2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（Word版）

2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（Word版）

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题 数 学(文科)‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合,，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若函数满足，则等于 （ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎3．曲线在点处的切线的倾斜角是( )‎ A．－45° B．45° C．135° D．45°或135°‎ ‎4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )‎ A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c ‎5．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．用反证法证明命题“可被5整除，那么中至少有一个是5的倍数”‎ 时，反设正确的是( )‎ A．都是5的倍数 B．都不是5的倍数 C．不是5的倍数 D．中有一个是5的倍数 ‎7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．定义在上的奇函数满足，且在上，则 ‎（ ）‎ A. B． C. D. ‎ ‎9．已知函数＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )‎ ‎10．若函数f(x)＝是上的减函数，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎11.设函数在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知幂函数，，则的表达式是________． ‎ ‎14．函数y＝log2|x＋1|的单调递增区间为________． ‎ ‎15．在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”‎ ‎；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ________． ‎ ‎16．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间，在四面体中，有 ______ （用文字叙述）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. (本小题满分10分)计算：‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知函数,‎ ‎(1)求函数的单调增区间；‎ ‎(2)若函数在区间[-4,4]上的最大值为26,求的值.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)，f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝＋a是奇函数．‎ ‎(1)求a的值和函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)解不等式f(－m2＋2m－1)＋f(m2＋3)＜0.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；‎ ‎(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．‎ ‎22. (本小题满分12分) ‎ 已知函数（,）有两个不同的零点，．‎ ‎（1）求的最值；‎ ‎（2）证明：．‎ 兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题 数 学(文科)‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合,，则（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若函数满足，则等于 （ A ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎3．曲线在点处的切线的倾斜角是( B )‎ A．－45° B．45° C．135° D．45°或135°‎ ‎4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( D )‎ A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c ‎5．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．用反证法证明命题“可被5整除，那么中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是( B )‎ A．都是5的倍数 B．都不是5的倍数 C．不是5的倍数 D．中有一个是5的倍数 ‎7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( C )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．定义在上的奇函数满足，且在上，则（ D ）‎ A. B． C. D. ‎ ‎9．已知函数＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图像如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图像是( C )‎ ‎10．若函数f(x)＝是上的减函数，则实数a的取值范围是( C )‎ A. B. C. D. ‎11.设函数在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是( A )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ A ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知幂函数，，则的表达式是________． ‎ ‎14．函数y＝log2|x＋1|的单调递增区间为________．‎ ‎15．在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,‎ 四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 ________．甲 ‎ ‎16．在三角形中，有结论：“任意两边之和大于第三边”，类比到空间，在四面体中，有 ______ （用文字叙述）任意三面面积之和大于第四面面积 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. (本小题满分10分)计算：‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ‎ 答案：（1）原式＝＝2.‎ ‎（2）原式＝lg 10－3＋ln e＋2＝－3＋＋＝－1.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知函数,‎ ‎(1)求函数的单调增区间.‎ ‎(2)若函数在区间[-4,4]上的最大值为26,求的值.‎ 解: (1)，则，令，即 ‎，解得，所以函数的单调增区间为.‎ ‎(2)由函数在区间[-4,4]内的列表可知:‎ ‎-4‎ ‎(-4,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,3)‎ ‎3‎ ‎(3,4)‎ ‎4‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 递减 极小值 递增 极大值 递减 函数在(-4,-1)和(3,4)上分别是减函数,在(-1,3)上是增函数,又因为,,所以,‎ 所以是在[-4,4]上的最大值,所以,即.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)，f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2.‎ 由得x∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ ‎∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，[]‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝＋a是奇函数．‎ ‎(1)求a的值和函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)解不等式f(－m2＋2m－1)＋f(m2＋3)＜0.‎ 解：(1)因为函数f(x)＝＋a是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＋a＝－a，即＝，从而有1－a＝a，解得a＝.‎ 又2x－1≠0，所以x≠0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎(2)由f(－m2＋2m－1)＋f(m2＋3)＜0，得f(－m2＋2m－1)＜－f(m2＋3)，因为函数f(x)为奇函数，所以f(－m2＋2m－1)＜f(－m2－3)．‎ 由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m2＋2m－1＜0，－m2－3＜0，所以－m2＋2m－1＞－m2－3，且解得m＞－1，且，所以不等式的解集为 ．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；‎ ‎(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由已知得＝，∴＝1＝a，a＝2.‎ 又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.‎ ‎(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴ ＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞).∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.‎ 故实数m的取值范围是(－∞，2].‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知函数（,）有两个不同的零点，．‎ ‎（1）求的最值；‎ ‎（2）证明：．‎ 解：（1）， 有两个不同的零点，‎ ‎∴在内必不单调，故，此时，解得，‎ ‎∴在上单增， 上单减，‎ ‎∴，无最小值．‎ ‎（2）由题知两式相减得，即，‎ 故要证，即证，即证，‎ 不妨设，令，则只需证，‎ 设，则，‎ 设，则，∴在上单减，‎ ‎∴，∴在上单增，‎ ‎∴，即在时恒成立，原不等式得证．‎