2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知i是虚数单位，则=（ ）‎ A．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据题意，由于，故可知选D.‎ ‎【考点】复数的运算 点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．‎ ‎2．用反证法证明命题“关于的方程有且只有一个解”时，反设是关于的方程（ ）‎ A．无解 B．有两解 C．至少有两解 D．无解或至少有两解 ‎【答案】D ‎【解析】由原结论词“只有唯一”的含义即可得出.‎ ‎【详解】‎ 因为“只有唯一”的反设是“无解或至少两种解”.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法的反证条件，主要是理解原结论词和反设词即可.‎ ‎3．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：通过图形可以看出，中间的每一个数都等于其肩上的两个数之和，所以a=3+3=6,故答案为C.‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎4．若变量满足则的最大值是 A．90 B．80 C．70 D．40‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 解：满足约束条件的平面区域如下图示：‎ 由图可知，当x＝10，y＝20时，‎ z＝3x+2y有最大值70‎ 故选：C．‎ ‎5．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由焦距为排除选项；由双曲线的一条渐近线与直线垂直排除选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的焦距为，‎ 所以,,可排除选项；‎ 因为的渐近线方程为，不与直线垂直，可排除选项，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的几何性质以及排除法的应用，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.‎ ‎6．右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：‎ 由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是 ‎【考点】程序框图 ‎7．函数的图象大致是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 ‎【详解】‎ 当时，‎ 故函数图像过原点，排除 又，令 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有符合要求 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．‎ ‎8．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 则下列说法正确的是（ ）‎ A．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ B．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件中求出的观测值，同观测值表中的进行检验，即可得出结轮.‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题所给的观测值，‎ ‎.‎ 即有0.010=1%的机会错误，‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，只要我们看出观测值对应的意义即可．‎ ‎9．函数的图象恒过点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）‎ A．16 B．18 C．20 D．22‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．‎ ‎【详解】‎ 由题可知，函数，且的图象恒过定点，‎ 令，求得，，可得．‎ 因为点在直线上，‎ 所以，即．‎ 因为，则 ‎，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 故的最小值为18，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，以及对数函数图象过定点问题，巧妙化“1”是解题的关键．‎ ‎10．如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 因为在区间，上是“凸函数”，‎ 所以 得 即：的最大值是 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．‎ ‎11．已知，动圆与定圆：相外切，与：相内切，则的最大值为（ ）‎ A．4 B． C． D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用两圆外切和内切的性质，可求出的轨迹为椭圆，结合椭圆的定义得,再用三角形两边之差小于第三边，求出即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 已知动圆与定圆：相外切，与：相内切，‎ 可设动圆的半径为，有：，.‎ 则，‎ 所以的轨迹是以为焦点长轴长的椭圆.‎ 得点的轨迹方程为.‎ 又因为，则，‎ 而是椭圆上一点，‎ 则=‎ 所以：‎ ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义和标准方程，以及两个圆的外切和内切的性质和三角形边长性质.‎ ‎12．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项. 由得，即，排除B选项.由得，即，排除C，选项. 由得，即，D选项正确，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则______.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】根据椭圆方程得出，再根据和离心率，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，，而所以 又因为：所以，‎ 即：，解得，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程和离心率，属于简单题.‎ ‎14．已知数列满足，，则 ；‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】,‎ ‎.‎ ‎15．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在 中，利用锐角三角函数，求出.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，‎ 在中，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.‎ ‎16．已知函数，当有最大值，且最大值大于时，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的定义域为， ∴， 若，则，∴函数在上单调递增， 在上无最大值； 若，则当时， ，当时， ，所以在上单调递增，在上单调递减，故在取得最大值，最大值为，∵，∴， 令，∵在单调递增， ，‎ ‎∴当时， ，当时， ，∴的取值范围为，故答案为.‎ 点睛：本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题；先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性，根据单调性求出函数的最大值，再构造函数，根据函数的单调性即可求出的范围.‎ 三、解答题 ‎17．等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．‎ 由已知得，‎ 解得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．‎ 所以 ‎．‎ ‎【考点】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．‎ ‎18．在锐角中， ， ， 为内角，，的对边，且满足．‎ ‎（）求角的大小．‎ ‎（）已知，边边上的高，求的面积的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（）由，利用正弦定理和三角函数的恒等变换，‎ 可得，即可得到角的值；‎ ‎（）由三角形的面积公式，代入，解得的值，及的值，再根据余弦定理，求得的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积.‎ 试题解析：‎ ‎（）∵，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∵且，∴，‎ ‎∵，．‎ ‎（）∵，‎ 代入，，，得，‎ 由余弦定理得：，‎ 代入，得，‎ 解得，或，‎ 又∵锐角三角形，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎19．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：‎ ‎（Ⅰ）利用散点图判断，和（其中，为大于的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（Ⅱ）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：‎ 根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知企业年利润（单位：千万元）与，的关系为（其中），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，‎ ‎【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型；‎ ‎（Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；‎ ‎（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．‎ ‎（Ⅱ）对两边取对数，得，即 由表中数据得：，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴年研发费用与年销售量的回归方程为. ‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，‎ ‎∴，‎ 令，得，‎ 且当时，,单调递增；‎ 当时，,单调递减． ‎ 所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.‎ 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线交于 两点，且. ‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若平行于的直线与抛物线相切于点，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】(1)设出AB两点坐标,根据抛物线性质将AB长度转化为AB横坐标的关系式.‎ 设出直线AB方程,联立抛物线方程,根据韦达定理得到横坐标和的关系,计算可得答案.‎ ‎(2)设出直线方程,联立抛物线方程,由于相切,得到P点坐标.计算得到面积 ‎【详解】‎ 解：（1）因为过焦点，所以，抛物线的准线方程为，‎ 设点坐标分别是，，‎ 则，‎ 设直线方程为，代入抛物线方程得，‎ 即，则，，所以，‎ 抛物线方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，‎ 消去得：（），‎ 由直线与抛物线相切得，且，‎ 所以，代入方程（）得，‎ 所以切点的坐标为，而直线的方程为，‎ 点到直线的距离，‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和抛物线的应用,弦长公式,相切问题,” 设而不求” 是关键,主要考查学生的计算能力.‎ ‎21．已知函数，曲线在点的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值，并求的极值.‎ ‎（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），，无极小值.（2）存在，3‎ ‎【解析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得，列出方程求出的值，代入函数解析式和导数，分别求出、对应的的范围，即求出函数的单调区间；‎ ‎（2）先将分离出，构造函数，再求出此函数的导数并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出的单调性，从而求出的最大值，再由自变量的范围确定出的最大值的范围，从而求出满足条件的的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，所以，‎ 又由切线方程可得，即，解得，所以，‎ 所以，令，解得，‎ 当时，，的的变化情况如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 所以，无极小值.‎ ‎（2）若对任意恒成立，则，‎ 记，只需.又，‎ 记，则，所以在上单调递减.‎ 又，，‎ 所以存在唯一，使得，即，‎ 当时，，，的变化情况如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 所以，又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，所以，又，‎ 所以，因为，即，且，‎ 故的最小整数值为3.‎ 所以存在最小整数，使得对任意恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（1）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于、两点，与轴交于点，求.‎ ‎【答案】（1），.（2）5‎ ‎【解析】（1）利用消参法，消去参数，可把圆的参数方程化为普通方程；通过极坐标和直角坐标的互化公式，可将直线的极坐标方程化成直角坐标方程；‎ ‎（2）由（1）得：先求出直线的参数方程，代入圆的普通方程，消得出关于的一元一次方程，写出韦达定理，再利用公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）消去参数，得到圆的普通方程为，‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ 由（1）依题意，直线的直角坐标方程为，所以，‎ 设直线的参数方程为（为参数），，，‎ 联立圆与直线的参数方程，整理得，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化，以及参数方程和普通方程互化，还运用到直线参数方程，圆的参数方程和含法求值.‎