高中数学选修第3章3_1_5同步练习

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高中数学人教A版选2-1 同步练习 已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　　 B．1‎ C．0 D．－2‎ 解析：选A.p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，‎ ‎∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.‎ 已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是(　　)‎ A．0 B. C．π D. 解析：选C.法一：cos〈，〉＝ ‎＝＝－1.‎ ‎∴〈，〉＝π.‎ 法二：注意到A、B关于原点对称，故，为相反向量，所以夹角为π.‎ 已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)、B(4，－3，7)、C(0，5，1)，M为BC的中点，则||＝________．‎ 解析：M(2，1，4)，∴＝(－1，－2，2)．‎ ‎∴||＝＝3.‎ 答案：3‎ 已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x，2，－4)，c＝(－1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x＝________，y＝________，z＝________．‎ 解析：∵a⊥b，‎ ‎∴x－4－4z＝0.‎ ‎∵a⊥c，‎ ‎∴－1＋(－2)y＋3z＝0.‎ ‎∵b⊥c，‎ ‎∴－x＋2y－12＝0，‎ ‎∴x＝－64，y＝－26，z＝－17.‎ 答案：－64　－26　－17‎ ‎[A级　基础达标]‎ 已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.由已知得a＝(1，，)，b＝(1，0，)，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝.‎ 已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋‎2c|等于(　　)‎ A．3 B．2 C. D．5‎ 解析：选A.∵a－b＋‎2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)，‎ ‎∴|a－b＋‎2c|＝3.‎ 已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(‎2a－b)，则(　　)‎ A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4‎ C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1‎ 解析：选B.a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，‎ ‎2a‎－b＝(2－x，3，－2y－2)，‎ ‎∵(a＋2b)∥(‎2a－b)，∴存在λ，使a＋2b＝λ(‎2a－b)，‎ ‎∴∴ 已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x＝__________．‎ 解析：∵a＋b＝(－2，1，x＋3)，‎ ‎∴(a＋b)·c＝－2－x＋2(x＋3)＝x＋4.‎ 又∵(a＋b)⊥c，‎ ‎∴x＋4＝0，即x＝－4.‎ 答案：－4‎ 已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，0，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ＝__________．‎ 解析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，‎ ‎∴解得λ＝10.‎ 答案：10‎ 已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)．求：‎ ‎(1)|b|；(2)(‎2a＋3b)·(a－2b)．‎ 解：(1)|b|＝＝＝7；‎ ‎(2)∵|a|＝＝＝6，‎ a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，‎ ‎∴(‎2a＋3b)·(a－2b)＝‎2a2＋‎3a·b－‎4a·b－6b2‎ ‎＝2×62－22－6×72＝－244.‎ ‎[B级　能力提升]‎ 已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　)‎ A．x<－4 B．－44‎ 解析：选A.∵a、b的夹角为钝角，∴a·b<0.‎ 即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0，‎ ‎∴x<－4.‎ 又当夹角为π时，存在λ<0，使b＝λa，‎ ‎∴此方程组无解，故选A.‎ 已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.设＝λ ，‎ 则＝－＝－λ ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，‎ ＝－＝－λ ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以 ·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)‎ ‎＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.‎ 所以，当λ＝时，·最小，‎ 此时＝＝.‎ 已知‎3a－2b＝(－2，0，4)，c＝(－2，1，2)，a·c＝2，|b|＝4，则cos〈b，c〉＝__________．‎ 解析：(‎3a－2b)·c＝(－2，0，4)·(－2，1，2)＝12，‎ 即‎3a·c－2b·c＝12.‎ 由a·c＝2，得b·c＝－3.‎ 又∵|c|＝3，|b|＝4，‎ ‎∴cos〈b，c〉＝＝－.‎ 答案：－ (2012·深圳高二检测)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．‎ ‎(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎(2)若向量a分别与向量，垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．‎ 解：(1)∵＝(－2，－1，3)，‎ ＝(1，－3，2)，‎ ‎∴cos∠BAC＝＝，‎ ‎∴∠BAC＝60°，‎ ‎∴S＝||||sin60°＝7.‎ ‎(2)设a＝(x，y，z)，‎ 则a⊥⇒－2x－y＋3z＝0，‎ a⊥⇒x－3y＋2z＝0，‎ ‎|a|＝⇒x2＋y2＋z2＝3，‎ 解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，‎ ‎∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)．‎ (创新题)如图，直三棱柱ABCA1B‎1C1的底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A‎1A的中点．‎ ‎(1)求的模；‎ ‎(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；‎ ‎(3)求证：A1B⊥C‎1M.‎ 解：以C为坐标原点，以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，如图．‎ ‎(1)由题意得 N(1，0，1)，B(0，1，0)，‎ ‎∴||＝＝.‎ ‎(2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，C1(0，0，2)．‎ ‎∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，‎ ‎∴·＝3.‎ ‎||＝，||＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝，‎ ‎∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.‎ ‎(3)证明：∵M，∴＝(，，0)，‎ 又∵＝(－1，1，－2)，‎ ‎∴·＝－1×＋1×＋(－2)×0＝0，‎ ‎∴⊥，即A1B⊥C‎1M.‎