【数学】2019届一轮复习人教A版基本不等式(1)学案
6.3 基本不等式
[知识梳理]
1．基本不等式
设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
3．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)2≤(a，b∈R)，
2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．
(5)≥≥ab(a，b∈R)．
(6)≥≥≥(a>0，b>0)．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(3)函数f(x)＝sinx＋的最小值为2.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(必修A5P99例1(2))设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
答案 C
解析 由基本不等式18＝x＋y≥2⇔9≥⇔xy≤81，当且仅当x＝y时，xy有最大值81，故选C.
(2)(必修A5P100A组T2)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
答案 15
解析 设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
3．小题热身
(1)下列不等式一定成立的是( )
A．lg >lg x(x>0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析 取x＝，则lg ＝lg x，故排除A；取x＝π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.应选C.
(2)已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则xy的最大值为________．
答案
解析 ∵2xy≤2＝，
∴xy≤.∴xy的最大值为.
题型1 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用
(2018·沈阳模拟)已知a＞b＞0，求a2＋的最小值．
直接应用基本不等式．
解 ∵a＞b＞0，∴a－b＞0.
∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b，a2＝2，a＞b＞0，即a＝，b＝时取等号．
∴a2＋的最小值是4.
角度2 变号应用
求f(x)＝lg x＋的值域．
注意分类讨论．
解 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
当0＜x＜1时，lg x＜0，
∴－f(x)＝－lg x＋≥2，即f(
x)≤－2.
当x＞1时，lg x＞0，
f(x)＝lg x＋≥2(当且仅当x＝10时等号成立)．
综上f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
角度3 寻求定值应用
求f(x)＝4x－2＋的最大值．
配凑成积定的式子．
解 因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
角度4 常量代换法求最值(多维探究)
(2015·福建高考)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
注意巧用1的代换．
答案 C
解析 因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，
所以＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
[条件探究] 将典例条件变为“x＞0，y＞0且＋＝1”，求x＋y的最小值．
解 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9且x＝.
∴x＋y＝＋y＝y＋
＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10.
∵y＞9，∴y－9＞0.
∴y－9＋＋10≥2＋10＝16.
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法技巧
利用基本不等式求最值的方法
1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例．
冲关针对训练
1．已知a＞0＞b＞－1，且a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ＋＝a＋＋＝a＋＋b＋1－2＋，又a＋b＝1，a＞0，b＋1＞0，所以a＋＋b＋1－2＋＝＋＝·＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝4－2，b＝2－3时取等号，所以＋的最小值为，故选D.
2．(2018·广西三市调研)已知m，n为正实数，向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若a∥b，则＋的最小值为________．
答案 3＋2
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即m＋n＝1，又m，n为正实数，∴＋＝(m＋n)＝＋＋3≥2＋3＝3＋2，当且仅当
即时，取等号.
题型2 基本不等式的综合应用
角度1 利用基本不等式比较大小
已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x，若0＜a＜b，P＝f，Q＝f()，R＝f，则( )
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
答案 D
解析 f′(x)＝－1＝(x＞－1)，由f′(x)>0解得－1
0，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
当0＜a＜b时，0＜＜＜，∴Q＝f()＞P＝f＞R＝f.故选D.
角度2 利用基本不等式证明不等式
已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.
左边因式分别使用基本不等式．
证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以
－1＝＝>，①
－1＝＝>，②
－1＝＝>，③
又x，y，z为正数，由①×②×③，得·>8.
角度3 基本不等式中的恒成立问题
(2018·太原模拟)正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
用转化法．
答案 D
解析 a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥16，故只需－x2＋4x＋18－m≤16，得x2－4x＋m－2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m－2)≤0，解得m≥6.故选D.
角度4 基本不等式与其他知识的综合问题
已知直线l：x＝my＋2(m∈R)与x轴的交点是椭圆C：＋y2＝1(a>0)的一个焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C的左焦点为F1，是否存在m使得△ABF1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
根据题意得出三角形面积表达式，求最值时，用基本不等式法．
解 (1)易知直线l：x＝my＋2与x轴的交点坐标为(2,0)，∴椭圆C：＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)存在．
将x＝my＋2代入＋y2＝1并整理得(m2＋5)y2＋4my－1＝0，
Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
y1y2＝，
∴|AB|＝·＝·，
∵椭圆C的左焦点为F1(－2,0)，
∴F1到直线l的距离d＝＝，
∴S△ABF1＝···＝4·＝4·＝4·
≤4·＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±时，S△ABF1取得最大值．
∴存在m＝±使得△ABF1的面积最大．
方法技巧
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1典例，结合函数的单调性进行大小的比较．
2．证明不等式的成立性，如角度2典例．
3．利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如角度3典例．
4
．与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如角度4典例中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值．
冲关针对训练
(2017·广西模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.
证明 (1)＋＋＝＋＋＝2.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8.
(2)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9.
题型3 基本不等式在实际问题中的应用
某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16
万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
由题意得出函数解析式，求最值时用基本不等式法．
解 (1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－.
由题意可知每件产品的销售价格为1.5×(元)，
∴2017年的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．
(2)∵当m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．
方法技巧
利用基本不等式求解实际问题的求解策略
1．根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
2．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
4
．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．
冲关针对训练
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．
解 (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．
设每天所支付的总费用为y1元，则
y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800
＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则
y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90＝＋9x＋9729(x≥35)．
由对勾函数的性质易知f(x)＝x＋在[10，＋∞)上单调递增，故当x＝35时，y2取得最小值，约为10069.7，此时y1＞y2，所以该厂可以考虑接受此优惠条件．
1.(2017·广东清远一中一模)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
A．16 B．9
C．6 D．1
答案 C
解析 ∵正数a，b满足＋＝1，
∴a＋b＝ab，＝1－＞0，＝1－＞0，
∴b＞1，a＞1，
则＋≥2＝2＝6，
∴＋的最小值为6.故选C.
2．(2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
答案 C
解析 由lg a＋lg b＝lg (a＋b)得lg (ab)＝lg (a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.故选C.
3．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案 30
解析 一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
4．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a，b∈R，ab＞0，
∴≥＝4ab＋≥2 ＝4，
当且仅当即时取得等号．
故的最小值为4.
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一、选择题
1．若x＞0，则x＋的最小值是( )
A．2 B．4
C. D．2
答案 D
解析 由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝时取等号，故最小值是2.故选D.
2．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
答案 C
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.故选C.
3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
答案 A
解析 因为对任意x>0，≤a恒成立，
所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，
＝≤＝，
当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥.故选A.
4．在方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)
任取一点P(x，y)，则z＝xy的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根据题意如图所示，要保证z最大，则P应落在第一或第三象限内，不妨设P点落在线段AB上，故z＝xy＝x(1－x)≤2＝，当且仅当x＝时，等号成立，故z的最大值为.故选C.
5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
答案 C
解析 由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1.故选C.
6．(2017·浙江考试院抽测)若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 对于x2＋3xy－1＝0可得y＝，
∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．故选B.
7．已知实数a>0，b>0，且ab＝1，若不等式(x＋y)·>m，对任意的正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，4] D．(－∞，4)
答案 D
解析 因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．故选D.
8．(2017·忻州一中联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是( )
A. B.
C．2＋ D．2－
答案 A
解析 an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
∴＝＝
≥＝，
当且仅当n＝4时取等号．
∴的最小值是.故选A.
9．(2018·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．4 B.
C．8 D．9
答案 D
解析 ∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，
若A，B，C三点共线，则有∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，
又a>0，b>0，
∴＋＝·(2a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.
10．(2018·河南洛阳统考)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为( )
A.＋2 B.－2
C．2＋2 D．2－2
答案 B
解析 由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，
则≤＝，
且4ac－4a2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，则t≥0.
当t＞0时，≤＝≤＝－2，当t＝0时，＝0，故的最大值为－2.故选B.
二、填空题
11．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
答案 160
解析 设底面的相邻两边长分别为x m，y m，总造价为T元，则V＝xy·1＝4⇒xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160.(当且仅当x＝y时取等号)
故该容器的最低总造价是160元．
12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝4
，则＋的最小值为________．
答案
解析 ∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，
∴＋
＝[(a＋1)＋(b＋3)]
＝
≥(2＋2)＝，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，
∴＋的最小值为.
13．(2018·泰安模拟)正实数a、b满足＋＝6，则4a＋5b的最小值是________．
答案
解析 正实数a、b满足＋＝6，
令a＋2b＝m,2a＋b＝n，则正数m，n满足＋＝6，
则4a＋5b＝2m＋n＝(2m＋n)·
＝≥＝，
当且仅当＝即m＝n＝时取等号，
此时a＝b＝，故4a＋5b的最小值为.
14．已知x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋by(a，b＞0)的最大值为4，则＋的最小值为________．
答案 3＋2
解析 画区域如图，
易知目标函数在点A处取得最大值，由
解得所以2a＋2b＝4，即a＋b＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即时，取等号．
故＋的最小值为3＋2.
三、解答题
15．(2017·太原期末)如图，围建一个面积为100 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．
解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为米，
∴y＝56x＋×200＝256x＋－400(x＞0)．
(2)由(1)得y＝256x＋－400
≥2－400＝6000，
当且仅当256x＝时，等号成立，
即当x＝米时，y取得最小值6000元．
16．(2018·南昌模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x2＋(1＋p)x＋p＋2＝0的两个实根，c＝4.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC面积的取值范围．
解 (1)由题意得tanA＋tanB＝－1－p，tanA·tanB＝p＋2，所以tan(A＋B)＝＝＝1，
故△ABC中，A＋B＝，所以C＝.
(2)由C＝，c＝4及c2＝a2＋b2－2abcosC，
可得42＝a2＋b2－2ab×，
整理得16＝a2＋b2＋ab，即16－ab＝a2＋b2，
又a>0，b>0，所以16－ab＝a2＋b2≥2ab，
得ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
所以△ABC的面积S＝absinC＝×ab×≤××＝＝4－4，
所以△ABC面积的取值范围为(0,4－4]．
