2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：11
（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）
16.已知函数 ，过点 作与 轴平行的直线交函数 的图像于点 ，过点 作
图像的切线交 轴于点 ，则 面积的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出 f（x）的导数，令 x＝a，求得 P 的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线
的方程，令 y＝0，可得 B 的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP 面积 S，求出导数，利
用导数求最值，即可得到所求值．
【详解】函数 f（x）＝ 的导数为 f′（x） ，
由题意可令 x＝a，解得 y ，
可得 P（a， ），
即有切线的斜率为 k ，
切线的方程为 y﹣ （x ），
令 y＝0，可得 x＝a﹣1，
即 B（ a﹣1，0），
在直角三角形 PAB 中，|AB|＝1，|AP| ，
则△ABP 面积为 S（a） |AB|•|AP| • ，a＞0，
导数 S′（a） • ，
当 a＞1 时，S′＞0，S（a）递增；当 0＜a＜1 时，S′＜0，S（a）递减．
即有 a＝1 处 S 取得极小值，且为最小值 e．
故答案为： e．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线
方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．
（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）
12.若函数 存在三个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过求导，将 3 个极值点转化成方程 3 个根，计算结果，结合图像，即可。
【详解】 =0 有三个根，则 有三个根，
,因为 有三个根,表示 存在极值,极大值大于 0,极小值小于 0,所以
有两个根,构造新函数 ,该两个函数有两个交点,绘图可知
这两个函数要使得有两个交点,则 介于切线与 x 轴之间，接下来计算切线斜率，得到
，解得 ，代入得到 ，得到 ，因而 a 的范围为 ，故选 A。
【点睛】本道题考查了数形结合思想，难度较大。
（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学
期期末考试数学（文）试题）
12.定义在 上的函数 满足 ，则关于 的不等式 的解集为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用已知条件求得 ，即函数 为增函数，而 ，由此
求得 ，进而求得不等式的解集.
【详解】构造函数 ，依题意可知 ，即函数在 上
单调递增.所求不等式可化为 ，而 ，所以 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不
等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件 的应用.通过观察分析所求不
等式，转化为 ，可发现对于 ，它的导数恰好可以应用上已知条件
.从而可以得到解题的思路.
（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）
16.直线 y=b 分别与直线 y=2x+1 和曲线 相交于点 A、B,则 的最小值为
____________________。
【答案】
【解析】
两个交点分别为 ，设函数 的根
为 ，所以 在区间 单调递减，在区间 上单调递增，所以
。填
【点睛】
由于是水平距离，所以只需 = 转化为关于 b 的函数，用导数求最值。
（山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）
21.已知函数
(1)讨论 f(x)的单调性
(2)设 .若对任意的 x∈R,恒有 f(x)≥g(x)求 a 的取值范围
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）定义域为 R,对函数求导，导函数可因行分解，对导函数的零点个数进行讨
论。（2）原不等式可变形为，不等式 成立.分 x=1,x>1,x<1 分离参数讨论。
试题解析：（1） .
（i）当 时， ，当 时， ；当 时，
；所以 在 单调递减，在 单调递增.
（ii）当 时，由 得 或
时， ，所以 在 上单调递增.
当 时, .当 时， ；
当 时， ；所以 在 单调递增，
在 单调递减.
当 时, .当 时， ；
当 时， ；所以 在 单调递增，
在 单调递减.
（2）由题意，对任意的 ，恒有 ，
即不等式 成立.
①当 时，显然成立.
②当 时，不等式化为 令 ，
有 .当 时， , 单调递减；
当 时， , 单调递增，所以当 时， 取极小值
.于是 .
当 时，不等式转化为 令 ，
有 .当 时， , 单调递增；
当 时， , 单调递减，所以当 时， 取极大值
. 此时 .
综上， 的取值范围是 .
【点睛】已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为
求函数在给定区间上的最值问题求解．
（湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题）
21.已知函数 .
（1）试讨论函数 的导函数 的零点个数；
（2）若对任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先对原函数求导，得到 ，再分类讨论即可得到单调性与极值，从
而判断出导函数 的零点个数；
（2）设 研究函数的单调性与最值即可.
【详解】（1）解法一：由题得
∴
当 时， 是减函数
且
，
∴此时 有且只有一个零点
当 时， ，此时 没有零点
当 时
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
∴
（ⅰ）若 则 此时，函数 没有零点
（ⅱ）若 则
此时，函数 有且只有 一个零点
（ⅲ）若 则
且 ，下面证明存在 使
①取
下面证明 ，
证明：设 则 ，
∴ 在 上恒负
∴ 在 上是减函数
∴在 上，恒有
∴ 在 上是减函数
∴ ，得证
或②取
下面证明 ，
证明：设 则
∴ 在 上是减函数
∴ ，得证
∴此时，函数 有且只有两个零点
综上，函数 的零点个数
解法二 由题得
当 时， ，此时没有零点
当 时
导函数 的零点个数等于函数 与函数 图象的交点个数
设 则
当 时， ；当 时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减
∴
又∵当 时， ，当 时， （即 ， ）
∴图象如图
∴当 即 时，有 1 个交点；当 即 时，有 2 个交点；当 即
时，有 1 个交点；当 即 时，没有交点.
综上，函数 的零点个数
（2）设
∴
∴
题设成立的一个必要条件是 即
当 时
，
∴ 在 上单调递减
又∵ 在 处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同）
∴ ，
从而 在 上单调递减
∴ ，
∴实数 的取值范围为
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值的思路；关于不等式恒成立问题，
一般转化为函数的最值来解．
（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）
21.已知函数 ，曲线 在原点处的切线斜率为-2.
（Ⅰ）求实数 ， 的值；
（Ⅱ）若 ，求证：当 时， .
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
解法一：（1）计算导数，结合原点坐标，建立方程，即可。（2）构造函数 ，针对 a 取不
同范围，进行讨论，判定 与 0 的关系，即可。解法二：（1）解法一相同（2）构造函数 ，
结合该函数导数，判断 单调性，计算范围，即可。
【详解】解法一：
（Ⅰ）依题意得 ，
又 的图象在原点处的切线斜率为-2，
∴ ，
，
即 ， .
（Ⅱ）当 时，设 ，
且 .
①当 时， ， ，
∴ 在定义域上单调递减，
∴当 时， ，
∴ 恒成立，即 .
②当 ， 时，
，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ 恒成立，即 .
∴ ， 时， .
综上所述，若 ，当 时， .
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）令
当 时， .
∴ .
∴ .
令 ，
，
∴ 在 单调递减.
.
得 ，
∴当 时， .
【点睛】本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解
能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思
想等.
（福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）
21.已知函数 .
（Ⅰ）当 ，讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 的最大值为 0，求 的值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）-1
【解析】
【分析】
（I）计算 的导函数，对 a 的范围进行讨论，计算单调区间，即可。（II）针对不同范围 a
进行 单调区间讨论，计算最值，建立等式，计算 a，即可。
【详解】解：（Ⅰ） ，
当 时， 恒成立，
∴函数 在 上单调递减；
当 时，令 得： ，
若 ，则由 得， ，
由 得， 或 ，
∴函数 单调递增区间是 ，
单调递减区间是 和 ；
若 ，则 恒成立，∴函数 在 上单调递减.
综上：当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 和
；
当 或 时，函数 单调递减区间为 ，无递增区间.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 或 时，函数 单调递减区间为 ，
故不存在最大值；
当 时，当 时， ，最大值不为 0.
由 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
解得 .
当 时， 时， ，此时 ，
即 时的最大值不为 0.
综上， .
【点睛】本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论
证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合
思想、数形结合思想等.
（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题）
21.已知 ， .
（1）若 ，判断函数 在 的单调性；
（2）证明： ， ；
（3）设 ，对 ， ，有 恒成立，求 的最小
值.
【答案】（1） 在 单调递增（2）见解析（3）2
【解析】
【分析】
(1)计算 导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可.(2)利用 ,得到
,采用裂项相消法,求和,即可.(3)计算 导函数,构
造新函数 ,判断 最小值,构造函数 ,计算范围,得到 k 的最小值，即可。
【详解】解：（1） .
又 ，因此 ，而 ，
所以 ，故 在 单调递增.
（2）由（1）可知 时， ，
即 ，
设 ，则
因此
即
.
即结论成立.
（3）由题意知，
，
设 ，
则 ，
由于 ，故 ，
时， 单调递增，又 ， ，
因此 在 存在唯一零点 ，使 ，即 ，
且当 ， ， ， 单调递减；
， ， ， 单调递增；
故 ，
故
，
设
，又设
故 在 上单调递增，因此 ，
即 ， 在 单调递增，
，
又 ，
所以 ，
故所求 的最小值为 .
【点睛】本道题考查了导数与原函数单调性关系，以及裂项相消法，利用导函数研究最值，
难度较大。
（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）
21.已知函数 ， ， .
（1）已知 为函数 的公共点，且函数 在点 处的切线相同，求 的值；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，由函数 f（x），g（x）在点 T 处的切线相同，得到 ，且 ，
从而求出 a 的值即可；
（2）令 ，将 a 与 0、e 分别比较进行分类，讨论
的单调性及最值情况，从而找到符合条件的 a 的值.
【详解】（1）由题意 ， ，
∵点 为函数 的公共点，且函数 在点 处的切线相同，
故 且 ，
由（2）得： ，
∵ ，∴ ，从而 ，∴
代入（1）得： ，∴ ， .
（2）令
，
①当 时， ， 在 单调递增，
∴ ，满足题意；
②当 时，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 在 单调递增，
需 解得： ，∴
③当 时， ，使
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
，
∵ ，
∴
，不恒成立，
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了导数的几何意义及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类
讨论思想，转化思想，是一道综合题．
（四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题）
12.函数 在（一∞，十∞）上单调递增，则实数 a 的范围是（ ）
A. {1} B. (－1，1) C. (0. 1) D. {－1，1}
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 f′（x） ，结合结论 ，即 进行放缩求解，求得实数 a 的取值范围．
【详解】f′（x）= 恒成立，即 恒成立，
由课本习题知： ，即 ，
只需要 x ，即(a-1)(x-1) 恒成立，所以 a＝1
故选 A.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题．
（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）
13.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 __________．
【答案】1
【解析】
【分析】
对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜
率乘积为-1 即可得 a 值.
【详解】 ，所以切线的斜率 ，
又切线与直线 垂直
得 ，解得 .
故答案为：1
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.
（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）
12.若函数 存在唯一的极值，且此极值不小于 1，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
对函数求导得到
因为函数存在唯一极值，导函数存在唯一的零点，且零点大于 0，故得到 x=1 是唯一的极值，
此时
故答案为：B.
（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
12.若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数 求导，得 ，当 时，由 ，可得 ，
从而极值点问题转化为了 与 y=-2m 的交点问题,结合图像即可得出 m 范围；当
，由 ，可得 <0,可得 m 的范围.
【详解】由题可知 ，当 时，令 ，可化为 ，
令 ，则 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 的
图象如图所示，所以当 ，即 时， 有两个不同的解；当 ，令
， ，解得 ，综上， .
【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的极值点问题，分别研究分段函数在不同范围的
单调性，结合图像即可得出结果.
（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）
10.函数 在点 处的切线方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得函数的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线方程．
【详解】函数 y＝ex+x+1 的导数为 y′＝ex+1，
可得在点（0，2）处的切线的斜率为 k＝2，
即有切线方程为 y＝2x+2．
故选：B．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基
础题．
（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）
6.已知 为实数， ，若 ，则函数 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导，由 求出 a,然后解不等式 即可得到答案.
【详解】 ，则
又 则 ，解得 a=-2,
解 得 ,
则函数 的单调递增区间为
故选：B.
【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原
函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，是基础题．
（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）
11.已知 是 的极小值点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数 求导并因式分解，根据导函数零点分布情况，求得实数 的取值范围.
【详解】依题意 ，它的两个零点为 ，要 是函数的极小值点，
则必须 ，此时函数在 上递减，在 上递增，在 处取得极小值.故本题选 D.
【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查利用导数研究函数的极小值，考查运算求解能力，
属于中档题.
（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）
16.对于三次函数 有如下定义：设 是函数
的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”。若点 是函数 的“拐点”，也是函
数 图像上的点，则函数 的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数 求两次导数，根据拐点的定义，求得 的值，根据 求得 的值，利用降次
公式和辅助角公式化简函数 ，由此求得函数 的最大值.
【详解】 ，由于 是函数 的拐点，故 ，解得
. 所 以 ， 根 据 ， 解 得 ， 故
，当 时，函数取得最大值为 .
【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解以及应用，考查知识迁移的能力，考查函数导数
的运算，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，属于中档题.
理解新定义的概念是求解本题的关键，对函数求两次导数后根据拐点的定列方程可求得参数
的值.
（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）
14.若函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可．
【详解】函数 f（x）=xlnx+a，可得 f′（x）=lnx+1，所以 f′（1）=1，
又 f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2），所以 2=2-1+a，解得 a=1．
故答案为 1．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解
决问题的能力．
（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）
12.若曲线 与 存在公共切线，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合题意，结合相同切线，建立方程，构造新函数 ，计算最值，得到 a 的范围，
即可。
【详解】设曲线的切点坐标为 ，该切线方程为
，切点为 ，该切线方程为 ，利用待定系数法
得到 ，得到 ，构造函数
计算导函数，得到 在 递增，在 递减，故 最大值为
所以 ，故选 C。
【点睛】本道题考查了利用导数计算原函数的最值问题，难度较大。
（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）
8.已知函数 的极大值和极小值分别为 ， ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题计算导函数，得到 的值，然后利用根与系数关系，计算 ，即可。
【详解】 ,该方程两个根为 ，故 在 取到极值
，而
所以 ，故选 D。
【点睛】本道题考查了导函数计算极值的方法和根与系数关系问题，难度中等。
（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）
16.已知 为函数 图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段 长
度的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】
要求点到曲线的距离最小值，先设点坐标，求导后由垂直得到关于参量的函数，再次运用导
数求出函数单调性，解得结果
【详解】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0， ）到 图象上一点的距离最小值
设 图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得 处点（e,1）到 的距离最小，为
则线段 长度的最小值为
【点睛】本题考查了利用导数研究点到曲线上距离最小值，理清题意，求出满足条件的结果，
本题有一定的难度，属于中档题。
（辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题）
11.设 ，则函数
A. 仅有一个极小值 B. 仅有一个极大值
C. 有无数个极值 D. 没有极值
【答案】A
【解析】
分析：求函数导数 ，令 ，由 ，从而得 即
的单调性，结合 ，即可得解.
详解： ，得 .
设 ，则 .
即 为增函数，且 .
所以当 ,则 单调递减；
当 ,则 单调递增，
且 .
所以函数 仅有一个极小值 .
故选 A.
点睛： 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数 极
值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的
所有根；(4)判断 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么
在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个
极值点，则在该处即是极值也是最值.
（河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题）
12.（原创，中等）已知函数 ，若 且满足 ，则
的取值范围是（ )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ， 得 ， 结 合 分 段 函 数 的 范 围 可 得 ， 又
，构造函数 ，求函数导数，利用单
调性求函数值域即可.
【详解】由 ，得 .
因为 ，所以 ，得 .
又
令
.
令 .
当 时， ， 在 上递减
故选 A.
【点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图
象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的
值域取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变
化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清
晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的
应用.
（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）
11.已知函数 在 上为减函数，则实数 a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求导，由函数 f（x）在[1，+∞）上为减函数，转化为 f′（x）≤0 在[1，+∞）上恒成立问题
求解．
【详解】函数 在 上为减函数,f’(x)＝ ，
则 f'（x）≤0 在[1，+∞）上恒成立，
即 1﹣lna﹣lnx≤0 在[1，+∞）上恒成立，
∴lnx≥1-lna= 恒成立，
∴ ，即 ≤1，
∴a≥e
故选：D．
【点睛】本题考查用导数研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则 f′
（x）≥0 在 D 上恒成立；当函数是减函数时，则 f′（x）≤0 在 D 上恒成立．
（湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题）
11.已知函数 若存在实数 k，使得函数 的值域为[-1,1]，则实数 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由于 在 上是单调递减函数，当 时， ，当
时， ，所以 ，令 ，则 ，解得
或 ，当 时，函数取得极小值-1，当 时，解得： ， ，
舍，所以 ，故选 B.
考点：1.分段函数；2.导数的应用；3.函数图像.
【思路点睛】本题考察了分段函数的值域，综合了导数与函数图像的问题，属于综合性较强
的难题，分段函数的值域是 ，那么两段函数的值域是 的子集，而且并集是 ，
根据复合函数的单调性可知 是减函数，易得 ，根据导数分析第二
段函数的单调性和极值，以及 时的 值，再结合函数的图像，可得 区间需包含 2，
但不能大于 ，这样可得 的取值范围是 .
（河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）
11.已知函数 ，则 的极大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：求函数的导数，令 ，先求出 的值再求 的极大值为即可得．
详解：函数 的定义域为 ， ，则
令 ，得
令 ，得 ，即函数 上单调递增，在 上单调递减，故函数 在
出 uqude 极大值，极大值为
故选 D.
点睛：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题．
（河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）
16.当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
试题分析：不等式 变形为 ．当 时， ，故实数 a 的取
值 范 围 是 ； 当 时 ， ， 记 ，
，故函数 递增，则 ，故 ；当
时， ，记 ，令 ，得 或 （舍去），当
时， ；当 时， ，故 ，则 ．综上所述，实数 的
取值范围是 ．
考点：利用导数求函数的极值和最值．
（湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题）
12.已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且当 时, .
若 , 是函数 图像上的两个动点，点 ，则当 的最小值为 0 时，函数 的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得 值,问
题得解 ．
【详解】解：如图， 显然 的模不为 0 ，
故当 最小值为 0 时,只能是图中的情况，此时， ，且 , 与函数图象相切，
根据对称性， 易得 ，
设 ， ，
当 时，
，
，
，
即 ，
，
，
当 时， ，递增，
故其最小值为： ，
根据对称性可知， 函数 在 上最小值为 ．
故选： ．
【点睛】此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 ．
（江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题）
12.若曲线 和 上分别存在点 ,使得 是
以原点 为直角顶点的直角三角形, 交 轴于点 ，且 ，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先设 ，根据 ，确定 ；再由 是以原点 为直角顶点的
直 角 三 角 形 ， 得 到 ， 整 理 后 可 得 ， 因 此 只 需 求 出
值域即可.
【 详 解 】 设 ， 因 为 点 分 别 是 曲 线 和
上的点，所以 ， ；
因为 交 轴于点 ，且 ，所以 ；
又因为 是以原点 为直角顶点的直角三角形，
所以 ，即 ，所以( ，
整理得 ，
令 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
因此 .
故选 D
【点睛】本题主要考查函数的综合应用，由题意分离出参数，由导数的方法研究函数值域即
可，属于常考题型.
（广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）
12.已知函数 满足 ，则 的单调递增区间为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数 进行求导运算，将 和 分别代入原函数和导函数，可以求得 和 的
取值，得到 的解析式，利用导数的知识求得 的单调递增区间。
【详解】由题意得：
令 ，可得：
令 ，可得：
.
所以 为增函数，又
当 时， ，即 在 上单调递增
本题正确选项：
【点睛】本题考察了导数运算的问题。解题关键在于求解出 的解析式，需要明确的是
与 表示的都是固定的常数。
（广东省东莞市 2019 届高三上学期期末调研测试数学理试题）
11.已知奇函数 的导函数为 ，且 ，当 时 恒成立，则使
得 成立的 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意构造函数 g（x）＝xf（x），结合条件可得到函数 g（x）的单调性和奇偶性，结合函
数 g（x）的单调性、奇偶性画出函数的大致图象，由图象可得 x 的取值范围．
【详解】由题意设 g（x）＝xf（x），则 g′（x）＝xf′（x）+f（x），
∴当 x＞0 时，g′（x）＞0，函数 g（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵函数 f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），
∴函数 g（x）为定义域上的偶函数，
由 f（﹣1）＝0 得，g（﹣1）＝0，函数 g（x）的图象大致如图：
∵不等式 f（x）＞0
⇔
，∴ 或 ，
由函数的图象得，﹣1＜x＜0 或 x＞1，
∴使得 f（x）＞0 成立的 x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：C．
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考
查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．
（广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题）
12.已知函数 ，若 ，且 恒成立，则 的取值范
围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用已知条件列出不等式，然后求解 a 的范围．
【详解】函数 f（x）=x2+ax-lnx，可得：f′（x）=2x+a- ，
若 m，n∈[1，+∞），且 恒成立，
即 2x+a- ＞3，x∈[1，+∞），恒成立．
即 a 恒成立，令 y=3-2x+ 在 x∈[1，+∞）时是减函数，可得 a＞3-2+1=2．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想
以及计算能力．
（广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题）
12.已知定义域为 函数 满足 ， （ 是的 导函数），且
的图象关于直线 对称，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知： 为偶函数，根据不等关系可知 的单调性，从而可解不等
式 .
【详解】因为 的图象关于直线 对称，故 的图象关于 轴对称，故 为偶函
数.当 时， ，故 ，
.令 ，故 也是偶函数.且 ，则 是增函数，
又 ，而 等价于 ，即 ，故 .由
偶函数的性质知， 在 上是减函数 ，故 ，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，结合已
知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
（广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题）
12.若关于 的不等式 有正整数解，则实数 的最小值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
因为 ，两边同取对数，可得 ，即 ，令 ，利用导数求得
函数的单调性，由 ，只需 ，即可求解。
【详解】由题意，因为 ，所以， ，两边同取对数，可得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 为单调递增函数，
当 时， ，函数 为单调递减函数，
因为 ，只需考虑 和 的大小关系，
又 ， ，∴ ，
∴只需 ，即 ，即实数 的最小值为 6，故选 A.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及有解问题的求解，着重考查了转化与
化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求
出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的
最值问题．
（河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
6.已知 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，都有 恒
成立，则 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 根 据 可 知 函 数 的 导 数 大 于 或 等 于 ， 所 以
，分离参数得 ，而当 时， 最大值为 ，故
.
考点：函数导数与不等式，恒成立问题．
（河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
12.定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 的解
集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造新函数 ，求导后利用已知判断导数的正负，确定 的单调性，然后解不等
式．
【详解】设 ，则 ，∵ 且 ，
∴ ，即 在 上是增函数，不等式 可化为 ，即
，∴ ， ．
故选 C．
【点睛】用导数解不等式，常常要构造新函数，新函数的形式一方面与已知不等式有关，最
主要的是与待求解不等式有关，根据待求解不等式变形后化为 形式，则 随
之而定，如 ， ， ， ， ，
等等．
（河北省唐山市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）
11.设函数 ， 有且仅有一个零点，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
题意等价于 ， 有且仅有一个解，即直线 与 ， 的
图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得 在 为增函数，在 为减函数，
结合 ， 以及 的值可得实数 的值.
【详解】函数 ， 有且仅有一个零点等价于 ， 有且
仅有一个解，
设 ，
即直线 与 ， 的图象只有一个交点，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 为增函数，在 为减函数，
又 ， ， ，
则可得实数 的值为 ，故选 B．
【点睛】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，函数
零点的个数和两函数 ， 两函数图象交点个数相同，主要通过导
数研究图象的大致形状，属中档题
（山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）
12.定义在 上的函数 满足 ，则关于 的不等式 的解集为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，令 g（x）＝f（x） ，（x＞0），对其求导分析可得 g（x）在（0，+∞）上为
增函数，原不等式可以转化为 g（x）＜g（2），结合函数 g（x）的单调性分析可得答案．
【详解】根据题意，令 其导数 ，
若函数 满足 ，则有 ，即 在 上为增函数，
又由 ，则 ，
，又由 在 上为增函数，则有 ；
即不等式的解集为（0，2）；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数 g（x）是解题的关键．
（西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学）
12.设函数 ， 若实数 满足 ， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试 题 分 析 ： 对 函 数 求 导 得 ， 函 数 单 调 递 增 ，
，由 知 ，同理对函数 求导，
知在定义域内单调递增， ，由 知 ，所以 .
考点：利用导数求函数的单调性.
【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数 求导得 ，
函数单调递增， ，进一步求得函数 的零点
；同理对函数 求导，知在定义域内单调递增， ，由
知 的零点 ，所以 .
（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第
一次联考数学（理）试题）
12.已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式变形后，构造函数 g(x)，结合选项对 m 讨论，利用导数分析函数的单调性及函数
值的分布情况，对选项排除验证即可．
【详解】原不等式转化为 >0 在 上恒成立，
记 g(x)＝ ，
由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，
y=x+1 与 y=x-1 分别为 y= 与 y= 的切线，
即 ,(x=0 时等号成立)， （x=1 时等号成立），可得 (x=0 时等
号成立)，
∴m 时， 在 上恒成立，
又 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
∴m 时符合题意，排除 A、B；
当 m>0 时，验证 C 选项是否符合，只需代入 m=3，此时 g(x)＝ ，
则 ，此时 0，
令 )在 上单调递增，且 ，∴ 在
上恒成立，即 在 上单调递增，而 0，∴ 在
上恒成立，
∴g(x)在 上单调递增,又 g(0)=0，∴g(x) 在 上恒成立，
即 m=3 符合题意，排除 D,
故选 C.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，
注意小题小做的技巧，是一道综合题．
（河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）
15.若过定点 的直线 与曲线 相交不同两点 ,则直线 的斜率的取值范是
____.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线 l:y=kx-1,转化为 有两个不同的根，分离 ，求导求最值即
可.
【详解】设直线 l:y=kx-1,则 kx-1= 得
令 g(x)=lnx+ , (x)=
x>2, (x)>0, g(x)单调递增；0
故答案为
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.
（河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题）
12.已知函数 ， 的解集为 ，若 在
上的值域与函数 在 上的值域相同，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数知识明确 在 上的值域 ，令 ，则 ，
，要使 的值域为 ，则 即可.
【详解】因为 ，定义域为 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 的值域为 .
令 ，则 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
要使 的值域为 ，
则 ，所以 ，
所以 的范围是 .
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和值域问题，考查推理论证能力和创新意识.
（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
11.已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
记函数 在 上的最小值为 : 的定义域为 .
.令 ，得 或
.
①
时，对任意的
,
， 在 上单调递增， 的最小值为
②当 时，
的最小值为 ;
③当 时，对任意的
,
在 上单调递减， 的最小值为
.
由①②③可知
易知 在 上单调递减，且 ,
故实数 的取值范围为 .
故选 C.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终
转化为 ，若 恒成立
；
（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最
值） .
（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
15.函数 有极值，则实数 的取值范围是______
.【答案】
【解析】
【分析】
求出 的导数，通过讨论 的范围，确定导函数的符号，得到函数 的单调性，从而确定
的范围即可．
【详解】
令
函数 有极值，则 在区间 上有实数根
当 时， ，则函数 在区间 单调递增
时， ； 时，
故存在 ，使得 在 递减，在 递增
故 的极大值是 ，符合题意；
当 时，令 ，解得
令 ，解得 ，此时函数 单调递增
令 ，解得 ，此时函数 单调递减
当 时，函数 取得极大值．
当 趋近于 与 趋近于 时，
要使 在区间 上有实数根，则 ，解得
综上：实数 的取值范围是
本题正确结果：
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了等价转化方法，考查了推理
能力和计算能力，是中档题．
（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题）
12.已知函数 ，若 ，且 恒成立，则 的取值范
围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用已知条件列出不等式，然后求解 a 的范围．
【详解】函数 f（x）=x2+ax-lnx，可得：f′（x）=2x+a- ，
若 m，n∈[1，+∞），且 恒成立，
即 2x+a- ＞3，x∈[1，+∞），恒成立．
即 a 恒成立，令 y=3-2x+ 在 x∈[1，+∞）时是减函数，可得 a＞3-2+1=2．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想
以及计算能力．
（陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
12.已知函数 ，又函数 有 个不同的零点，则
实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导函数判断 的单调区间和极值，结合函数
有四个不同零点，则可知 的两个值的取值范围，进而利用二次函数的图象及韦达定理求
得 t 的范围。
【详解】因为
当 ，所以 在 时为单调递减函数
当 ，令 解得
，所以 在 时为单调递增函数
，所以 在 时为单调递减函数，且
所以当 时，在 时取得最大值为
有四个零点，则
令 ，则 有两个不等式实数根，一个在 ，一个在
令
因为
所以只需 即可满足 有两个不等式实数根，一个在 ，一个在
即 解不等式得
所以 t 的取值范围为
所以选 A
【点睛】本题考查了导函数的综合应用，函数零点的求法，复合函数及根分布的综合应用，
属于难题。
（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题）
12.若对于函数 图象上任意一点处的切线 ，在函数
的图象上总存在一条切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得 的导数，可得切线 的斜率，求得 的导数，可得切线 的斜率，运用两直线垂直
的条件：斜率之积为 ，结合正弦函数的值域和条件可得， ， 使得等式成立，即
，解得 的范围即可．
【详解】函数 ，∴ ，（ 其中 ），
函数 ，
∴ ，
要使过曲线 上任意一点的切线为 ，在函数 的图象上总存在一条切
线 ，使得 ，
则 ， ，
∵ ，∴
∵ ， 使得等式成立，
∴ ，解得 ，
即 的取值范围为 或 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查导数的应用函数在某点处的导数即为切线的斜率，考查两直线垂直的
条件：斜率之积为 ，以及转化思想的运用，解题的难点是将任意和存在问题转化为区间
的包含关系，考查运算能力，属于中档题．
（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
12.函数 在 内有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，则 在 内有两个零点，即函数 与
的图象在 内有两个交点，易知函数 是增函数，可求出它在
时的切线斜率，及 时的坐标，从而可知 时， 即满足题意，结合
两个函数的对称性，可推出当 ， ，从而可得到答案。
【详解】由题意，设 ，则 在 内有两个零点，
即 在 内有两个解，
则函数 与 的图象在 内有两个交点，
，即 在 R 上单调递增，
又 ，故 是奇函数，可画出 的图象（如下图），
显然函数 是偶函数， ，
当 时，可作出 的图象，显然 是两个函数图象的一个交点，
，当 时， ，故 ，
即当 时， ，
同理，当 ，可得 ，
当 时，显然不满足题意，
故综上， 或 时， 在 内有两个解，
即函数 在 内有两个零点。
故答案为 D.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了导数的应用，考查了学生的逻辑推理能力与计
算求解能力，属于难题。
（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）
21.已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的 （ 为自然对数的底数）， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（I）当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间是 ；（II）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出 ，分两种情况讨论，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数
增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（Ⅱ）对 分四种情况讨论，分别利
用导数求出函数 最小值的表达式，令 最小值不小于零，即可筛选出符合题意的 的取
值范围.
【详解】（Ⅰ） 的定义域为 .
.
（1）当 时， 恒成立， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
（2）当 时，由 解得 ，由 解得 .
∴ 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间是 .
（Ⅱ）①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
∴ 恒成立，符合题意.
②当 时，由（Ⅰ）知， 在 、 上单调递增，在 上单调递减.
（i）若 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上
单调递增.
∴对任意的实数 ， 恒成立，只需 ，且 .
而当 时，
且 成立.
∴ 符合题意.
（ii）若 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴对任意的实数 ， 恒成立，只需 即可，
此时 成立，
∴ 符合题意.
（iii）若 ， 在 上单调递增.
∴对任意的实数 ， 恒成立，只需 ，
即 ，
∴ 符合题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，
属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或
恒成立（ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨
论最值 或 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符
合题意的参数范围.
（安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
21.已知函数 是减函数.
（Ⅰ）试确定 的值；
（Ⅱ）已知数列 ， ， ，求证： .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导得 ，由 是减函数得，对任意的 ，都有
恒成立，构造函数 ，通过求导判断它的单调性，
令其最大值小于等于 0，即可求出 ；
（Ⅱ）由 是减函数，且 可得，当 时， ，则 ，即
，两边同除以 得， ，即
，从而
，两边取对数
，然后再证明
恒成立即可，构造函数 ， ，通过求
导证明 即可。
【详解】解：（Ⅰ） 的定义域为 ， .
由 是减函数得，对任意的 ，都有 恒成立.
设 .
∵ ，由 知 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 时取得最大值.
又∵ ，∴对任意的 ， 恒成立，即 的最大值为 .
∴ ，解得 .
（Ⅱ）由 是减函数，且 可得，当 时， ，
∴ ，即 .
两边同除以 得， ，即 .
从而 ，
所以 ①.
下面证 ；
记 ， .
∴ ，
∵ 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递减，
而 ，
∴当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
即 时， ，
∴当 时， .
∵ ，
∴当 时， ，即 ②.
综上①②可得， .
【点睛】本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能
力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题。，
（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题）
20.已知函数 ．
（Ⅰ）若 f(x)在定义域内单调递增，求实数 a 的范围；
（Ⅱ）设函数 ，若 至多有一个极值点，求 a 的取值集合．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可得 ，即 ，令 ，利用导数判断 的单调性，求
出其最小值即可；（Ⅱ）求出 的导数 ，当 时， 是 唯一的极小值点，当
时， 无极值点，从而可得结果.
【详解】(Ⅰ)由 ，
得 ， 令 ， .
得 ，当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
故当 时， ．
∴ ．
（Ⅱ） ， ．
当 时，由 函数 单调递增；
且 ，函数 单调递减；
故 是 唯一的极小值点；
当 时，令 ，得 .
①当 时， ， 恒成立， 无极值点．
②当 时，由 或 时， ，函数 单调递增；
由 时， ，函数 递减，故此时由两个极值点；
③当 时，由 或 时， ，函数 单调递增；
由 时， ，函数 递减，故此时由两个极值点；
故 ．
【点睛】本题主要考查导数知识的运用，考查函数的单调性，函数 单调递增，则
恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转
化为 或 恒成立，即 或 即可，利用导数知识结合单调性求
出 或 即得解.
（四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学）
21.已知函数 （ 为自然对数的底数， 为常数，并且 ）.
（1）判断函数 在区间 内是否存在极值点，并说明理由；
（2）若当 时， 恒成立，求整数 的最小值.
【答案】（1）无极值点；（2）0.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；
（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数 k 的最小值即可．
【详解】（1） ，
令 ，则 f'（x）＝exg（x），
恒成立，所以 g（x）在（1，e）上单调递减，
所以 g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以 f'（x）＝0 在（1，e）内无解．
所以函数 f（x）在区间（1，e）内无极值点．
（2）当 a＝ln2 时，f（x）＝ex（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），
，令 ，
由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又 ，h（1）＝ln2﹣1＜0，
所以存在 ，使得 h（x1）＝0，且当 x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即 f'（x）＞0，
当 x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即 f'（x）＜0．
所以 f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，
所以 ．
由 h（x1）＝0 得 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 恒成立，
所以 r（x）在 上单调递增，所以 ，所以 f（x）max＜0，
又因为 ，
所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若 f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则 k 的最小值为 0．
【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知
识，属于中等题．
（陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
21.函数 ，其中 ， ，为实常数
（1）若 时，讨论函数 的单调性；
（2）若 时，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 ，当 时，证明： .
【答案】(1)见解析；(2) (3)见证明
【解析】
【分析】
（1）代入 t 的值，求得导函数，对 a 进行分类讨论，根据导数的正负确定单调区间即可。
（2）代入 t 的值，根据不等式分离参数，通过构造函数 ，再求 ，
根据其单调性求得最大值即可得 a 的取值范围。
（3）要证明不等式成立，根据分析法得到只需证明 成立即可。通过构造函
数 ，利用导数研究其单调性与最值，根据最小值即可得证。
【详解】解（1）定义域为 ， ，
当 时， ， ，
在定义域 上单调递增；
当 时， 时， ， 单调递增；
当 时， 。 单调递减；
综上可知：当 时， 的增区间为 ，无减区间；
当 时，增区间为 ，减区间为 ；
（2） 对任意 恒成立.
即等价于 ， ，
令 .
， ，
在 上单调递增，
，
.故 的取值范围为 .
（3）要证明 ，即证明 ，只要证 ，
即证 ，只要证明 即可，
令 ， 在 上是单调递增， ，
在 有唯一实根设为 ，
且 ，
当 时 ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
从而当 时， 取得最小值，由 得：
，即 ，
，
故当 时，证得： .
【点睛】本题考查了导数在函数单调性、最值中的综合应用，分离参数法、构造函数法的综
合应用，属于难题。
（江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题）
21.已知函数 .
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）已知函数 区间 上的最小值为 1，求实数 的值.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 求 得 切 线 斜 率 k, 点 斜 式 得 方 程 ；（ 2 ） 法 一 ：
，由 h(x)单调增，则存在唯一的 ，
，变形 ，则 构造
函数，证明函数有唯一解，即可求解；法一：同法一则 ，利
用基本不等式求解即可
【详解】（1） ，则函数 在点 处的切线方程为 ；
(2) ， ，
在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，存在唯一的 ，
使得 ，即 （*），
函数 在 上单调递增， ， 单调递减；
，单调递增， ，
由（*）式得 ，
，显然 是方程的解，
又 是单调减函数，方程 有且仅有唯一的解 ，
把 代入（*）式得 ， ，所求实数 的值为 .
解法 2： ， ，
在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，故存在唯一的 ，
使得 ，即 （*），
， 单调递减； ，单调递增，
，
由 式得 ，
= =
,
（当且仅当 =1 时 ），由 得 ,此时 ，
把 代入（*）也成立，
∴实数 的值为 .
【点睛】本题考查切线方程，函数的最值，第二问中函数 h(x)存在隐零点 ，正确处理 的
方程是本题的关键，是中档题.
（广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题）
21.已知函数 ．
（
1
）若曲线
y=f
（
x
）在（
0
，
f
（
0
））处的切线方程为
y=-x-1
，求
a
，
b
的值；
（
2
）当
b=1
，
a
＜
0
时，证明：函数
f
（
x
）有两个零点
x1
，
x2
，且
x1+x2
＞
2
．
【答案】（1）1；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进行求解即可．
（2）求函数的导数，判断函数的单调性，由零点存在性定理，转化为证明 f（x2）＞f（2-x1）
即可．
【详解】（1）f（0）=-b=-1，所以 b=1．
又 f'（x）=2x-2+ ，
则 f'（0）=-2+a，所以-2+a=-1，得 a=1．
（2）当 b=1 吋．f（x）=x2-2x+ -1，
则 f′（x）=2x-2+ =（x-1）（2- ）
已知 a＜0，所以 2- ＞0，故 f'（x）=0 得 x=1．
当 x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0；当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
所以函数 f（x）在（-∞，1）上单调递减．在（1，+∞）上单调递增．
又 f（1）=-2+ ＜0，f（-1）=2-ae＞0，
当-1≤a＜0 时，3a≥-3，2e3+3a≥2e3-3＞0，
所以 f（3）=2+ ＞0；
当 a＜-1，-e3a＞e3
⇒
ln（-e3a）＞lne3=3＞1．不妨没 ln（-e3a）=t＞3，
则 f（t）=t2-2t+ -1=t2-2t+ -1=t2-（2+ ）t-1．
二次函数 g（t）=t2-（2+ ）t-1 的对称轴为 t= ＜3
所以 f（t）＞g（3）=9-6- -1=2- ＞0，
由零点存在性定理，函数 f（x）存在两个零点 x1，x2，设 x1＜1＜x2，
由 x1+x2＞2，得 x2＞2-x1＞1＞x1，
由函数 f（x）在（1，+∞）上单调递增，只需证 f（x2）＞f（2-x1）即可．
又 f（x1）=f（x2）=0，
所以只需证 f（x1）＞f（2-x1）即可．
f（x1）=x1
2-2x1+ -1，f（2-x1）=（2-x1）2-2（2-x1）+ -1，
只需证 x1
2-2x1+ ＞（2-x1）2-2（2-x1）+ ，
化简得即证 ，
=
设 h（x）=xe2-x-（2-x）ex，则 h'（x）=（1-x）（e2-x-ex）．
当 x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；
当 x∈（-∞，1）时，h'（x）＞0．而 h（1）=0，
故当 x＜1 时，h（x）＜0．
而 ＞0 恒成立．
故 f（x1）＞f（2-x1），
即 f（x2）＞f（2-x1），则 x2＞2-x1，
即 x1+x2＞2，成立．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及导数的几何意义，求函数的导数，利用导数
研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．
（广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）
21.已知函数 .
（1）当图象过点 时，求函数 在点 处的的切线方程；（其中 为自然对数的
底数， ）
（2）当 时，求证：对任意 ， 恒成立.
【答案】（1） ； （2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)由图象过点 可得 ，求出 ，
从而得到切线方程； (2) 欲证： ，注意到 ，只要 即可.
【详解】（1）当图象过点 时，所以 ，所以 ，
由 得 ，
切点为 ，斜率为 ，
所求切线方程为： ，即 ；
（2）证明：当 时， ，
欲证： ，注意到 ，只要 即可， ，
令 ，则 ，
知 在 上递增，有 ，所以 ，
可知 在 上递增，于是有 .
综上，当 时，对任意的 恒成立.
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据
差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）
根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或
利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
（陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）
21.已知函数 .
（1）当 ，求证 ；
（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）将 代入函数解析式，之后对函数求导，得到其单调性，从而求得其最小值为
，从而证得结果.
（2）通过 时， 时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解 的
取值范围，也可以构造新函数，结合函数图象的走向得到结果.
【详解】（1）证明：当 时， ，
得 ，
知 在 递减，在 递增，
，
综上知，当 时， .
（2）法 1：， ，即 ，
令 ，则 ，
知 在 递增，在 递减，注意到 ，
当 时， ；当 时， ，
且 ，
由函数 有 个零点，
即直线 与函数 图像有两个交点，得 .
法 2：由 得， ，
当 时， ，知 在 上递减，不满足题意；
当 时， ，知 在 递减，在 递增.
，
的零点个数为 ，即 ，
综上，若函数有两个零点，则 .
【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，
应用导数研究函数的最值，以及研究其零点个数的问题，属于中档题目.
（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
19.已知函数 ， ．
若 ，函数 的图象与函数 的图象相切，求 的值；
若 ， ，函数 满足对任意 ， ，都有
恒成立，求 的取值范围；
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设切点为 ，得到切线方程，可得 ，求解可得 值；（2）
当 ， 时， ，利用导数研究函数单调性，不妨
设 ， 原 不 等 式 ， 即 ， 令
，把原不等式转化为 在 上递减，由 在
上恒成立，分离参数后利用函数的单调性求最值得答案．
【详解】（1）若 ，函数 的图象与 的图象相切
设切点为 ，则切线方程为
得
（2）当 ， 时，
在 上单调递增
不妨设 ，原不等式
即
设 ，则原不等式 在 上递减
即 在 上恒成立
在 上恒成立．
函数 在 上递减
又
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查数学转化思想方法，训练
了恒成立问题的求解方法，是中档题．在求解恒成立问题时，通过分离变量方式得到参数与
最值得比较是常用方式.
（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
22.已知函数 ．
当 时，求 的单调区间；
令 ，在区间 ， 为自然对数的底．
（i）若函数 在区间 上有两个极值，求 的取值范围；
（ii）设函数 在区间 上的两个极值分别为 和 ，求证： ．
【答案】（1）函数 在 上单调递增；在 上单调递减；（
2
）（i） ；
（
ii
）证明见解析
.【解析】
【分析】
（1）求导 ，从而确定函数的单调性及单调区间；
（2）（i） ，函数 在区间 上有两个极值，即
在 上有两个实数根；（ii）求得 ， 等价于 ，即 ，
得 ，不妨设 ，则 ，设 ， ，结
合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式．
【详解】（1） 时， ，
可得：函数 在 上单调递增； 上单调递减
（2） 在区间 ， 为自然对数的底
（
i
）
函数 在区间 上有两个极值
在 上有两个实数根
化为：
可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减
时， 取得极大值即最大值，
由 ，
时满足条件．
（ii）证明：设函数 在区间 上的两个极值分别为 和
， ……①
则 ……②
等价于
即 ……③
由①②③得
不妨设 ，则 ，上式转化为：
设 ，则
故函数 是 上的增函数
即不等式 成立，故所证不等式 成立
【点睛】本题主要考查函数单调性、极值和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研
究函数的最值和零点问题.解题关键是能够构造出合适的新函数，从而将问题转化为函数最
值的求解，综合性较强，整体运算量较大，属于难题．
（安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题）
21.已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
【答案】(1)见解析；(2) 的最大值为 1.
【解析】
【分析】
（1）根据 的不同范围，判断导函数的符号，从而得到 的单调性；（2）方法一：构造新
函数 ，通过讨论 的范围，判断 单调性，从而确定结果；方法二：利
用分离变量法，把问题变为 ，求解函数最小值得到结果.
【详解】（1）
当 时， 在 上递增；
当 时，令 ，解得：
在 上递减，在 上递增；
当 时， 在 上递减
（2）由题意得：
即 对于 恒成立
方法一、令 ，则
当 时， 在 上递增，且 ，符合题意；
当 时， 时， 单调递增
则存在 ，使得 ，且 在 上递减，在 上递增
由 得：
又 整数 的最大值为
另一方面， 时， ，
，
时成立
方法二、原不等式等价于： 恒成立
令
令 ，则
在 上递增，又 ，
存在 ，使得
且 在 上递减，在 上递增
又 ，
又 ，整数 的最大值为
【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成
立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采
用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果.
（河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题）
21.已知函数 ， 在 处的切线与 轴平行.
（1）求 的单调区间；
（2）若存在 ，当 时，恒有 成立，求 的取值范围.
【答案】(1)增区间 减区间 (2)
【解析】
试题分析： 先求出函数的导数，令导函数大于 ，解出即可；
（2）构造新函数 ，求导，分类讨论 的取值，在不同情况下讨论，
取得最后结果
解析：（1）由已知可得 的定义域为
（2）不等式 可化为 ，
，不适合题意.
适合题意.
适合题意.
综上， 的取值范围是
点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题
在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围
（河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）
21.设
（1）求 的最小值；
（2）证明： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得 ，利用导数得到函数的单调性，进而求解函数的最小值；
（2）由 ，令 ，
利用导数求得函数 的单调性，求得函数的最小值，即可得到证明.
【详解】（1）
所以当 x∈(0， )时， ＜0，f(x)单调递减；
当 x∈( ，＋∞)时， ＞0，f(x)单调递增．
所以 x＝ 时，f(x)取得最小值 f( )＝1－ ．
（2）x2－x＋ ＋2lnx－f(x)
＝x(x－1)－ －2(x－1)lnx
＝(x－1)(x－ －2lnx)，
令 g(x)＝x－ －2lnx，则 ＝1＋ － ＝ ≥0，
所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为 g(1)＝0，
所以当 0＜x＜1 时，g(x)＜0；
当 x＞1 时，g(x)＞0，
所以(x－1)(x－ －2lnx)≥0，
即 f(x)≤x2－x＋ ＋2lnx．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思
想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导
数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调
性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，
同时注意数形结合思想的应用.
（河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题）
21.已知 ，函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
【分析】
(1) 的定义域为 ， .对 a 分类讨论，
解不等式即可得到 的单调性；
（2）利用（1）中 的单调性转化为研究函数的最值问题.
【详解】解：（1） 的定义域为 ， .
①当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减.
②当 时， ，
当 ，即 时，因为 ，所以在 上单调递增；
当 ，即 时，因为 ，所以 在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增；
当 ，即 时，因为 ，所以 在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）知当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
要使 有两个零点，只要 ，所以 .（因为当 时， ，
当 时， ）
下面我们讨论当 时的情形：
当 ，即 时， 在 上单调递增，不可能有两个零点；
当 ，即 时，因为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
因为 ， ，所以 ， 没有两个零点；
当 时，即 时，因为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， 没有两个零点.
综上所述：当 时， 有两个零点.
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
结合求解．
（山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）
21.已知 ，函数 ，直线 l： ．
讨论 的图象与直线 l 的交点个数；
若函数 的图象与直线 l： 相交于 ， 两点 ，证明：
．
【答案】（1）见解析（2）见证明
【解析】
【分析】
根据函数与方程的关系，设 ，求函数的导数，研究函数的单调性和极
值，结合极值与 0 的关系进行判断即可．
构造函数 ，求函数的导数，结合 与 l 的交点坐标，进行证明即可．
【详解】解： 由題意，令 ，
则 ，
令 ，解得 ．
所以 在 上单调递增，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，
则当 时，函数取得极小值，同时也是最小值
，
当 ，即 时， 的图象与直线 l 无交点，
当 ，即 时 的图象与直线 l 只有一个交点．
当 ，即 时 的图象与直线 l 有两个交点．
综上所述，当 时， 的图象与直线 l 无交点；
时 的图象与直线 l 只有一个交点， 时 的图象与直线 l 有两个交点．
证明：令 ，
，
，
，即 在 上单调递增，
，
时， 恒成立，
又 ，
，
，
又
，
在 上单调递增，
即
．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性
和极值是解决本题的关键 综合性较强，难度较大．
（河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）
21.已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）令 ，若对任意的 ，恒有 成立，求实数 的最大整
数.
【答案】（1）见解析（2）7
【解析】
【分析】
（ 1 ） 讨 论 和 两 种 情 况 ； （ 2 ） 由
成立转化为 ，分离 k,构造函数求最值
即可.
【详解】（1）此函数的定义域为 ，
（1）当 时， 在 上单调递增，
（2）当 时， 单调递减， 单调增
综上所述：当 时， 在 上单调递增
当 时， 单调递减， 单调递增.
（2）由（Ⅰ）知
恒成立，则只需 恒成立，
则
，
令 则只需
则 单调递减，
单调递增，
即 的最大整数为
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,
第二问转化为 是关键.
（晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学(理)试题）
21.定义：若函数 的导函数 是奇函数（ ），则称函数 是“双奇函
数” ．函数 ．
（1）若函数 是“双奇函数”，求实数 的值；
（2）假设 ．
（i）在（1）的条件下，讨论函数 的单调性；
（ii）若 ，讨论函数 的极值点．
【答案】（1）0；（2）（i）见解析；（ii）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意结合“双奇函数”的定义可知 对任意 且
成立， 据此计算实数 a 的值即可；
（2）（i）由题意结合(1)的结论可知 ， ．由导函数的符
号讨论函数的单调性即可；
（ii）由函数的解析式可知当 时， ．
令 ，则 据此结合函数的单调性讨论函数的极值即可.
当 时， ，据此分段讨论函数的极值的情况即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
又因为函数 是“双奇函数”，
所以 对任意 且 成立，
所以 ，解得 ．
（2）（i） （ ，且 ）．
由（1）求解知， ，则 ，所以 ．
令 ，得 ；令 ，得 ，
故函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（ii） ．
当 时， ．
令 ，则 （舍去）．
分析知，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值点 ，不存在极大值点．
当 时，
当 时， ．令 ，得
（舍）．
若 ，即 ，则 ，所以 在 上单调递增，函数
在区间 上不存在极值点；
若 ，即 ，则当 时， ；当 时，
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在区间 上
存在一个极小值点 ，不存在极大值点．．
当 时， ．
令 ，得 ，记 ．
若 ，即 时， ，所以 在 上单调递减，函数 在 上
不存在极值点；
若 ，即 时，则由 ，得
．
分析知，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 存在两个极值点．
综上，当 时，函数 存在两个极值点，且极小值点 ，极大值点
；
当 时，函数 无极值点；
当 时，函数 的极小值点 ，无极大值点．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的
知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方
向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的
几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；
已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查
数形结合思想的应用．
（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第
一次联考数学（理）试题）
21.已知函数 ，其中 .
（1）求函数 的单调区间.
（2）若函数 有两个极值点 、 ，且 ，证明： .
【答案】（1）详见解析 （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，研究导数中二次函数的单调性及零点的分布，
从而求出函数的单调区间；
（2）通过韦达定理，将所证明的函数中的 与 a 都用 表示，构造新函数，由条件求得新
函数的定义域，进而再利用导数求值域，即可证明结论.
【详解】（1） 的定义域为 ，
令 ，
① 即 ，即 ，即 ，当且仅当 ， 时
所以 在 单调递增
② 且 ，即 ， 的两根 ，
， ，即 ， 在 单调递减， ， ，即 ，
在 单调递增.
③ 且 ，即 时， 的两根 ，
， ，即 ， 在 单调递增， ， ，即 ，
在 单调递减， ， ，即 ， 在 单调递增，
综合上述： 时， 的单调增区间为
时， 的单调增区间为 ， ，
单调减区间为
， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）由（1）可知， 有两个极值点 ， 则 ，且
则
= ，
令 ，
，
，则 在 ， ，
则 在 上单调递增， ，
则 .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，关键是利用减元思想将
目标函数化简为只含一个变量的新函数，考查了推理能力与计算能力，考查了分类讨论数学
思想，属于难题．
（西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学）
21.已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）若对任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）1 ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；
（2）要证 ，只需证明 ex≥ln（x+m）+1 成立即可，分情况讨论，采用分离参数
法，构造新函数，利用导数求得符合条件的 m 的取值范围，进而问题得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ．
令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
∴函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
∴当 时，函数 取得最小值，其值为 ．
（2）由（1）得： 恒成立．
①当 恒成立时，即 恒成立时，条件必然满足．
设 ，则 ，在区间 上， ， 是减函数，在区间
上， ， 是增函数，即 最小值为 ．
于是当 时，条件满足．
②当 时， ， ，即 ，条件不满足．
综上所述，m 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，考查
了用导数求解不等式成立时，参数的取值范围；用导数解决满足函数不等式条件的参数范围
问题，一般采用参数分离法，构造新函数，然后对构造函数求导解答.
（山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）
21.设 ，函数 ．
（1）若 无零点，求实数 的取值范围．
（2）若 ，证明： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调性及值域，确定 a 的范围即可；
（2）问题转化为证明 ex﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令 g（x）＝ex﹣2x2+x﹣1＞0，（x
＞0），求导分析函数的单调性及最值，证明即可．
【详解】（1）∵ ，∴ 定义域是 又 ，
①当 时，无零点；
②当 时， ，故 在 上为减函数，
又 当 时， ，所以 有唯一的零点；
③当 时，
∴ 在 递增，在 递减，
∴ ，则只要 ，即 ，
∴ 而 ，∴ ，
综上所述：所求 的范围是 ．
（2） 时， ， ，
要证 ，问题转化为证明 ，
整理得： 恒成立，
令 ，
，
故 在 递减，在 递增，
故 ，
故存在 ，
使得 ，
故当 或 时， 递增，
当 时， 递减，
故 的最小值是 或 ，
由 ，得 ，
，
∵ ，故 ，
故 时， ，原不等式成立．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查分类讨论思想及转化思想，
考查不等式的证明，是一道综合题．
（山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）
21.已知函数 .
（1）设 ，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在其定义域内有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为 ，无单调递减区间.（2）
【解析】
【分析】
(1)对函数 f(x)求导，然后构造函数 ，通过判断 F(x)的单调性和
最值即可得到函数 f(x)的单调性；（2）“函数 在其定义域内有两个零点”可以转化为
函数 与函数 的图像在 上有两个不同的交点，利用导数的几何意义求解
即可得到答案.
【详解】（1）
函数 的定义域为 ，
令 ，则
令 ，得 ；令 ，得
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
所以
所以 对任意 恒成立，
所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
（2）（法一）： 的定义域为 ，
所以“函数 在其定义域内有两个零点”等价于“方程 在区间 内有两个
不同的实数根”即方程 在区间 内有两个不同的实数根
故上述问题可以转化为函数 与函数 的图像在 上有两个不同的交点，如
图
若令过原点且与函数 图像相切的直线斜率为 ，由图可得
令切点
由 ，得 ，所以
又 ，所以 ，解得：
于是 ，所以
故实数 的取值范围是
（法二） 的定义域为 ，
，
当 时， ，
所以 在 单调递增，所以 在 不会有两个零点，不合题意，
当 时，令 ，得 ，
在 上， ， 在 上单调递增，
在 上， ， 在 上单调递减，
所以 ，
又 时， ，
时， ，
要使 有两个零点，则有
即
所以
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的零点问题，考查导数的几何意义的应
用，属于中档题.
（河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
21.已知函数 ．
1 当 时，讨论函数 的单调性；
2 当 ， 时，对任意 ， ，都有 成立，求实数 b
的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
1 通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；
2 原问题等价于 ， 成立，可得 ，可得
，即 ，
设 ， ，可得 在 单调递增，且 ，即可得不等式
的解集即可．
【详解】 1 函数 的定义域为 ．
当 时， ，所以 ．
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
综上所述，当 ， 时，函数 在 上单调递增；
当 ， 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
2 对任意 ， ，有 成立，
，
， 成立，
， 时， ．
当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，
， ， ，
设 ， ， ．
在 递增， ，
可得 ，
，即 ，
设 ， ， 在 恒成立．
在 单调递增，且 ，
不等式 的解集为 ．
实数 b 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数研究函数的单调区间，恒成立问题，考查了转化
思想、运算能力，属于压轴题．
（河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）
21.已知函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）令 ，当 时，证明：对 ，使
.
【答案】（1）见解析；（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ，分类讨论 时， 和 三种
情况确定函数的单调性即可；
（2）此时原题目等价于 .由函数 f(x)的解析式可得 ,结合函
数 g(x)的性质证明 即可证得题中的结论.
【详解】（1）
当 时，由于 ，所以 恒成立， 在 为增函数；
当 时，①若 恒成立， 在上 为减函数；
②若 ，令 ，得 在 上为增函数，
上为减函数.
综上：当 时， 在 上为增函数；
当 时， 在上 为增函数，在 上为减函数；
当 时， 在上 为减函数.
（2）此时原题目等价于 .
当 时， ，由（1）知 在 上为增函数，在 上为减函数，
,
令 .令 ，得 ，
在 上恒成立， 在 上单调递增，即 在上 单调递增.
当 时， ，
由于 存在 ，使 ，即 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，
令 恒成立， 在 上为减函数
，从而 命题得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的
知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与
解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求
参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的
应用．
（广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题）
21.已知函数 ，其定义域为 .（其中常数 ，是自然对数
的底数）
（1）求函数 的递增区间；
（2）若函数 为定义域上的增函数，且 ，证明: .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数 ，分类讨论，即可求解函数的单调区间；
（2）由题意，问题转化为 ，令 ， ，
即证 ，根据函数的单调性，即可作出证明。
【详解】（1）易知 ，
①若 ，由 解得 ，∴函数 的递增区间为 ；
②若 ，则
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数 的递增区间为 和 ；
③若 ，则 ，∴函数 的递增区间为 ；
④若 ，则
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数 的递增区间为 和 ；
综上，若 ， 的递增区间为 ；
若 ， 的递增区间为 和 ；
若 ，函数 的递增区间为 ；
若 ，函数 的递增区间为 和 .
（2）∵函数 为 上的增函数，∴ ，即 ，
注意到 ，故 ，
∴不妨设 ，
欲证 ，只需证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，只需证 ，
∴ ，
下证 ，即证 ，
由熟知的不等式 可知 ，
当 时，即 ，
∴ ，
易知当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 单调递增，即 ，从而 得证.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化
归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于不等式的证明问题，通常要构造新函数，利用导数
研究函数的单调性和最值，进而证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为
函数的最值问题．
（广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题）
21.已知函数 （ ，e 是自然对数的底， ）
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， 是函数 的零点， 是 的导函数，求证： ．
【答案】（1）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时，
在 单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求导数，再求导函数零点，再根据 与 大小关系分类讨论函数单调性，（2）先研究
单调性，转化所证不等式为 ，再根据 单调性，转化证明 且
．最后利用不等式性质进行论证.
【详解】（1） ，
设 ，
解法一：由 和 在 上单调递增，可知 在 上单调递增，
解法二：由 得 可知 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
①当 时， ，
当 时， ；当 时， ．
②当 时，由 得 或 x＝1，
当 时， ， ， ；
当 时， ；当 时， ．
综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）解法一（分析法）：
当 时，由（1）知 在 上的最大值为 ，
可知 ，所以 在 上无零点．
若 是函数 的零点，则 ，
∵ ，
解法一：由 和 在 上单调递增，且 、 ，可知 在
上单调递增，
解法二：设 ，则 ，
由 得 ， ，所以 ，
可知 在 上单调递增，
要证 ，只需证 ，
由（1）知 在 上单调递增，
只需证 ，又 ，
只需证 且 ．
，
由 ， ，得 ，又 ，所以 ；
，由 得 ，
综上所述，得证．
方法二（综合法）：
当 时，由（1）知 在 上的最大值为 ，
可知 ，所以 在 上无零点．
若 是函数 的零点，则 ，
而 ，
由 ， ，得 ，又 ，所以 ；
，由 得 ，
所以 ，又 ，即 ，
由（1）知 在 上单调递增，所以 ，
而 ，
由 和 在 上单调递增，且 、 ，
可知 在 上单调递增，
所以 ，得证．
【点睛】研究函数单调性问题，往往转化为研究导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转
化研究方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等）.
（广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题）
21.已知函数 （其中 是自然对数的底数）.
（1）证明：①当 时， ；
②当 时， .
（2）是否存在最大的整数 ，使得函数 在其定义域上是增函数？
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)①直接作差，构建新函数研究最值即可；②同样作差构建函数，研究最值即可；
(2)由题意可得 ，变量分离研究最值即可.
【详解】①令 ，
当 时， ，故 在区间 上为减函数，
当 时， ，故 在区间 上为增函数，
因此 ，故 .
②令 ，
，因此 为增函数
当时 ， ，故 .
（2）据题意，函数 的定义域为 ，
又 ，
，
因此对一切 有 .
令 ，
则 ， ，
故 为增函数，
又 ， ，
因此 在区间 上有唯一的零点，记它为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，因此 ，其中
由（1）可知 恒成立，且当 时， 成立
故
当且仅当 时等号成立.
因此 .
又
因此 ，即存在最大的整数 28，使得 在其定义域上是增函数.
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据
差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）
根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或
利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
（广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）
21.设函数 ， 是自然对数的底数， 是常数．
（1）若 ，求 的单调递增区间；
（2）讨论曲线 与 公共点的个数．
【答案】（1） 的单调递增区间为 （或 ）；（2） 或 时，
两曲线无公共点； 或 时，两曲线有一个公共点； 时，两曲线
有两个公共点 .
【解析】
【分析】
（1）将参数值代入表达式，对函数求导得到函数的单调性进而得到函数的增区间；（2）曲
线 与 公共点的个数即函数 零点的个
数，对函数求导分情况讨论即可.
【详解】（1） ,
当 时， ，当 时， ，当 时， ,
的单调递增区间为 （或 ）.
（2）曲线 与 公共点的个数即函数 零
点的个数， .
（I） 时， 有一个零点 .
(II) 时，由 解得， ．当 时， ；当
时， ，
在 取最小值 ,
① 时， ， 有一个零点.
② 时， ， 无零点 .
③ 时， ，由 知， 在
有一个零点，即在 有一个零点；由指数函数与幂函数单
调性比较知，当 且充分大时， ，所以 在 有一个零
点，即在 有一个零点．从而 有两个零点 .
（III） 时， ， 单调递减， ，
，所以 在 有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .
（IIII） 时， 无零点 .
（IIIII） 时，由 解得， ．当 时， ；当
时， ， 在 取最小值 ．因
为 ， ， ， ， ， 无零点．
综上所述， 或 时，两曲线无公共点； 或 时，两曲线有一
个公共点； 时，两曲线有两个公共点 .
【点睛】有关函数零点(方程根)的问题，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直
接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同
一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点
的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题．
（广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题）
21.已知函数 ．
若曲线 在 处的切线为 ，求 的值；
当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）3；（2） .
【解析】
【分析】
求出函数的导数，建立关于
a
的方程，解出即可；
求出函数的导数，通过讨论
a
的范围，结合函数的单调性确定
a
的范围即可．
【详解】 ，又 ，
，故 ，解得： ；
由 知， ， ，
当 时， ，函数 在 递增，
故 ，
当 时，设 ，
则 ，
又 ，故 ，
故函数 在 递增，
又 ，故存在 ，
使得 在 内成立，
故函数 在 递减，
又 与 恒成立矛盾，不合题意，舍去，
综上，当 时， 在 恒成立．
【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论
思想，转化思想，是一道综合题．
（陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）
21.已知函数 f（x）＝（ax－1）ex，（a∈R）．
（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）当 m＞n＞0 时，证明：men＋n＜nem＋m．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）求函数的单调区间，先求导 ，于导数可知导数的符
号受参数 的取值的影响，根据 ， ， ，分析即可，（2）要证 ，
问题转化为 ，然后构造函数 ，只需证明 是增函数即可
试题解析：
解：（1） 的定义域为 ，且 ，
①当 时， ，此时 的单调递减区间为 .
②当 时，由 ，得 ；
由 ，得 .
此时 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
③当 时，由 ，得 ；
由 ，得 .
此时 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2）当 时，要证： ，
只要证： ，即证： .（*）
设 ，则 ，
设 ，
由（1）知 在 上单调递增，
所以当 时， ，于是 ，所以 在 上单调递增，
所以当 时，（*）式成立，
故当 时， .
.
（江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷）
21.设函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）当 时，求 在点 处的切线的斜率；
（2）若存在 ，使 ，求正数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）对 求导 ，代入 x=1 即可得斜率.
（2）依题意得 ，对 a 按 ， 分类讨论得 的单调性和最小值
即可.
【详解】解：（1）设所求切线的斜率为 ，当 时， ，
（2）依题意得 ， 且 ，所以
①当 时， 即 在 递增，
而 满足条件
②当 时， 在 递减 递增
综上
【点睛】本题考查了求切线的斜率和利用导数判断函数在区间上的单调性和最小值，也考查
了分类讨论思想，属于中档题.
（广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）
21.已知函数 在点 处的切线方程为 ．
求
a
，
b
的值及函数 的极值；
若 且 对任意的 恒成立，求
m
的最大值．
【答案】（1） ， ,f(x)极小值为 ；（2）3.
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，利用函数 在点 处的切线方程为 ，列关于 的
方程组，求解可得 的值，再求出导函数的零点，得到原函数的单调区间，进一步求得极
值；
把 变形，可得 对任意 都成立，等价于 ，利
用导数求得 ，即可得到
m
的最大值。
【详解】 ， ，
函数 在点 处的切线方程为 ，
，解得 ， ．
，则 ，
由 ，得 ．
当 时， ，当 时， ．
在 上为减函数，在 上为增函数，
则当 时，函数 取得极小值为 ；
当 时，由 ，得 ．
令 ，
则 ，
设 ，则 ，
在 上为增函数，
， ，
，且 ，
当 时， ， ， 在 上单调递减；
当 时， ， ， 在 上单调递增．
，
，
， ，
， 的最大值为
3
．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值。处理
恒成立问题时，分离变量是常用的处理方法。本题解题时的关键是合理构造函数，通过新函
数的单调性确定最大值的取值。
（湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）
21.设函数 .
(1)求函数 的极值点个数；
(2)若 ，证明 .
【答案】（1）2 个（2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)由 是奇函数，把问题转化成 的极值点个数问题，求出 ，把 的
正负问题转化成 正负来处理，求出 ，判断 的单调性，结合
函数零点判断方法即可判断在区间 上存在唯一的 使 .在 上不存在
使得 ，问题得解。
(2)利用（1）中的结论可知： 在区间 内恒成立.令 ，可
将问题转化成 ，问题得证。
【详解】解：（1）因为 为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑 上的
极值点个数，
， 时，
.
令 ， ，
∴当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ .
取 ， ，
∴在区间 上存在唯一的 使 .
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
又 为奇函数，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ 的极值点共 2 个.
（2）由（1）可知 在区间 内单调递减，且 恒成立.
∴ 时， ，
即得 .
又令 ，
得 .
∴
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，还考查了奇函数的特点及转化思想，函数
零点判断，还考查了不等式的应用及等比数列求和，属于难题。
（江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题）
21.已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 在 上存在极大值点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： ，其中 ．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先对函数 求导，再由分类讨论的思想，分别讨论 ， 和 三种情况，
即可得出结果；
（Ⅱ）令 可得 ，由（Ⅰ）可知 的极大值，再由 时，
，即可证明结论成立；也可用数学
归纳法证明.
【详解】解：（Ⅰ）由于 ，
则①当 时， ，
即当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
故 在 处取得极大值，
则 ，解得： ；
②当 时， 恒成立， 无极值，不合题意舍去；
③当 时， ，
即当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 在 处取得极小值，不合题意舍去；
因此当 时， 在 上存在极大值点；
（Ⅱ）法一：令 ， ，
由（Ⅰ）得： 在 处取得极大值 1，且该极值是唯一的，
则 ，即 ，当且仅当 时取“=”，
故当 时， ，
因此 ．
法二：下面用数学归纳法证明： ，对 恒成立．
（1）当 时，左边 ，右边 ，
左边 右边，结论成立；
（2）假设当 时，结论成立，即 ，
当 时，左边
，
而 ，
令 ， ，
由（Ⅰ）得： 在 处取得极大值 1，且该极值是唯一的，
则 ，即 ，当且仅当 时取“=”，
则 对 恒成立，即
成立
故当 时，结论成立，
因此，综合（1）（2）得 ，对 恒成立
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数
的单调性和极值等，属于常考题型.
（湖南省长望浏宁四县 2019 年高三 3 月调研考试 数学（文科）试题）
21.已知 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1） 的定义域为 ，且 ，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知 在 上恒成立，分类讨论 和 两种情况确
定实数 b 的取值范围即可.
【详解】（1） 的定义域为
∵ ， ，
∴当 时， ； 时，
∴函数 在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）当 时，
由题意， 在 上恒成立
①若 ，当 时，显然有 恒成立；不符题意.
②若 ，记 ，则 ,
显然 在 单调递增，
（i）当 时，当 时，
∴ 时，
（ii）当 ， ，
∴存在 ，使 .
当 时， ， 时，
∴ 在 上单调递减；在 上单调递增
∴当 时， ，不符合题意
综上所述，所求 的取值范围是
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想
等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（河北省衡水市第十三中学 2019 届高三质检（四）理科数学试题）
22.已知 ，函数 ，且曲线 在 处的切线斜率为 1.
（1）若函数 在区间 上有极值，求 的取值范围；
（2）求证：当 时， .
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得函数的导数 ，根据 ，求得 ，得出函数 的解析式，进而
利用导数求解函数的单调区间和极值，即可求解．
（2）由（1）得 ，令 ，由导数求得函数 的单调区间，进而得出函
数 在区间 上单调递增，得 ，再令 ，令导数求解函数
在区间 上单调递减，求得 ，即可作出证明．
【详解】（1）由题意，求得函数的导数 ，
所以 ，解得 .
∴ ， ，
∴ ，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；∴函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
∴函数 在区间 上有唯一的极大值 ，
∴ .
（2）由（1）得 ，
令 ，∴ ，
当 时， ，∴函数 在区间 上单调递增，∴ ，
∴函数 在区间 上单调递增，∴ ，
再令 ，则 ，
时， ，∴函数 在区间 上单调递减，所以 ，
∴ ，即 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明问题，着重考查了转化
与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，
利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值
范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）令函数 ，若函数 有且只有一个零点 ，试判断 与
3 的大小，并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)先求导，然后讨论 的大小，继而求出函数的单调性
(2)对函数 求二阶导数，求出函数 的单调性，然后结合零点得到关于 的表达式，构
造新函数后运用导数确定新函数的单调性，继而得出关于零点问题
【详解】（1） ,
①当 ，即 时， 时， ， 在上单调递增.
②当 ，即 时， 时，
时， .
所以 在 上单调递减，在 单调递增.
（2）函数 ，
则 ，令
则 ，所以 在 上单调递增，
当 且 时， ， 时 ，
所以 在 上有唯一零点，
当 时， ， 时， ，所以 为 的最小值.
由已知函数 有且只有一个零点 ，则 ，
所以 ，
，
令 ，
，
所以 ， ， ， ，
所以 在 单调递减，
因为 ， ，
所以 在 上有一个零点，在 无零点，
若 在 有零点必小于 3，
综上： .
【点睛】本题考查了函数单调性和零点问题，在求单调性时进行分类讨论，在解答零点问题
时需要利用导数确定函数的单调性，得到函数零点的取值范围，继而求出结果，需要大量的
计算，有一定难度。
（安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）
21.已知函数 .
（Ⅰ）设 是 的极值点，求 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下， 在定义域内恒成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，证明： .
【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对函数 求导，由题意知 ，可求出 的值，经检验 m=1 符合题意；（Ⅱ）求出
函数 的单调性，进而求出最小值 ，令 即可得到答案；（Ⅲ）由题意，当 m≤2，
x∈（-m，+∞）时， ，故只需证明当 m=2 时， ，进而分析函数单
调性，求得 ，即可。
【详解】解：（Ⅰ）∵ ，x=0 是 f（x）的极值点，∴ ，解得 m=1．
经检验 m=1 符合题意.
（Ⅱ）由（ Ι）可知，函数 f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）．
∵
设 g（x）=ex（x+1）-1，则 g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以 g（x）在（-1，+∞）上为增函
数，
又∵g（0）=0，所以当 x＞0 时，g（x）＞0，即 f′（x）＞0；当-1＜x＜0 时，g（x）＜0，f′
（x）＜0．
所以 f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；因此， 的最小值为
∵ 在定义域内恒成立,即
（Ⅲ）证明：要证 ，即 .
设 ,即证
当 m≤2，x∈（-m，+∞）时， ，故只需证明当 m=2 时， .
当 m=2 时，函数 在（－2，+∞）上为增函数，且 ．
故 在（－2，+∞）上有唯一实数根 ，且 ∈（－1，0）．
当 时， ，当 时， ,
从而当 时， 取得最小值．
由 ，得 ，即 ，故 ．
综上，当 m≤2 时， 即 ＞m．
【点睛】本题考查了函数的求导，及函数的单调性的运用，属于难题。
（河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题）
21.设函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 零点，证明： .
【答案】（1）在 上是增函数，在 上是减函数； （2） .
【解析】
【分析】
（1）先确定函数的定义域，然后求 ，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数 的
单调区间；
（2）采用分离参数法，得 ，根据 在 上存在零点，可知 有解，
构造 ，求导 ，知 在 上存在唯一的零点，即零点 k 满足 ，
进而求得 ，再根据 有解，得证
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 ．
所以当 时， ， 在 上是增函数；
当 时， ， 在 上是减函数．
所以 在 上是增函数，在 上是减函数．
（2）证明：由题意可得，当 时， 有解，
即 有解．
令 ，则 ．
设函数 ，所以 在 上单调递增．
又 ，所以 在 上存在唯一的零点．
故 在 上存在唯一的零点．设此零点为 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上的最小值为 ．
又由 ，可得 ，所以 ，
因为 在 上有解，所以 ，即 ．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式成立，
考查了利用导数研究函数的零点问题，涉及了求函数导数，函数零点存在性定理的
应用等知识；从哪里入手，怎样构造，如何构造适当的函数，是解决此类问题的关
键一步.
（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题）
21.已知函数
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若 有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），且 求 的最小值
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）求导数得 ，当 通过讨论判别式 与 0 的关系，得函数单
调性，由单调性即可得函数的极值问题；（2） 有两个极值点 可知 为方程
的两个根，用 表示出为 ，令 ，构造函数 求
导判单调性即可得到最值.
【详解】（1）法一：由题意得 ，
令 ，即 。.
①当 ，即 时， 对任意 恒成立，即 对
任意 恒成立，此时 没有极值点。
②当 ，即 或 时。
若 ，设方程 的两个不同实根为 ，不妨设 ，
则 ，
故 ，
当 或 时， ；
当 时， ，
故 是函数 的两个极值点。
若 ，设方程 的两个不同实根为 ，
则 ，故 。
当 时， ，故函数 没有极值点。
当 时，函数 没有极值点。
法二： ，
。.
①当 ，即 时， 对任意 恒成立， 在 上单调递增， 没
有极值点。.
②当 ，即 时， 有两个不等正实数解，设为 ，
。
不妨设 ，则当 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 分别为 的极大值点和极
小值点。
故 有两个极值点。.
综上所述，当 时， 没有极值点，
当 时， 有两个极值点。
（2）由题意知， ，
则易知 为方程 的两个根，且 ，
所以
记 ，由 且 知 ，
则 ，
记 ，
则 ，
故 在 上单调递减。
由 知 ，
从而 ，即 ，
故 ，结合 ，解得 ，
从而 的最小值为 ，
即 的最小值为 。
【点睛】本题考查函数的单调性，极值最值问题，考查导数得综合应用,正确构造函数是关
键.
（湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题）
21.已知函数 ， ， .
（Ⅰ）若直线 与曲线 相切于点 ，证明： ；
（Ⅱ）若不等式 有且仅有两个整数解，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得函数的导数 ，由导数的几何意义和直线 的图象过定点 ，得到
，设 ，利用导数得到函数的单调性，根据零点的存在定理，即可
求解.
（Ⅱ）由 得 ，令 ，利用导数和由（1）知 在 上单调递增，
求得 ，通过分类讨论 的范围，即可满足条件 的范围.
【详解】（Ⅰ） ，
由导数的几何意义可知， ， ①
又直线 的图象过定点 ，因此 ，
即 ， ②
联立①②消去 有 .
设 ，则 ，所以 在 上单调递增．
而 ， ， ，
由函数零点存在性定理知 .
（Ⅱ）由 得 ，
令 ，则 ，
由（Ⅰ）知 在 上单调递增，
且 时， ；在 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ .
易证 ，∴ ，
当 时， ；当 时， .
（1）若 ，则 ，
此时 有无穷多个整数解，不合题意；
（2）若 ，即 ，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 无整数解，不合题意；
（3）若 ，即 ，此时 ，故 0，1 是 的两个整数解，又
只有两个整数解，因此 ，
解得 ，所以 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明、函数的有解问题，着重考
查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等
式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含
参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的
最值问题．
（吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题）
21.已知函数 .
（1）证明：当 时，函数 在 上是单调函数；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）函数 在 上是单调函数等价于证明 恒为非负或恒为非正即可；（2）原
问题等价于 恒成立，令 （ ），求函数 的最小值即可.
试题解析：
（1） ，
令 ，则 .
则当 时， ，当 时， .
所以函数 在 取得最小值， .
故 ，即函数 在 上是单调递增函数.
（2）当 时， ，即
令 （ ），则
令 （ ），则 .
当 时， 单调递增， .
则当 时， ，所以 单调递减.
当 时， ，所以 单调递增.
所以 ，所以 .
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
，若 恒成立，转化为 ;
（3）若 恒成立，可转化为 .
（山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题）
21.已知函数 ．
(I)若 ，判断 上的单调性；
(Ⅱ)求函数 上的最小值；
(III)当 时，是否存在正整数 n，使 恒成立？若存在，求
出 n 的最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(I)见解析；(Ⅱ)见解析； (III)见解析
【解析】
【分析】
（I）根据 f′（x）的符号得出结论；
（II）讨论 a 的范围，得出 f（x）在[1，e]上单调性，根据单调性得出最小值；
（III）化简不等式可得 n+xlnx ，根据两侧函数的单调性得出两函数在极值点处的函数值
的大小，从而得出 n 的范围．
【详解】（Ⅰ）当 时，
由于 ，故 ，
在 单调递增.
(Ⅱ)
当 时， 在 上单调递增，
，
当 时，由 解得 （负值舍去）
设
若 ，即 ，也就是 时， 单调递增，
，
若 ，即 时
单调递减，
单调递增.
故
若 即 时 单调递减
，
综上所述：当 时， 的最小值为 1；
当 时， 的最小值为
当 时， 的最小值为 .
（Ⅲ）当 时，不等式为
恒成立
由于 ，故 成立， ，又
所以 n 只可能为 1 或 2.
下证 时不等式 恒成立
事实上，设
，
又设 在 单调递增
故
即
所以当 时， 单调递减，
时， 单调递增，
故
即 时， ，对 恒成立，
所以存在正整数 n，且 n 的最大值为 2，满足题意.
【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论、等价转化思想，
考查运算求解能力，属于中档题．
（辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题）
21.设函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若存在正数 ，使得当 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
分析：函数求导得 ，讨论 ，由导数的正负求单调区间即可；
（2）若 ，分析函数可知 ， 即 ，设 ，
，讨论 和 两种情况，知 成立， 时不成立， 时，
存在 ，使得当 时， ， 可化为 ，即 ，设
，分析 和 求解即可.
详解：（1） ．
当 时， ， 上 单调递增．
当 时，若 ，则 ，若 ，则 ；所以 在 单调递增，在
上单调递减．
（2）若 ， 在 内单调递增，当 时， ，所以 ，
即 .
设 ， .
若 ， 时， ， 在 单调递增.所以当 时， ，
故存在正数 ，使得当 时， .
若 ，当 时， ， 在 单调递减，因为 ，所以 .
故不存在正数 ，使得当 时， .
若 ， 在 单调递减，因为 ，所以存在 ，使得当 时， ，
可化为 ，即 .
设 ， .
若 ，则 时， ， 在 单调递增，又 ，所以 时， .
故不存在正数 ，使得当 时， .
当 时，当 时， ， 在 单调递减，又 ，所以 .
故存在 ，使得当 时， .
综上，实数 的取值范围为 ．
点睛：点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转
化为 ，若 恒成立 ；
（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）
.
（福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）
21.已知函数 ， .
（1）讨论 极值点的个数；
（2）若 ，不等式 恒成立，当 为正数时，求 的最小值.
【答案】（1） 时， 在 上没有极值点.当 时， 在 上有两个极值
点； （2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 求 导 可 得 ， 可 知 导 函 数 的 最 小 值 为 ， 当 时 ，
恒成立，没有极值点，当 时， ，由
于 ，只需要讨论二次方程 的解得情况即可；（2）不等式 恒成立，
即 恒成立，构造函数 ，对其求导，求出它的最小值为
，即 ，然后结合基本不等式即可求出 的最小值。
【详解】（1） ，
时， 恒成立，
在 上是增函数，没有极值点.
当 时， ，
二次方程 中， ， ， ，
二次方程 有两个不等的正根.
在 上有两个根， 在 上有两个极值点.
综上所述， 时， 在 上没有极值点.当 时， 在 上有两个极值
点.
（2）不等式 恒成立，即 恒成立.
记 ，
，
时， ， ， 在上是增函数，
时， ， ， 在上是减函数，
，
当 为正数时，
，
当且仅当 即 时取等号.
的最小值为 .
【点睛】本题考查了函数的极值点与导函数的关系，考查了利用导数求函数的最值问题，考
查基本不等式求最值，属于难题。
（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题）
21.已知函数
（1）当 时，证明 在 单调递减；
（2）当 时，讨论 的零点个数.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）将 a 的值代入 中，计算导数，构造新函数 ，结合导数，判断 的范围，即可
得出 的单调性。（2）构造函数 ，结合导函数，针对 a 的不同范围，判断 的零点个
数，进而得到 的零点个数，即可。
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，则 ，
，在 上为减函数，且 ，
令 ，得 ，所以 的递增区间为 ，
同理，可得 的递减区间为 ，
所以 即 ，
故 在 单调递减.
（2）由（1）得 时， 在 单调递减，又 ，
所以 时， 有一个零点.
因为 定义域为 ，故 与 有相同的零点，
令 ，则 ，
当 时， 时， ， 时，
所以 ， 无零点， 也无零点.
当 时，令 ，得 或
1
- 0 + 0 -
↘ ↗ ↘
，
当 时，
当 即 时， ，
故 有一个零点， 也有有一个零点.
综上可知，当 时， 无零点；
当 时， 有一个零点.
【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性的关系以及利用导函数判定零点个数问题，难
度较大。
（福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题）
21.已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．对 a 分类讨论，即可得出单调性．
（2）由 xex-ax-a+1≥0，可得 a（x+1）≤xex+1，当 x=-1 时，0≤- +1 恒成立．当 x＞-1 时，
a 令 g（x）= ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】解法一：（1）
①当 时，
-1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以 在 上单调递减，在 单调递增.
②当 时， 的根为 或 .
若 ，即 ，
-1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
若 ，即 ，
在 上恒成立，所以 在 上单调递增，无减区间.
若 ，即 ，
-1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上：
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
自 时， 在 上单调递增，无减区间；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 ，所以 .
当 时， 恒成立.
当 时， .
令 ， ，
设 ，
因为 在 上恒成立，
即 在 上单调递增.
又因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，所以 .
综上， 的取值范围为 .
解法二：（1）同解法一；
（2）令 ，
所以 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，满足题意.
当 时，
令 ，
因为 ，即 在 上单调递增.
又因为 ， ，
所以 在 上有唯一的解，记为 ，
- 0 +
↘ 极小值 ↗
，满足题意.
当 时， ，不满足题意.
综上， 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式
的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题）
21.已知函数 （ ），若 存在极大值点 和极小值点 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，其实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得 ，分类讨论求得函数的单调区间，再利用函数极值
的概念，即可求解；
（2）解法一：由（1）根据题意得 对任意 恒成立，转换为
，设 ，利用导数求得函数 的单调区间和最值，即可
得到结论；
解法二：由（1）根据题意得 对任意 恒成立，
设 ，利用导数分类讨论，求得函数 的单调区间和最值，即可
得到结论；
【详解】（1）由 得 ，
即 ，
①当 时，当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递增，在 单调递减， 不存在极小值点，不合题意
②当 时，令 得， ， ，
因为 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
所以 存在极大值点 和极小值点 ，符合题意；
综上，实数 的取值范围为 .
（2）由（1）知 ，且 的极大值点为 ，极小值点为 ，
此时 ， ，
依题意，得 对任意 恒成立，
由于此时 ，所以 ；
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
令 （*）
①当 时， ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，符合题意；
②当 时， ，设（*）的两根为 ，且 ，
则 ，因此 ，
则当 时， ， 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ，
所以 ，矛盾，不合题意；
综上， 的取值范围是 .
解法二：（1）同解法一；
（2）由（1）知 ，且 的极大值点为 ，极小值点为 ，
此时 ， ，
依题意，得 对任意 恒成立，
设 ，
则 ，
①当 时，当 时， ，所以 在 单调递增，
以 ，所以 在 单调递减，所以 ，
即 ，不合题意；
②当 时，当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 ，所以 在 单调递增，、
所以 ，即 ，符合题意；
③当 时， ，所以 在 单调递减，
又因为 ， ，
设 ，则当 时， ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，即 在 恰有一个零点 ，
且当 时， ， 在 单调递减，
所以当 时， ，即 ，不合题意；
综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能
力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，
求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，
求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结
合思想的应用.
（福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题）
21.已知函数 ．
（1）求 的极值；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
【答案】（1） 时， 无极值； 时， 的极大值为 ，无极小值.
（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得函数的导数 ，分类讨论求得函数的单调性，即可求解函数的极
值；
（2）解法一：依题意，令 ，不等式的恒成立，即为 在 恒成立，
利用导数分类讨论求解函数 的单调性和最值，即可求解；
解法二：依题意，令 ，不等式的恒成立，转化为 在 恒成立，求
得 ，利用二次函数的性质，求得函数 的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
① 时， ， 在 上为增函数，
所以 无极值.
② 时，令 ，得 .
时， ， 为增函数，
时， ， 为减函数，
故 的极大值为 ，无极小值.
综上， 时， 无极值； 时， 的极大值为 ，无极小值.
（2）解法一：依题意， 在 恒成立
令 ，即 在 恒成立
，
① 时， ， 在 上为增函数，
时， 不合题意，舍去.
② 时，令 ，则 ，
所以 时， ， 为减函数，
所以 ，适合题意；
③ 时， ，方程 有两个不等实根 ，
因为 ，
所以 时， ， 为增函数，
故 不合题意，舍去
综上， 的取值范围为 .
解法二：依题意， 在 恒成立，
令 ，即 在 恒成立
，
① 时，因为 ，
所以 在 上为增函数，故 ，适合题意；
② 时，令 ，
，
以为 ，
所以 时， 为减函数且 ，
所以 ， 为减函数，
所以 时， 不合题意，舍去
③ 时， 的对称轴为 ，因为 ，
所以 时， 为减函数且 ，
所以 ，故 为减函数，
所以 时， 不合题意，舍去
综上， 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中综合的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考
查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度
进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调
区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒
成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）
21.已知函数 （ ， ）.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，求 k 的取值范围.
【答案】（1）详见解析（2） 或
【解析】
【分析】
（1）将函数求导并化简，对 分成 两种情况，讨论函数 的单调性.（2）原不等
式即 （ ），当 时，上述不等式显然成立.当 时，将不等式变为
，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，由此求得 的
取值范围.
【详解】解：（1） ．
①若 ，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
②若 ，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
∴当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2） （ ），
当 时，上不等式成立，满足题设条件；
当 时， ，等价于 ，
设 ，则 ，
设 （ ），则 ，
∴ 在 上单调递减，得 ．
①当 ，即 时，得 ， ，
∴ 在 上单调递减，得 ，满足题设条件；
②当 ，即 时， ，而 ，
∴ ， ，又 单调递减，
∴当 ， ，得 ，
∴ 在 上单调递增，得 ，不满足题设条件；
综上所述， 或 ．
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有
参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，
分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数
图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.
（广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）求实数 的值，使得 是函数 唯一的极值点．
【答案】（1） （2）-1
【解析】
【分析】
（1）对函数求导并因式分解后，令导数小于零求得函数的单调递减区间.（2）先求出 的
表达式并因式分解得到 ，注意到 ，令 通过 的
导数结合“ 是函数 唯一的极值点”，对 分成 两类进行讨论，
【详解】解：（1） ，
令 ，得 或 ，
由 得 ，而不等式组 的解集为
∴函数 的单调递减区间为 ；
（2）依题意得 ，显然 ，
记 ， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
由题意知，为使 是函数 唯一的极值点，则必须 在 上恒成立；
只须 ，因 ，
①当 时， ，即函数 在 上单调递增，
而 ，与题意不符；
②当 时，由 ，得 ，即 在 上单调递减，
由 ，得 ，即 在 上单调递增，
故 ，
若 ，则 ，符合题意；
若 ，则 ，不合题意；
综上所述， ．
【或由 ，及 ，得 ，∴ ，解得 ．】
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递减区间，考查利用导数求解有关函数极值
点的问题，综合性较强，属于难题.利用导数求函数的单调区间，要对函数求导然后因式分
解，得到的式子往往是一次函数、二次函数，或者类似二次函数的因式，可以类比二次函数
的图像得到函数的单调区间.
（广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）
21.已知函数
（I）讨论 的单调性；
（II）当 ，是否存在实数 ，使得 ，都有 ？若存在求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（I）当 ， 在 为增函数；当 ， 在 为增函数，在 为
减函数； （II） .
【解析】
【分析】
（I）先求得函数 的定义域，对其求导后对 分成 两类，讨论函数的单调区间.（II）
将 不 等 式 等 价 转 化 为 恒 成 立 ， 构 造 函 数
，利用其导数恒为非负数列不等式，分离常数后利用基本不等式
求得 的取值范围.
【详解】（I） 的定义域为
，
当 ，则 ， 在 为增函数，
，令 ，解得 或 （舍去），
所以，当 ， ， 在 为增函数；
当 ， ， 在 为减函数，
综上所述，当 ， 在 为增函数；
当 ， 在 为增函数，在 为减函数。
（II）不妨设 ，则 ，
假设存在实数 ，使得 ，都有 ，
则 恒成立，
即 恒成立，（*）
设 ，即（*）等价于 在 为单调递增
等价于 在 恒成立，
等价于 在 恒成立，
等价于 在 恒成立，
∴ ，当且仅当 取等号，
∴ ，∴ 的取值范围为
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用分析法化简不等式，考查利
用导数求解不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的数学思想.利用导数求函数的单调区间
时，要注意先求出函数的定义域，要在函数定义域的范围内来研究函数的单调区间.分离常
数法是解不等式恒成立问题中常用的方法.
（广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题）
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）将函数求导后，对 分成 两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结
论，当 时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当 时，利用函数
的最小值小于零，求得 的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得 点的取值范围.
【详解】（1）
若 ， ， 在 上单调递减；
若 ，当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增.
（2）若 ， 在 上单调递减，
至多一个零点，不符合题意.
若 ，由（1）可知， 的最小值为
令 ， ，所以 在 上单调递增，
又 ，当 时， ， 至多一个零点，不符合题意，
当 时，
又因为 ，结合单调性可知 在 有一个零点
令 ， ，当 时， 单调递减，当 时， 单调
递增， 的最小值为 ，所以
当 时，
结合单调性可知 在 有一个零点
综上所述，若 有两个零点， 的范围是
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问
题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用
导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数
零点个数问题，往往转化为函数最值来解决.
（河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）
21.已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）设 ， 为函数 图象上不同的两点， 的中点为 ，求证：
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数求导 ，函数定义域为 ，由于 ，可知 当
时， ，当 时， ，即可判断单调性；（2）先求出 ，
和 ， 则 要 证 的 不 等 式
， 不 妨 假 设 ， 即 证
，令 ，构造函数 ，求导可判断函数 在 上单调
递增，则 ，进而可以证明不等式成立。
【详解】（1） 的定义域为 ， .
由于 ，则当 时， ，当 时， ，则 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 .
（2）证明：因为 为 的中点，则 ，故
，
故要证 ，即证 ，由于 ，即证 .
不妨假设 ，只需证明 ，即 .
设 ，构造函数 ， ，故 在 上单调
递增，
则 ，则有 ，从而 .
【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了函数的导数，函数的单调性，考查了不
等式的证明，及构造函数的思想，属于难题。
（河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题）
21.设 的导数为 ，若函数 的图象关于直线 对称，
且 （1）
（Ⅰ） 求实数 ， 的值；
（Ⅱ） 求函数 的极值 ．
【答案】（1） （2）f（x）极大值＝f（﹣2）＝21， f（x）极小值＝f（1）＝﹣6．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的对称性求出 a，b 的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极
值即可．
【详解】（1） ，
若函数 的图像关于直线 x 对称，则有 ，
又 ，则 =12，
所以 ，解得： ；
(2)由（1）知： ，
，令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，在 递增，
故 f（x）极大值＝f（﹣2）＝21，
f（x）极小值＝f（1）＝﹣6．
【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数的对称性问题，是
一道中档题．
（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题）
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的导函数，然后分 a＞0， a＜0 两种情况进行分类求函数的单调区间；
（2） ，即 ，
令 ，研究函数 的单调性与最值即可.
【详解】解：（1）依题意 ，
当 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
可知 的增区间为 ， ，减区间为 ；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 或 ，
可知 的增区间为 ，减区间为 ， .
综上，当 时， 的增区间为 ， ，减区间为 ；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 ， .
（2） ，即 ，
令 ， 则 ，
令 ，则 .
①若 ，当 时， ，从而 在 上单调递增，
因为 ，故当 时， ，即 ，
从而 在 上单调递增，因为 ，
故当 时， 恒成立，符合题意；
②若 ，当 时， 恒成立，从而 在 上单调递减，
则 ，即 时， ，
从而 在 上单调递减，此时 ，不符合题意；
③若 ，由 ，得 ，当 时， ，故 在
上单调递减，则 ，即 ，
故 在 上单调递减，故当 时， ，不符合题意；
综上所述，实数 的取值范围为
【点睛】本题主要考查了函数的单调性和导数的关系，不等式恒成立问题，考查了推理论证
能力，运算求解能力，分类讨论的思想和等价转化思想，属于中档题．
（湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题）
21.已知函数 .
（1）求函数 的图像在 处的切线方程与 的单调区间；
（2）设 是函数 的导函数，试比较 与 的大小.
【答案】（1） 函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） .
【解析】
【分析】
（1）求 ，从而求得切线的斜率 ，即可求得切线方程，令 及 ，分别求得
函数 的增、减区间。
（2）把 与 的大小问题转化成： 与 的大小问题来解决，令
，利用导数求出该函数的单调性，从而求出该函数的最大值，即可判断两个数
的大小。
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∴ ， ，所以所求切线方程为 ，
即 .
令 ，解得 ， ，解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）∵ ，
∴ 与 的大小关系等价于 与 的大小关系，
令 ，则 ，
∵ 在 上单调递减，且有 ， ，
∴ ，使 ，即有 ，
即当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，
又由 ，可得 ， ，
，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，即 .
【点睛】（1）考查了导数的几何意义及导数计算，还考查了导数与函数单调性的关系，属
于基础题。
（2）考查了转化思想及利用导数解决函数的单调性问题，还考查了函数零点判断方法及求
函数最值的求法，计算量较大，属于较难题型。
（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
21.已知函数 ，其中为自然对数的底数.
（1）求函数 的极值点；
（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)先求出函数的导数 ，讨论 、
、 且 即可求出函数的极值点;
(2)由题意可将 ， 恒成立转化为 时， 恒成立，然后构造
函数 ，用导数的方法研究其在 上的单调性和值域即可.
【详解】解：（1） ,
当 时， ，故无极值点；
当 时，函数 只有一个极值点，极值点为 ；
当 且 时，函数 有两个极值点，分别为 和 .
（2） ，依题意，当 时， ，
即当 时， .
设 ，则 .
设 ，则 .
①当 时， ， ，从而 （当且仅当 时，等号成立），
在 上单调递增.
又 ， 当 时， ，从而当 时， ，
在 上单调递减，又 ，
从而当 时， ，即 ，
于是当 时， .
②当 时，令 ，得 ， .
故当 时， ，
在 上单调递减.
又 ， 当 时， ，从而当 时， ，
在 上单调递增，又 ，
从而当 时， ，即 ，
于是当 时， ，不符合题意.
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】本题第一问主要考查函数的极值点问题，即是求其导函数所对应方程的根的问题，
较基础；第二问主要考查导数的方法研究函数的单调性和值域，讨论的过程较繁琐，难度较
大.
（湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）
21.已知函数 .
（1）证明：当 时， 的导函数 的最小值不小于 0；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见证明； (2)
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数 ，令 ，利用导数求得函数 的单调区间
和最值，即可得到证明；
（2）当 时，把不等式的恒成立转化为 ，令 ，利用
导数求得函数 的单调性和最值，即可求解实数 的取值范围。
【详解】（1）证明： ，
令 ，则 .
则当 时， ，当 时， .
所以函数 ，即 在 取得最小值， .
（2）解：当 时， ，即 .
令 ，则 .
令 ，则 .
当 时， 单调递增， .
则当 时， ，所以 单调递减.
当 时， ，所以 单调递增.
所以 ，所以 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化
与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)
考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判
断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有
解问题，同时注意数形结合思想的应用。
（湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题）
21.已知函数 ， .
（Ⅰ）试讨论 的单调性；
（Ⅱ）记 的零点为 ， 的极小值点为 ，当 时，求证 .
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对函数 f(x)求导，分 和 a<0 进行讨论，可得函数单调性；（Ⅱ）对函数 g(x)求导，
分析 单调性，由零点存在性定理可确定 的零点即 极小值点 ，从而得到 a 与 的
等量关系，将等量关系代入 中，利用函数 f(x)的单调性即可得到证明.
【详解】解：（Ⅰ） .
若 ，则 ， 在 上单调递增；
若 ，则 必有一正一负两根，且正根为 .
当 ， ， 在 上单调递增；
当 ， ， 在 上单调递减.
综上可知，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（Ⅱ） ， ，
所以 在 单调递增.
又 ， ，
故 存在零点 ，且 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 即
为的 极小值点，
故 .
由 知， ，
所以 ，
又 ，所以 .
由（Ⅰ）可知， 时， 在 单调递增，
因此 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值问题，考查导数的综合应用，考查分类
讨论思想和推理能力，属于中档题.
（湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题）
21.已知函数 ，其中 ，设 为 导函数.
（Ⅰ）设 ，若 恒成立，求 的范围；
（Ⅱ）设函数 的零点为 ，函数 的极小值点为 ，当 时，求证： .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】
（I）计算 的导函数，计算 最小值，结合恒不等式，建立不等关系，计算 a 的范围，
即可。（II）构造函数 ，判定极小值点，进而得到 的单调性，得到
，结合单调性，即可。
【详解】（Ⅰ）由题设知， ，
， .
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
故 在 处取到最小值，且 .
由于 恒成立，所以 .
（Ⅱ）设 ，则 .
设 ，则 ，
故 在 上单调递增.
因为 ，所以 ， ,
故存在 ，使得 ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 是 的极小值点，因此 .
由（Ⅰ）可知，当 时， .
因此 ，即 单调递增.
由于 ，即 ，即 ，
所以 .
又由（Ⅰ）可知， 在 单调递增，因此 .
【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性以及极值问题，难度较大。
（江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题）
21.已知函数 ， .
（I）求函数 的最大值；
（II）当 时，函数 有最小值，记 的最小值为 ，求函数 的值
域.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）首先求得导函数，然后根据导函数与 0 的关系求得函数 的单调区间，从
而求得 的最大值；（2）首先求得 ，然后结合（1）分 、 求得函数的单调区
间与最小值的函数解析式，再通过求导研究其的单调性，从而求得 的值域.
试题解析：（1）f′(x)＝（x＞0），
当 x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当 x＝e 时，f(x)取得最大值 f(e)＝. …4 分
（2）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（1）及 x∈(0，e]得：
①当 a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
当 x＝e 时，g(x)取得最小值 g(e)＝h(a)＝－. …6 分
②当 a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，
所以存在 t∈[1，e)，g′(t)＝0 且 lnt＝at，
当 x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当 x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以 g(x)的最小值为 g(t)＝h(a). …9 分
令 h(a)＝G(t)＝－t，
因为 G′(t)＝＜0，所以 G(t)在[1，e)单调递减，此时 G(t)∈(－，－1].
综上，h(a)∈[－，－1]. …12 分
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关系.
（四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题）
21.己知函数 .
（1)若 f（x）有两个极值点，求实数 m 的取值范围：
(2)若函数 有且只有三个不同的零点，分别记为 x1，x2，x3，设
x1＜x2＜x3，且 的最大值是 e2，求 x1x3 的最大值．
【答案】(1) (0， )；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，利用函数 f（x）有两个极值点，说明导函数有两个解，即 有
两个不等的实数根，令 ，则 ，求得 的极大值 ，可求得 m 的取值范
围．
（2）根据 g(x) =(x-e)(lnx-mx)，得到 x=e 是其零点．又结合（1）知 lnx-mx=0 的两个根分别
在(0，e)，(e，+∞)上，得到 g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0e，
进行 的换元，则 t∈ ．由 ，解得 构造 ，
t∈ ，利用导函数转化求解即可．
【详解】（1）由题意得 ，x>0．
由题知 =0 有两个不等的实数根，
即 有两个不等的实数根．令 ，则 ．
由 >0，解得 ，故 在(0，e)上单调递增；
由 <0，解得 x>e，故 在(e，+∞)上单调递减；
故 在 x=e 处取得极大值 ，且 ，
结合图形可得 .
∴当函数 f(x)有两个极值点时，实数 m 的取值范围是(0， )．
（2）因为 g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，
显然 x=e 是其零点．
由（1）知 lnx-mx=0 的两个根分别在(0，e)，(e，+∞)上，
∴ g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0e．
令 ，则 t∈ ．
则由 解得
故 ，t∈ ．
令 ，则 ．
令 ，则 ．
所以 在区间 上单调递增，即 > ．所以 ，即 在区间 上单调递
增，即 ≤ = ，所以 ，即 x1x3≤ .
所以 x1x3 的最大值为 ．
【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的
求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．
（广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）
21.已知函数 ，直线 是曲线 的的一条切线.
（1）求 的值；
（2）设函数 ，证明：函数 无零点.
【答案】（1） .（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）若直线 是曲线 的的一条切线，设 ，则
，解得实数 的值；
（2）由（1）知 .
，令 ，研究 的性质可得 在 上单调递减，在
上单调递增，故 .可得 故 ，
即函数 无零点.
试题解析：（1）
设切点为 ，则 ，
解得 ， .
∴ 为所求.
（2）由（1）知 .
，令 ，
∵当 时， ，∴函数 在 上单调递增，
又 , ，∴ 存在唯一零点 ，
且当 时， ，当 时， .
即当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 无零点.
