【数学】宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考试题(理)(解析版)

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【数学】宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考试题(理)(解析版)

宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考数学试题(理)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得,‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎2.已知,其中是虚数单位,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,‎ ‎.‎ 故选:.‎ ‎3.已知,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,.‎ 故选:D.‎ ‎4.已知向量,且与夹角为锐角,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得:,,‎ ‎,‎ 设与夹角为,则,‎ ‎,,即,‎ ‎,解得:且,‎ 即的取值范围为.‎ 故选:B.‎ ‎5.《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟四斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意是:今有牛、马、羊吃了别人禾苗,禾苗主人要求赔偿4斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿了多少斗( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列,公比为,设羊主人赔偿粟,‎ 则,解得:;‎ 羊主人赔偿粟,牛主人赔偿粟,牛主人比羊主人多赔偿粟.‎ 故选:B.‎ ‎6.以双曲线的一个焦点为圆心,为半径的圆与的渐近线相切,则的离心率等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知双曲线的渐近线为,选取其中一条计算,即,‎ 由点到渐近线的距离得,‎ 故有,解得 ‎ 即离心率,‎ 故选:D.‎ ‎7.已知直线a、b,平面、,且,则是的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若,如果,则不成立;‎ 若,过做一平面,且,‎ 则.‎ 所以当时,是的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎8.2021年俱乐部世界杯(简称“世俱杯”)在中国上海、天津、广州、武汉、沈阳、济南、杭州、大连八个城市举行,我市将派9名小记者前往采访,每个举办城市至少安排一名记者,则不同的安排种数共有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】将9名小记者分配到八个城市,每个城市至少安排一名记者 第一步:从9人中选出2人作为一组,选法有:,则现在有8个元素 第二步:将8个元素全排列,排法有:‎ 不同的安排种数:.‎ 故选:C.‎ ‎9.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,且的图像关于点对称,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得,‎ 因为的图象关于点对称,所以,,所以,‎ 因为,所以=.‎ 故选:D.‎ ‎10.已知数列的前n项和为,满足,且数列的前6项和等于321,则m的值等于( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意,当时,,‎ 当,,‎ 若,则数列的前6项和等于,不合题意,‎ ‎,所以数列是以为首项,‎ 公比为的等比数列,,‎ 数列的前6项和为 ‎.‎ 故选:B.‎ ‎11.已知直线与抛物线相交于A,B两点,O为坐标原点,则为( )‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】直线与抛物线相交于A,B两点,‎ 所以,将直线方程化为,‎ 联立,消去,得,‎ ‎,设,‎ ‎,‎ 所以为钝角,故钝角三角形.‎ 故选:C.‎ ‎12.定义在R上的偶函数满足,当时,,设函数,则和的图象所有交点横坐标之和等于( )‎ A. 8 B. ‎6 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵定义在上的偶函数满足,‎ ‎∴函数的图象关于直线和轴对称,‎ 而函数的图象也关于直线对称,‎ 当时,,‎ 先画出函数和在上的图象,再根据对称性得到上的图象如图,‎ 由图可知,函数和在上的图象共有2个交点,且关于直线对称,‎ ‎∴函数和的图象所有交点横坐标之和为,‎ 故选:C.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.随着养生观念的深入,国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高.吃烧烤的人数日益减少,烧烤店也日益减少.某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计,具体统计数据如下表:‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号()‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 盈利店铺的个数(y)‎ ‎260‎ ‎240‎ ‎215‎ ‎200‎ ‎180‎ 根据所给数据,得出y关于t的回归方程,估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,‎ 由,则,得,故,‎ 令,得.‎ 故答案为:‎ ‎14.的展开式中,含项的系数为________(用数字作答).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的展开式的通项公式: ,‎ 要求含项的系数,‎ 令,解得.‎ 的展开式中项的系数为:‎ ‎ ‎ 故答案为:‎ ‎15.已知函数,且,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎16.如图,在边长等于2正方形中,点Q是中点,点M,N分别在线段上移动(M不与A,B重合,N不与C,D重合),且,沿着将四边形 折起,使得二面角为直二面角,则三棱锥体积的最大值为________;当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】(1)如图,‎ 因为二面角为直二面角,平面平面,‎ 所以平面,‎ 所以是三棱锥的高.‎ 设,‎ 所以三棱锥体积,‎ 所以当时,‎ ‎(2)如图,把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球. 点为外接球的球心,为外接球的半径.‎ 由题得,,‎ 底面等腰直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半,即.‎ 所以.‎ 所以外接球的表面积为.‎ 故答案为:.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.已知在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若点M为边边上一点,且,求的面积.‎ 解:(1)由有 由正弦定理有 在中, ,所以 在中, ,则,所以,则有 所以即 ‎(2)在中,,则 则为等腰直角三角形, 又,即,所以 在直角中, ,,‎ 所以,所以 所以.‎ ‎18.已知四棱锥中,平面平面,,,,,为棱上一动点,点是的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,问是否存在点E,使得二面角的余弦值为?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)证明:因平面平面,,‎ 平面平面, 在平面内,‎ 所以平面,‎ 因为 在平面内,所以;‎ ‎(2)解:因为,,‎ 所以,所以,所以,‎ 因为平面平面,平面平面,‎ 所以平面,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以平面,所以,‎ 因为, ,所以,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 如图,以为坐标原点,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ 设,则 因为为棱上一动点在上,所以设,‎ 所以,解得,‎ 所以,,‎ 设平面的法向量为,则,‎ 所以 得,令,则,‎ 所以 设平面的法向量为,则 所以,‎ 令,则,得,‎ 所以,‎ 所以,‎ 解得,‎ 所以当点E在的中点时,二面角的余弦值为 ‎19.近年来,我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇,但是电子商务行业由于缺乏监管,服务质量有待提高.某部门为了对本地的电商行业进行有效监管,调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额(单位:万元),得到如下茎叶图:‎ 甲 乙 ‎7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎13‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎(1)根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些?‎ ‎(2)为了综合评估本地电商的销售情况,从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两天的销售数据,其中销售额不低于120万元的天数分别记为,令,求随机变量Y的分布列和数学期望.‎ 解:(1)设甲、乙电商连续十天的销售额的平均数分别为,方差分别为 ‎(万元)‎ ‎(万元)‎ 由,所以甲电商对这种产品的销售谁更稳定.‎ ‎(2)由题意的所有可能取值为0,1,2,的所有可能取值为0,1,2,‎ 由,所以随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3,4‎ 其中甲电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有5天.‎ 乙电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有6天.‎ ‎, ,‎ ‎, ,‎ ‎.‎ 则随机变量Y的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 则随机变量Y的数学期望为 ‎20.已知椭圆的离心率为,过定点的直线l与椭圆E相交于A,B两点,C为椭圆的左顶点,当直线l过点时,(O为坐标原点)的面积为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)求证:当直线l不过C点时,为定值.‎ ‎(1)解:由题意,设,,直线的方程为,‎ 由,即,‎ 将点代入中,得,故,‎ 又点在椭圆上,解得,‎ 因椭圆的离心率,故,,‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(2)证明:由题意,设直线的方程为,设,,‎ 联立,消去得,‎ 所以,,‎ 当直线不过时,直线的斜率,直线的斜率,‎ 所以,‎ 即直线与直线垂直,故为定值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数零点的个数;‎ ‎(2)若函数存在两个零点,证明:.‎ 解:(1)有题意得 由得,得,‎ 所以在上单调递增,在上单调递减.‎ 时,取得极大值,也是最大值为,‎ 所以当,即时,函数无零点.‎ 当,即时,函数有1个零点.‎ 当,即时,‎ ‎,设,‎ 在恒成立,‎ 在单调递减,,‎ 所以,在,各有一个零点,‎ 函数有2个零点.‎ 综上所述:时,函数无零点.‎ 时,函数有1个零点.‎ 时,函数有2个零点.‎ ‎(2)由(1),即时,‎ 有两个零点,(),则,,‎ 由,得,‎ 令,则,,,‎ ‎,显然成立,‎ 要证,即证,‎ 只要证,即证,(),‎ 令,,‎ ‎,,‎ 令,则,,令,‎ ‎,,‎ 令,‎ ‎,时,是减函数,‎ 所以时,,‎ 所以是减函数,,即(),‎ 所以是减函数,,‎ 所以,在时是减函数,‎ ‎,即,‎ 所以在上是减函数,,‎ 所以,即,‎ 综上,成立.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎22.已知圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求直线l被圆C截得弦的长.‎ 解:(1)(为参数),,‎ 圆C普通方程;‎ ‎,‎ 又代入上式得:.‎ 直线l的直角坐标方程.‎ ‎(2)圆的圆心坐标为,设圆心到直线的距离为,‎ ‎,‎ 弦长.‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)若,求实数x的取值范围;‎ ‎(2)若对于任意实数x,不等式恒成立,求实数a的值范围.‎ 解:(1)由题,;当时,,解得;‎ 当时,恒成立,解得;‎ 当时,,解得.综上有.‎ 故实数x的取值范围为 ‎(2)因为,当时,;‎ 当时,;当时,.‎ 故的最小值为.‎ 故,即,解得.‎ 故实数a的值范围为.‎
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