数学（理）卷·2018届福建省师大附中高二下学期期末考试（2017-07）
福建师大附中2016-2017学年第二学期期末考试卷
命题人：黄晓滨
审核人：江 泽
高二数学 (理科)
本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.
第I卷 共60分
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1．已知随机变量服从正态分布则（ ）
A.0.89 B.0.78 C.0.22 D. 0.11
2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A. 100 B.200 C.300 D. 400
3．已知函数在点处的切线为，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
4．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
6． 若，且，则实数m的值为（ ）
A. 1 B. -1或3 C. -3 D. 1或-3
7． 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）
A．－7 B．-28 C．7 D．28
8．设,且,若能被13整除,则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
9．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）
A.12 B.24 C.30 D.36
10． 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命
超过1000小时的概率为（ ）
A. B. C. D.
11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道自己的成绩 D．乙、丁可以知道对方的成绩
[
Zxx
k12．已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1–pi，i=1，2． 若0
C．>，< D．>，>
第Ⅱ卷 共90分
二、填空题：本大题有6小题，每个空格5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.
13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则___________．
14．的展开式中，含的项的系数为_____．
15．为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，
据此估计其身高___．
质量指标值
0.012
0.004
0.019
0.030
15
25
35
45
55
65
75
85
0
频率
组距
16．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，则数学期望为__．
17．已知数列为等差数列，则有
类似上三行,第四行的结论为___．
第16题图
18．下列说法中，正确的有___．（写出正确的所有序号）
① 用数学归纳法证明“，在验证时，左边的式子是；
② 用数学归纳法证明的过程中，由推导到 时，左边增加的项为，没有减少的项；
③ 演绎推理的结论一定正确；
④ 的二项展开式中，共有4个有理项;
⑤ 从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1
张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是．
三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（本小题满分12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
附：，
20.（本小题满分12分）
设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N）.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
21.（本小题满分12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
22．（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。
23．（本小题满分12分）
已知函数有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
福建师大附中2016-2017学年高二下理科数学期末考试卷解答
一、选择题：DBCCA； DCDCD; CA
二、填空题：
13． ; 14． -196 ; 15． ; 16．
17．； 18．④⑤
三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（本小题满分12分）
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）分别令，2，3，得
∵，∴，，.
（Ⅱ）猜想：.以下用数归证明，
1） 当时，符合猜想；
2）假设当（≥1）时，.
那么当时，
，
∵，≥1，∴，
∴.
这就是说，当时也成立，
由（1），（2）可知 ∴（≥1）
故对于n∈N，均有
21.（本小题满分12分）
解：（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此.
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此.
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
22．（本小题满分12分）
【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=，…6分
（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且
P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，
∴X的分布列为
X
400
500
800
P
……10分
EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分
23．（本小题满分12分）
（1）证明：的定义域为，．
①当时，，所以函数在区间上是增函数，不可能有两个零点；
②当时，在区间上，，在区间上；
所以在区间上递减，在区间上递增．
的最小值为，
且当时，；当时，；（或）
依题意得，有，则．
（2）证明：要证，只要证，易知，．
而在区间上是增函数，所以只要证明，
即证，
设函数，，而，并且在区间上，
即在区间上是减函数，所以．
而，所以成立，
所以．
