2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高二上学期期中考试数学试题 解析版

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绝密★启用前 浙江省杭州市八校联盟2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：记直线的倾斜角为，∴，故选B.‎ 考点：直线的倾斜角.‎ ‎2．若关于的不等式的解集为，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解集可知方程的两根为，利用根与系数的关系即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为不等式的解集为，‎ 所以方程的两根为，‎ 所以，即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的解集与对应方程的根的关系，属于中档题.‎ ‎3．若三点共线，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三点共线可知，列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为三点共线，‎ 所以，即，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三点共线问题，属于中档题.‎ ‎4．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：取的中点，则由三角形的中位线的性质可得平行且等于的一半，故或其补角即为异面直线与所成的角．设正方体的棱长为1，则，，故为等边三角形，故∠EGH=60°。‎ 考点：空间几何体中异面直线的所成角．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想．取的中点，由三角形的中位线的性质可得或其补角即为异面直线与所成的角．判断 为等边三角形，从而求得异面直线与所成的角的大小．‎ ‎5．在中，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：直接利用余弦定理求解即可．‎ 详解：：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，‎ AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，‎ 可得：13=9+AC2+3AC，‎ 解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．‎ 故选：D．‎ 点睛：对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.‎ ‎6．若，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件采用排除法即可选出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A,当时显然无意义，故不成立 ，错误；对于B, 时不成立，故错误；对于C,时显然不成立，故错误；因此选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质，注意使用排除法，属于中档题.‎ ‎7．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列通项公式可求出公比，代入计算即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由得：，所以，‎ ‎ ，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式，前n项和，属于中档题.‎ ‎8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知该几何体为正方体上有半个四棱锥的组合体，利用体积公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知该几何体为正方体上有半个四棱锥的组合体,‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三视图，棱柱、棱锥的体积公式，属于中档题.‎ ‎9．已知三内角所对边分别为，若成等差数列,则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据成等差数列，可知,利用正弦定理可知,化简即可证明.‎ ‎【详解】‎ 因为成等差数列 所以，‎ 由正弦定理知 因为，‎ 所以,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，三角恒等变化，等差数列，属于中档题.‎ ‎10．如图,四棱锥的底面是平行四边形,、分别为 线段、上一点，若,且平面，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取PC的中点E,连接AE,EN,AC交BD于O,连接MO，可证明,从而可得平面平面，进而证出，从而可知,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 取PC的中点E,连接AE,EN,AC交BD于O,连接MO，‎ 因为，PC的中点E 所以,又O是的中点，‎ 所以， 又平面，平面，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以 平面平面，‎ 因为平面PBC交平面，平面，且交线分别是，‎ 所以，‎ 所以 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．已知正方体的表面积为，则其外接球的表面积是_____，体积是_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的体对角线为外接球直径计算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为已知正方体的表面积为，所以棱长为2，‎ 正方体的对角线为 ，即，‎ 所以 ，‎ 所以表面积为，体积 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正方体的外接球，球的表面积、体积，属于中档题.‎ ‎12．在中，，当的面积等于时， __， __.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面积公式可求出AB,再由余弦定理求b,利用正弦定理即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由正弦定理知，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理、余弦定理，属于中档题.‎ ‎13．已知直线，则直线过定点_____，当变动时，原点到直线的距离的最大值为_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，可知过定点，原点到直线最大距离为 与原点距离.‎ ‎【详解】‎ 由可得 所以直线恒过点，‎ 在所有过点的直线中，当与原点和的连线垂直时，原点到直线的距离最大，‎ 最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线系过定点问题，属于中档题.‎ ‎14．已知数列满足，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推关系，属于中档题.‎ ‎15．已知正数满足，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ，‎ 因为 ，所以 ‎ 实数c的取值范围是.‎ ‎16．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点分区间讨论即可求出.‎ ‎【详解】‎ 当时，原不等式可得，化简为有解即可，而，所以只需有解，‎ 当时，原不等式可得 ，可化为，因为 为减函数，所以，所以只需即可，‎ 当时，不等式无解 当时，不等式可转化为有解，所以即可，‎ 当 时， 等式可转化为有解，所以即可，‎ 综上可知， ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对不等式，均值不等式，函数的增减性，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知直线与相交于点，求满足下列条件的直线方程：‎ ‎(Ⅰ)过点且过原点的直线方程；‎ ‎(Ⅱ)过点且平行于直线的直线方程.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）联立直线方程求出点P，写出直线方程即可（II）设所求直线方程为,代入点P即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由 ‎ 过点与原点的直线方程为： ‎ ‎(Ⅱ) 设所求直线方程为 由点可得 ‎ 所求的直线方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程，直线的交点，平行的直线方程的求法，属于中档题.‎ ‎18．已知等差数列满足.‎ ‎(Ⅰ) 求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设等比数列满足，问：是数列中的第几项？‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据等差数列的通项公式列方程计算即可（II）根据等比数列通项公式计算，再利用等差数列通项公式确定在等差数列中的项数.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)设公差为， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ‎ 公比 ‎ 令 ‎ 即为中的第项 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式，属于中档题.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，满足.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若，试求的面积的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎【答案】（I）；（II）等边三角形.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由正弦定理可化条件为，利用三角恒等变换即可求解（II）利用余弦定理及均值不等式可得，结合面积公式即可求出最值，根据等号成立条件知三角形形状.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由 ‎ 又 ‎ 由 ‎ ‎(Ⅱ)由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即最大值为，当且仅当时，取得最大值，‎ 此时为等边三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，均值不等式，面积公式，属于中档题.‎ ‎20．如图，已知平面，,是边长为2的等边三角形，为的中点，且；‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面平面；‎ ‎(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）取中点，连，证明四边形为平行四边形，即可（II）可证平面即可（III）根据条件可知为直线与平面所成角，解三角形即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)证明：取中点，连 ‎ 为的中点， 且 ‎ 又 且 四边形为平行四边形，‎ ‎ ，又平面，平面 ‎ 平面；‎ ‎(Ⅱ)证明： 为的中点，是边长为2的等边三角形 ‎ ‎ ‎ 平面,平面,‎ ‎ ,又 ‎ 平面, 平面 平面平面；‎ ‎(Ⅲ) 平面,‎ ‎ 平面,‎ ‎ 为斜线在平面上的射影，‎ ‎ 为直线与平面所成角, ‎ 在中，由条件易求得 ‎ ‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质与判定，线面角，属于中档题.‎ ‎21．已知数列的前项和满足，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设，证明：.‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用数列前n项和与的关系即可求解(Ⅱ)写出，转化为证，利用放缩法证明.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由 ‎ 当时， ‎ ‎ ‎ 又 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ‎ ‎ ‎ 欲证，‎ 只需证 ‎ 令，记的前项和为，即证 ‎ ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 综上，对成立 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列前n项和与项的关系，等比数列的定义，放缩法证明不等式，属于难题.‎