2021高考数学一轮复习课后限时集训6函数的奇偶性与周期性理北师大版

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2021高考数学一轮复习课后限时集训6函数的奇偶性与周期性理北师大版

课后限时集训6‎ 函数的奇偶性与周期性 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(  )‎ A.e-x-1     B.e-x+1‎ C.-e-x-1 D.-e-x+1‎ D [当x<0时,-x>0,‎ ‎∵当x≥0时,f(x)=ex-1,∴f(-x)=e-x-1.‎ 又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-e-x+1.‎ 故选D.]‎ ‎2.函数f(x)=的图像(  )‎ A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=x对称 B [因为f(x)==3x+3-x,易知f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图像关于y轴对称.]‎ ‎3.下列函数为奇函数的是(  )‎ A.f(x)=x3+1     B.f(x)=ln C.f(x)=ex D.f(x)=xsin x B [对于A,f(-x)=-x3+1≠-f(x),所以其不是奇函数;对于B,f(-x)=ln =-ln =-f(x),所以其是奇函数;对于C,f(-x)=e-x≠-f(x),所以其不是奇函数;对于D,f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以其不是奇函数.故选B.]‎ ‎4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则f(-7)=(  )‎ A.3 B.-3‎ C.2 D.-2‎ B [因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 5‎ 且f(x)= 所以f(-7)=-f(7)=-log2(7+1)=-3.]‎ ‎5.(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,则函数f(x)的值域为(  )‎ A.(-1,1) B.(-2,2)‎ C.(-3,3) D.(-4,4)‎ A [法一:由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),所以a-=-a+,得‎2a=+,所以a=+=1,所以f(x)=1-.因为ex+1>1,所以0<<1,-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).‎ 法二:函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,所以f(0)=a-1=0,即a=1,所以f(x)=1-.因为ex+1>1,所以0<<1,-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).]‎ 二、填空题 ‎6.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=ln x,则f的值为________.‎ ln 2 [由已知可得f =ln =-2,‎ 所以f=f(-2).‎ 又因为f(x)是偶函数,‎ 所以f=f(-2)=f(2)=ln 2.]‎ ‎7.已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x+2)=,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(2 019)=________.‎ ‎3 [由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]===f(x).故函数f(x)的周期为4.所以f(2 019)=f(4×504+3)=f(3)=3.]‎ ‎8.已知函数f(x)=x+-1,f(a)=2,则f(-a)=________.‎ ‎-4 [法一:因为f(x)+1=x+,‎ 5‎ 设g(x)=f(x)+1=x+,‎ 易判断g(x)=x+为奇函数,‎ 故g(x)+g(-x)=x+-x-=0,‎ 即f(x)+1+f(-x)+1=0,故f(x)+f(-x)=-2.‎ 所以f(a)+f(-a)=-2,故f(-a)=-4.‎ 法二:由已知得f(a)=a+-1=2,‎ 即a+=3,所以f(-a)=-a--1=--1=-3-1=-4.]‎ 三、解答题 ‎9.f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式.‎ ‎[解] 当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.‎ 由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),‎ 所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.‎ 因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.‎ 综上可得f(x)的解析式为 f(x)= ‎10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.‎ ‎(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;‎ ‎(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.‎ ‎[解] (1)证明:由f=-f,‎ 且f(-x)=-f(x),‎ 知f(3+x)=f ‎=-f=-f(-x)=f(x),‎ 所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.‎ ‎(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,‎ 且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.‎ 5‎ ‎1.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=‎ ‎(  )‎ A.ex-e-x B.(ex+e-x)‎ C.(e-x-ex) D.(ex-e-x)‎ D [因为f(x)+g(x)=ex,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x,所以g(x)=(ex-e-x).]‎ ‎2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(  )‎ A.6   B.7 ‎ C.8   D.9‎ B [因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1),‎ 所以当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1.‎ 由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,即x3=2,x4=3;当4≤x≤6时,f(x)=0有三个根,即x5=4,x6=5,x7=6,故f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.]‎ ‎3.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)=________.‎ ‎2 [∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,‎ ‎∴f(-x+1)=f(x+1),‎ f(x)=-f(-x),f(0)=0,‎ ‎∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),‎ ‎∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数,则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,‎ ‎∴f(4)+f(5)=0+2=2.]‎ ‎4.已知函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)设x<0,则-x>0,‎ 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.‎ 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),‎ 5‎ 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.‎ ‎(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,‎ 结合f(x)的图像(如图所示)知所以1<a≤3,‎ 故实数a的取值范围是(1,3].‎ ‎1.定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)的值等于(  )‎ A.403  B.405 ‎ C.806  D.809‎ B [定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.当x∈(-3,0]时,f(x)=-x-1,所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=403×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)=403×1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=403+0+1+1+0=405.]‎ ‎2.已知函数f(x)=log2(-x)是奇函数,则a=________,若g(x)=则g(g(-1))=______.‎ ‎1  [由f(x)=log2(-x)得-x>0,则a>0,所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=log2=0,解得a=1.所以g(-1)=f(-1)=log2(+1)>0,g(g(-1))=2-1=.]‎ 5‎
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