数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届湖南省衡阳八中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年湖南省衡阳八中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．‎ ‎1．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），P是此椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． +y2=1 B． +y2=1 C．x2+=1 D．x2+=1‎ ‎2．下列有关命题的叙述，错误的个数为（　　）‎ ‎①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 ‎②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件 ‎③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（　　）‎ A． B． C．1 D．﹣1‎ ‎5．已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若复数z满足|z|=2，则|1+i+z|的取值范围是（　　）‎ A．[1，3] B．[1，4] C．[0，3] D．[0，4]‎ ‎7．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（　　）‎ A．36种 B．38种 C．108种 D．114种 ‎8．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（　　）‎ A．25π B．26π C．27π D．28π ‎9．l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线的离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎10．函数f（x）=的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．（，+∞） C．（，2） D．（2，+∞）‎ ‎12．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（　　）‎ A．2 B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎13．已知向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角的大小为　　．‎ ‎14．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是　　．‎ ‎15．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．（10分）2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：‎ 班号 一班 二班 三往 四班 五班 六班 频数 ‎5‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ 满意人数 ‎4‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．‎ ‎（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；‎ ‎（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ‎，求a的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）+，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）．‎ ‎（1）当a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e2x﹣bex（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；‎ ‎（3）令V（x）=2f（x）﹣x2﹣kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x1‎ ‎，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，且线段AB的中点为C（x0，0），求证：V′（x0）≠0．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C： +=1，（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程 ‎（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳八中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．‎ ‎1．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），P是此椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． +y2=1 B． +y2=1 C．x2+=1 D．x2+=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据已知条件得：，所以，这样即可根据椭圆的定义求出a2，因为c2=5，所以可求出b2，所以椭圆的标准方程就可求出．‎ ‎【解答】解：如图，根据已知条件知：，‎ ‎∵|PF1||PF2|=2；‎ ‎∴=；‎ ‎∴a2=6，b2=6﹣5=1；‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，及a2=b2+c2，完全平方式．‎ ‎　‎ ‎2．下列有关命题的叙述，错误的个数为（　　）‎ ‎①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 ‎②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件 ‎③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】特称命题；全称命题．‎ ‎【分析】直接利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；特称命题的否定判断③的正误；四种命题的逆否关系判断④的正误．‎ ‎【解答】解：①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确．‎ ‎②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．‎ ‎③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确．‎ ‎④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．‎ 所以只有②③正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，充要条件关系的判断，命题的否定等知识，考查基本知识的应用．‎ ‎　‎ ‎3．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）‎ 令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．‎ ‎．‎ ‎①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．‎ ‎②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，‎ ‎∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．‎ ‎∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，‎ ‎∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．‎ 故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a ‎＞0，‎ ‎∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减． ‎ ‎∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）的值等于（　　）‎ A． B． C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】对f（x）求导，将x=1代入导函数求出．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（1），∴f′（x）=2x+3f′（1）．‎ ‎∴当x=1时有f′（1）=2+3f′（1）．解得f′（1）=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．‎ ‎【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，‎ ‎∵正三角形ABC，‎ ‎∴E为BC中点，‎ ‎∵BC⊥AE，SA⊥BC，‎ ‎∴BC⊥面SAE，‎ ‎∴BC⊥AF，AF⊥SE，‎ ‎∴AF⊥面SBC，‎ ‎∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，‎ ‎∴AE=，AS=3，‎ ‎∴SE=2，AF=，‎ ‎∴sin∠ABF=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．‎ ‎　‎ ‎6．若复数z满足|z|=2，则|1+i+z|的取值范围是（　　）‎ A．[1，3] B．[1，4] C．[0，3] D．[0，4]‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】设z=a+bi（a，b∈R），可得a2+b2=4，知点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1+i+z|表示点Z（a，b）到点M（﹣1，﹣）的距离，结合图形可求．‎ ‎【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），‎ 则=2，即a2+b2=4，可知点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，‎ ‎|1+i+z|表示点Z（a，b）到点M（﹣1，﹣）的距离，‎ ‎∵（﹣1，﹣）在|z|=2这个圆上，‎ ‎∴距离最小是0，最大是直径4，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义，考查学生的运算求解能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎7．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（　　）‎ A．36种 B．38种 C．108种 D．114种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．‎ 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．‎ ‎②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．‎ 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．‎ ‎　‎ ‎8．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（　　）‎ A．25π B．26π C．27π D．28π ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，‎ ‎∴AE=，EF=‎ 设OO′=x，则 ‎∵O′B=2，O′F=1，‎ ‎∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，‎ ‎∴R2=7，‎ ‎∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键．‎ ‎　‎ ‎9．l是经过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB=60°，则双曲线的离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式可tan∠APB=||，由直线的斜率公式，化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可得到所求最大值．‎ ‎【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x=c，‎ 可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 由两直线的夹角公式可得tan∠APB=||‎ ‎=||===tan60°=，‎ 由|n|+≥2=2，‎ 可得≤，‎ 化简可得3c2≤4a2，即c≤a，‎ 即有e=≤．‎ 当且仅当n=±，即P（c，±），离心率取得最大值．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的最值的求法，注意运用两直线的夹角公式和直线的斜率公式及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；‎ 又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，‎ 当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．‎ ‎　‎ ‎11．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．（，+∞） C．（，2） D．（2，+∞）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，‎ 不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），‎ 与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），‎ ‎∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，‎ ‎∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，‎ ‎∴b2＞3a2，‎ ‎∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．‎ 则e=＞2．‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（　　）‎ A．2 B．2 C． D．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，‎ ‎|AC|+|AF|=2a，‎ 由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，‎ 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，‎ 可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，‎ 由C（0，4），F（，0），可得A（，2），‎ 代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，‎ 即有a=+=，A（，2），‎ 可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，‎ 可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎13．已知向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角的大小为　　．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用空间向量的数量积，即可求出两向量的夹角大小．‎ ‎【解答】解：∵向量=（0，2，1），=（﹣1，1，﹣2），‎ ‎∴•=0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴与的夹角为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了利用空间向量的数量积求向量夹角大小的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎14．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是　（0，1]　．‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】求出函数的导数，问题转化为ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴f'（x）=，‎ ‎∵f（x）为R上的单调增函数，‎ ‎∴f'（x）≥0在R上恒成立，‎ 又∵a为正实数，‎ ‎∴f'（x）≥0在R上恒成立，‎ ‎∴ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，‎ ‎∴△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，解得0≤a≤1，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴0＜a≤1，‎ ‎∴a的取值范围为0＜a≤1，‎ 故答案为：（0，1]．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎15．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，结合￢p是q的充分必要条件得到关于a的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：p：|x﹣a|＞3，‎ 解得：x＞a+3或x＜a﹣3；‎ ‎￢p：a﹣3≤x≤a+3，‎ q：（x+1）（2x﹣1）≥0，‎ 解得：x≥或x≤﹣1，‎ 若￢p是q的充分不必充要条件，‎ 则a﹣3≥或a+3≤﹣1，‎ 解得：a≥或a≤﹣4，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎16．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是　1　．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】分段函数f（x）在不同区间有不同对应法则，可先计算f（1）=lg1=0，再相应代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵1＞0，∴f（1）=lg1=0，‎ ‎∴f（0）=0+3t2dt==a3，‎ 又f（f（1））=1，‎ ‎∴a3=1，‎ ‎∴a=1，‎ 故答案是1．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数求值问题，其关键是由自变量找对应区间．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．（10分）（2017春•雁峰区校级月考）2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：‎ 班号 一班 二班 三往 四班 五班 六班 频数 ‎5‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎9‎ 满意人数 ‎4‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，从而求出持满意态度的频率，由此能估计高三年级全体学生持满意态度的概率．‎ ‎（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，‎ 持满意态度的频率为，‎ 据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为；…（3分）‎ ‎（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，…‎ ‎，…（6分）‎ ‎．…（7分）‎ ‎．…（8分）‎ ‎，…（9分）‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…（10分）‎ 所以ξ的期望值为：． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•武邑县校级一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．‎ ‎（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；‎ ‎（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；‎ ‎（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．‎ ‎【解答】证明：如图，‎ ‎（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，‎ ‎∴ABFD为矩形，AB⊥BF．‎ ‎∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF ‎∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，‎ ‎∴平面ABE⊥平面BEF．‎ ‎（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD 又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．‎ 以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，‎ 则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）‎ 平面BCD的法向量，‎ 设平面EBD的法向量为，‎ 由⇒，即，取y=1，得x=2，z=‎ 则．‎ 所以．‎ 因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，‎ 所以cosθ∈，即．‎ 由得：‎ 由得：或．‎ 所以a的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间坐标系，该题训练了学生的计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013秋•潮南区校级期中）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）+，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）欲求f（x）的解析式，设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），即寻找坐标x，y的关系式，这可从对称性方面考虑即可；‎ ‎（2）利用导数研究单调性，即g′（x）≤0在区间（0，2]上恒成立，再利用参数分离法求出a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），‎ 点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（﹣x，2﹣y）在h（x）图象上．‎ ‎∴2﹣y=﹣x++2．‎ ‎∴y=x+，即f（x）=x+．‎ ‎（2）g（x）=x+，‎ ‎∵g′（x）=1﹣，g（x）在（0，2]上递减，‎ ‎∴1﹣≤0在x∈（0，2]时恒成立，‎ 即a≥x2﹣1在x∈（0，2）时恒成立．‎ ‎∵x∈（0，2]时，（x2﹣1）max=3，‎ ‎∴a≥3．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，恒成立问题等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•枣阳市校级一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，‎ 解得a=2，b==，‎ 可得椭圆方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），‎ 由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；‎ 当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），‎ PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，‎ 由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，‎ 平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，‎ 又Q（，t），‎ 由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，‎ 解得t=，‎ 则t2==‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎==12，‎ 解得t=．‎ 综上可得，t=．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，以及向量数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017春•雁峰区校级月考）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）．‎ ‎（1）当a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e2x﹣bex（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；‎ ‎（3）令V（x）=2f（x）﹣x2﹣kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，且线段AB的中点为C（x0，0），求证：V′（x0）≠0．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求函数f（x）的定义域，然后利用h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，则得到h'（x）≥0恒成立．‎ ‎（2）换元，设t=ex，将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性求函数的最小值．‎ ‎（3）求函数V（x）的导数，构造新函数，利用新函数的单调性证明V′（x0）≠0．‎ ‎【解答】解：（1）当=﹣2时，h（x）=f（x）﹣g（x），所以h（x）=lnx+x2﹣bx，其定义域为（0，+∞），‎ 因为函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，所以h'（x）≥0恒成立，即恒成立，‎ 所以，当x＞0时，，当且仅当时取等号，所以，所以b的取值范围 ‎．‎ ‎（2）设t=ex，则函数φ（x）=e2x﹣bex等价为ω（t）=t2+bt，t∈[1，2]，‎ 则，且，‎ 所以①当时，函数ω（t）=t2+bt，在t∈[1，2]，上为增函数，所以当t=1时，ω（t）的最小值为b+1．‎ ‎②当，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=时，ω（t）的最小值为﹣．‎ ‎③当时，函数ω（t）=t2+bt，在t∈[1，2]上为减函数，所以当t=2时，ω（t）的最小值为4+2b．‎ 综上：当时，φ（x）的最小值为b+1．‎ 当﹣4＜b＜﹣2时，φ（x）的最小值为﹣．‎ 当b≤﹣4时，φ（x）的最小值为4+2b．‎ ‎（3）因为V（x）=2f（x）﹣x2﹣kx=，‎ 假设V′（x0）=0，成立，且0＜x1＜x2，则由题意知，‎ ‎，‎ ‎①﹣②得，‎ 所以，由（4）得，所以 ‎，‎ 即，即⑤‎ 令，则，所以，‎ 所以u（t）在（0，1）上为单调递增函数，所以u（t）＜u（1）=0，‎ 即，即，‎ 这与⑤式相矛盾，所以假设不成立，故V′（x0）≠0．‎ ‎【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，极值以及最值问题，运算量较大，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•泰安二模）已知椭圆C： +=1，（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程 ‎（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，﹣2），≤≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解出即可得出．‎ ‎（2）F2（0，﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）. =， 1．﹣x1=λx2．由于四边形PAQB是平行四边形，可得==（x1+x2，y1+y2+4）．‎ 设直线AB的方程为：y=kx﹣1，与椭圆方程联立化为：（k2+2）x2﹣2kx﹣1=0，利用根与系数的关系可得：k2=，可得：k2∈．由于==，令k2=t∈，f（t）=，再利用导数研究函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a=，b=c=1．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为： =1．‎ ‎（2）F2（0，﹣1）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）. =， 1．‎ ‎﹣x1=λx2．‎ ‎∵四边形PAQB是平行四边形，‎ ‎==（x1+x2，y1+y2+4）．‎ 设直线AB的方程为：y=kx﹣1，‎ 联立，化为：（k2+2）x2﹣2kx﹣1=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，﹣x1=λx2．‎ 可得：k2==．‎ λ=1时，k=0．‎ 时，k2∈．‎ 综上可得：k2∈．‎ ‎∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k（x1+x2）﹣2，‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==，‎ 令k2=t∈，f（t）=，‎ f′（t）==＜0，‎ ‎∴函数f（t）在t∈上单调递减，∴f（t）∈．‎ ‎∴∈．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量坐标运算性质、平行四边形法则、利用导数研究函数的大小极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎