吉林省长春市实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

吉林省长春市实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

长春市实验中学2018-2019学年下学期期末考试 高二数学试卷（文科）‎ 一、选择题。‎ ‎1.已知集合，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，，再根据集合的交集运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 所以，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2.若命题对任意的，都有，则为（ ）‎ A. 不存在，使得 B. 存在，使得 C. 对任意的，都有 D. 存在，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】命题对任意的，都有的否定为 存在，使得，故选D.‎ ‎3.已知是实数，是纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】为纯虚数, ‎ ‎,‎ ‎,故选A.‎ ‎4.若函数，则（ ）‎ A. -10 B. 10 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，故选C．‎ 考点：分段函数的求值．‎ ‎5.是（ ）条件.‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解两个不等式，得到与的关系，结合充分必要条件的判定，即可求解．‎ ‎【详解】由，解得或，由，解得或，‎ 所以由不能推得，反之由可推得，‎ 所以是的必要不充分条件，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6.若函数单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性，判断指数函数的单调性和一次函数的单调性，列出不等式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数单调递增，‎ 由指数函数和一次函数的单调性的性质，则满足 ，‎ 解得，即实数的取值范围是，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中熟记分段函数的性质，以及指数函数和一次函数的单调性．列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎7.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是偶函数，图象关于轴对称，当时，单调递减，时，单调递增，且图象过点，由此可得结论．‎ ‎【详解】由题意，函数是偶函数，图象关于轴对称，‎ 当时，为单调递减函数，‎ 时，为单调递增函数，‎ 再由函数的图象过点，应选A选项，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及对数函数的单调性，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎8.已知函数在处有极值，则等于（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在处有极值说明函数在的导数为0，又由，得到，再由，可求出与得出函数的解析式，代入，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 可得，解得或，‎ ‎（1）当时，，所以在处不存在极值；‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，，当时，，复合题意，‎ 所以，所以，‎ 所以，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中熟记极值与导数的关系以及联立方程组求未知数的思想，同时是是极值点的必要不充分条件，对结果进行检验，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．‎ ‎9.已知函数满足，若函数与图象有三个交点，则这三个交点的横坐标之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的对称性，得出两函数必有一个交点在直线上，另两个交点关于对称，由此可得出正确选项，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数满足，‎ 则图象关于对称，函数的图象也关于对称，‎ 函数与图象有三个交点，‎ 所以必有一个交点在直线上，另两个交点关于对称，‎ 所以三个交点的横坐标的和为，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象，函数的对称性的应用，其中解答中熟练掌握对称性的条件以及中点坐标公式的应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎10.已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数在上单调递增，又由函数的图象关于直线对称，得到在上单调递减，从而根据函数不等式列出相应的不等式，即可求解．‎ ‎【详解】当时，恒成立，‎ 所以恒成立，即函数在上单调递增，‎ 又因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减，‎ 若要满足，即，解得，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中得出函数的单调性和对称性，合理转化函数不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎11.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，由于函数在区间单调递增，可得在上恒成立，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，且，‎ 因函数在区间单调递增，可得在上恒成立，‎ 即在上恒成立，即在上恒成立，‎ 即上恒成立，‎ 设，则，则，‎ 所以函数在区间上单调递减，所以，‎ 所以，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数在区间单调递增，转化为在上恒成立，构造新函数，利用求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎12.若函数的两个零点是，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 无法确定和的大小 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图象得出和的大小关系，利用对数的运算性质化简，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，可得，则与的图象有2个交点，‎ 不妨设，‎ 作出两个函数的图象，如图所示，‎ 所以，即，‎ 所以，所以，所以，‎ 时，同理可得.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数图象与性质的应用，以及对数的运算性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 二、填空题。‎ ‎13.若函数是函数(，且)的反函数，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】函数(，且)的反函数是,‎ f(x)＝logax，∵f(2)＝1，‎ ‎∴loga2＝1，‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴f(x)＝log2x，‎ 故答案为.‎ ‎14.函数的最小值是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵f′（x）=ex+xex，令f′（x）=0得 ex+xex=0， ex（1+x）=0， 解得：x=-1， 当x＜-1时，f′（x）＜0，函数f（x ‎）是减函数； 当x=-1时，f′（x）=0，函数f（x）=；‎ 当x＞-1时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数； ∴当x=-1时，函数f（x）有极小值且为最小值, 所以最小值为，故答案为．‎ ‎15.设命题：函数的定义域为R；命题：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 解：由题意可知，命题 均为真命题，‎ ‎ 为真命题时： ，解得： ，‎ ‎ 为真命题时： 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ，故： ，‎ 综上可得，实数 的取值范围是： .‎ ‎16.奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件，推得，得到，即函数是周期为12的周期函数，利用周期性、奇偶性和，即可求解．‎ ‎【详解】由题意， 函数的定义域为的奇函数，则且，‎ 又由为偶函数，,‎ 代换 则有， ‎ 因为为奇函数，可得，，‎ 综上可得，则有，‎ 即函数是周期为12的周期函数，则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性的性质及其应用，其中解答中根据函数的基本性质，求得函数是周期为12的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题.‎ ‎17.已知函数 ‎（1）求证：函数在上为增函数；‎ ‎（2）当函数为奇函数时，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用函数的单调性的定义，即可作出证明；‎ ‎（2）由为奇函数，得到恒成立，即可求解实数的值．‎ 详解】（1）任取，，且，‎ 则，‎ 因为，所以，，，， ‎ 所以函数在上为增函数.‎ ‎（2）为奇函数,则，‎ 即，‎ 即存在实数使为奇函数.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，以及函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数单调性的定义和奇偶性的定义，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．‎ ‎（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I) 当a=1时，采用零点分段法去绝对值分段进行求解，然后再求并集即可；(II)可以构造函数求出最小值，然后只要2a>f(x)min即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）,，‎ ‎① 若，则，，舍去．‎ ‎② 若，则，∴． ‎ ‎③ 若，则，． ‎ 综上，不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则， ‎ 可得的最小值为1，‎ ‎，‎ ‎ ∴，，‎ 即的取值范围是.‎ ‎19.已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为.‎ ‎（l）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值.‎ ‎【答案】(1)，；(2)3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线为圆：，用公式代入，得极坐标方程,直线过原点，且倾斜角为，所以直线的极坐标方程为；（2）曲线均为圆且都过极点O，所以代入，分别求得极径分别为，代入即求解.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），普通方程为，‎ 极坐标方程为，‎ ‎∵直线的直角坐标方程为，‎ 故直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为：，‎ 直线的极坐标方程为，‎ 将代入的极坐标方程得，‎ 将代入的极坐标方程得，‎ ‎∴.‎ ‎20.已知函数，其中，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间．‎ ‎【答案】(1)；(2) 的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.‎ 试题解析：（1）对求导得，‎ 由在点处的切线垂直于直线知，解得.‎ ‎（2）由（1）知，则.‎ 令，解得或.‎ 因为不在的定义域内，故舍去.‎ 当时，，‎ 故在内为减函数；‎ 当时，，‎ 故在内为增函数.‎ 综上，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）当时，求函数在的值域；‎ ‎（2）若存在零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，函数，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；‎ ‎（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 令，，则，‎ 故，，‎ 故值域为.‎ ‎（2）关于的方程有解，‎ 等价于方程在上有解记 当时，解为，不成立；‎ 当时，开口向下，对称轴，过点，不成立；‎ 当时，开口向上，对称轴，过点，必有一个根为正，‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数的零点问题的应用，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，属于基础题．‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求得函数的导数，分离讨论得到函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】解（1）当时，‎ ‎，.‎ 则曲线在点处的切线的斜率为.‎ 又，所以切线方程为.‎ ‎（2）由函数，‎ 则，其中 当时，因为，所以.‎ 所以函数在上单调递增，故.‎ 当时，令，得.‎ 若，则，所以函数在时，‎ ‎，不符合题意.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用其中解答中熟记导数与原函数的关系，合理利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，综合性强，属于中档试题．‎ ‎ ‎