值为(　　)‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎3.(2017浙江舟山调研改编)若不等式|2-x|+|x+1|≤a对任意x∈[-2,1]恒成立,则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(5,+∞) B.[5,+∞)‎ C.(-∞,5) D.(-∞,5]‎ ‎4.(2017浙江杭州二中月考)若a>b>1,P=lga·lgb,Q=‎1‎‎2‎(lg a+lg b),R=lga+b‎2‎,则(　　)‎ A.R1,则y(x+8)的最小值是(　　)‎ A.33 B.26 C.25 D.21‎ ‎6.(2017福建质检)用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是　　　　　. ‎ ‎7.不等式|x-3|+|x+1|>6的解集为　　　　　　　. ‎ ‎8.(2017浙江期中测试)已知x,y∈R+,且满足x+2y=2xy,则3x+4y的最小值为　　　　　. ‎ 能力提升组 ‎9.(2017浙江金华十校一联)已知f(x)=a|x-2|,若f(x)0,则xx+y‎+‎‎2yx+2y的最大值为(　　)‎ A.2-‎2‎ B.2+‎2‎ C.4+2‎2‎ D.4-2‎‎2‎ ‎13.若正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且xy的最小值为18,则a的值为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎14.已知a>0,b>0,且‎2‎‎2+a‎+‎‎1‎a+2b=1,则a+b的最小值是　　　　　　,此时a=　　　　. ‎ ‎15.(2017浙江五校联考)设a+b=2,b>0,则当a=　　　　　时,‎1‎‎2|a|‎‎+‎‎|a|‎b取得最小值为　　　　　. ‎ ‎16.已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤‎6‎,则a·b的最大值是　　　　　. ‎ ‎17.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.‎ ‎(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-‎1‎‎2‎;‎ ‎(2)若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.‎ ‎18.设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1).‎ ‎(1)若|a|≤1,求|f(x)|的最大值;‎ ‎(2)求a的值,使函数f(x)有最大值‎17‎‎8‎.‎ 答案：‎ ‎1.C　当x>0时,x2+‎1‎‎4‎‎≥‎2·x‎·‎‎1‎‎2‎=x,所以lgx‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎‎≥‎lg x(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有‎1‎x‎2‎‎+1‎=1,故选项D不正确.‎ ‎2.C　∵a,b都是正数,‎∴‎‎1+‎ba‎1+‎‎4ab=5+ba‎+‎4ab≥‎5+2ba‎·‎‎4ab=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.‎ ‎3.B　令f(x)=|2-x|+|x+1|,x∈[-2,1],则f(x)=‎1-2x,-2≤x≤-1,‎‎3,-1b>1,∴lg a>lg b>0,‎ ‎1‎‎2‎‎(lg a+lg b)>lga·lgb,‎ 即Q>P‎.∵a+b‎2‎>‎ab,∴lga+b‎2‎>lgab‎=‎‎1‎‎2‎(lg a+lg b)=Q,即R>Q.∴P0可知,x-1+‎36‎x-1‎+13≥2×6+13=25,当且仅当x=7时等号成立.‎ 故y(x+8)的最小值为25.选C.‎ ‎6.6　设正三棱柱的底边长为x,高为y,则6x+3y=12,由基本不等式可得6x+3y=12≥2‎6x·3y‎⇒‎xy≤2⇒3xy≤6.故所求三棱柱的侧面积的最大值为6.‎ ‎7.(-∞,-2)∪(4,+∞)　方法一:当x<-1时,不等式化为-(x-3)-(x+1)>6,解得x<-2;当-1≤x≤3时,-(x-3)+(x+1)>6,不成立;当x>3时,(x-3)+(x+1)>6,得x>4.综上可知x∈(-∞,-2)∪(4,+∞).‎ 方法二:|x-3|+|x+1|>6表示数轴上到-1和3的距离之和大于6的点的集合,因为-1和3之间的距离为4,所以由不等式的几何意义可知x<-2或x>4.‎ ‎8.5+2‎6‎　∵正数x,y满足x+2y=2xy,‎∴‎1‎‎2y+‎‎1‎x=1.‎ ‎∴3x+4y=(3x+4y)‎1‎‎2y‎+‎‎1‎x=3+2+‎3x‎2y‎+‎4yx≥‎5+2‎3x‎2y‎·‎‎4yx=5+2‎6‎,‎ 当且仅当x=‎3+‎‎6‎‎3‎,y=‎2+‎‎6‎‎4‎时取等号.‎ 故3x+4y的最小值为5+2‎‎6‎‎.‎ ‎9.A　依题意,得f(x)=a(x-2),x≥2,‎a(2-x),x<2,‎易知当a≥0时,f(x)‎2‎,所以x-2y>0‎.x‎2‎‎+4‎y‎2‎x-2y=‎‎(x-2y‎)‎‎2‎+4xyx-2y=x-2y+‎4‎x-2y‎≥‎4,当且仅当x=‎3‎+1,y=‎3‎‎-1‎‎2‎时等号成立.故选A.‎ ‎11.B　由题意,令g(a)=‎|a+1|-|2a-1|‎‎|a|‎(a≠0),不等式f(x)≥g(a)对任意实数a≠0恒成立,等价于函数f(x)大于或等于g(a)的最大值,由函数g(a)的解析式,可对a的取值范围进行分段讨论,当a≤-1时,g(a)=a-2‎‎-a=-1+‎2‎a;当-10,|a|>0,所以b‎4|a|‎‎+‎|a|‎b≥‎2b‎4|a|‎‎·‎‎|a|‎b=1,因此当a>0时,‎1‎‎2|a|‎‎+‎‎|a|‎b的最小值是‎1‎‎4‎+1=‎5‎‎4‎‎.‎当a<0时,‎1‎‎2|a|‎‎+‎‎|a|‎b的最小值是-‎1‎‎4‎+1=‎3‎‎4‎‎.‎故‎1‎‎2|a|‎‎+‎‎|a|‎b的最小值为‎3‎‎4‎,此时b‎4|a|‎‎=‎|a|‎b,‎a<0,‎即a=-2.‎ ‎16‎.‎‎1‎‎2‎　由题意得对任意单位向量e,均有|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|‎≤‎‎6‎,即|(a+b)·e|max‎≤‎‎6‎,即|a+b|‎≤‎‎6‎,所以|a|2+|b|2+2a·b≤6,即a·b‎≤‎‎1‎‎2‎,即a·b的最大值为‎1‎‎2‎‎.‎ ‎17.解 (1)因为a=2,所以f(x)=|x-3|-|x-2|‎ ‎=‎‎1,x≤2,‎‎5-2x,2

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