中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义23 圆(教师版)

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中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义23 圆(教师版)

专题 23 圆 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 与圆有关的概念 圆的概念:在一个平面内,线段 段 绕它固定的一个端点 旋转一周,另一个端点 段 所形成的图形叫圆.这 个固定的端点 叫做圆心,线段 段 叫做半径.以 点为圆心的圆记作⊙O,读作圆 O. 特点:圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形. 确定圆的条件: ⑴ 圆心; ⑵ 半径, ⑶ 其中圆心确定圆的位置,半径长确定圆的大小. 补充知识: 1)圆心相同且半径相等的圆叫做同圆; 2)圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆; 3)半径相等的圆叫做等圆. 弦的概念:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径,并且直径是同一圆中最长的弦. 弧的概念:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以 段 、 为端点的弧记作 段 ,读作弧 AB.在同圆或 等圆中,能够重合的弧叫做等弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧, 小于半圆的弧叫做劣弧. 弦心距概念:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 弦心距、半径、弦长的关系:(考点) 圆心角概念:顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角概念:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 三角形的外接圆 1)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做 三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 2)三角形外心的性质: ①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等; ②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无 数个,这些三角形的外心重合. 3)锐角三角形外接圆的圆心在它的内部(如图 1);直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形 外接圆半径等于斜边的一半,如图 2);钝角三角形外接圆的圆心在它的外部(如图 3). 图3 图2 图1 O C B A O C B A O C B A 圆内接四边形概念:如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形。 弓形与扇形 弓形的概念:由弦及其所对的弧组成的图形。 扇形的概念:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 【典型例题】 1.(2018·陆丰市民声学校中考模拟)如图,AB 是⊙O 直径,点 C,D 在⊙O 上,OD∥AC,下列结论错误 的是( ) A.∠BOD=∠BAC B.∠BAD=∠CAD C.∠C=∠D D.∠BOD=∠COD 【答案】C 【详解】∵OD//AC, ∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD,故 A 选项正确, ∵OA=OD, ∴∠D=∠BAD,∴∠BAD=∠CAD,故 B 选项正确, ∵OA=OC,∴∠BAD=∠C,∴∠BOD=∠COD,故 D 选项正确, 由已知条件无法得出∠C=∠D,故 C 选项错误, 故选 C. 2.(2018·北京中考模拟)有下列四种说法: ①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中,错误的 说法有( ) A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 【答案】B 【详解】 圆确定的条件是确定圆心与半径,是假命题,故此说法错误; 直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确; 弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误; ④半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所 以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说 法正确. 其中错误说法的是①③两个. 故选:B. 3.(2018·上海中考模拟)下列说法中,正确的个数共有( ) (1)一个三角形只有一个外接圆; (2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形; (3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等; (4)三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等; A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【详解】 (1)一个三角形只有一个外接圆,正确; (2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,正确; (3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确; (4)三角形的内心是三个内角平分线的交点,到三边的距离相等,错误; 故选:C. 4.(2018·湖北中考模拟)有下列说法:①等弧的长度相等;②直径是圆中最长的弦;③相等的圆心角对的 弧相等;④圆中 90°角所对的弦是直径;⑤同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【解析】试题解析: 同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫等弧,所以长度相等,故正确; 连接圆上任意两点的线段叫做弦,所以直径是最长的弦,故正确; 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故错误; 圆中 90°圆周角所对的弦是直径,故错误; 弦所对的圆周角可在圆心一侧,也可在另一侧,这两个圆周角互补,但不一定相等,所以同圆中等弦所对 的圆周角也不一定相等,故错误. 综上所述,正确的结论有 2 个,故应选 B. 5.(2017·广东中考模拟)如图,在⊙O 中,AB 为直径,CD 为弦,已知∠ACD=40°,则∠BAD 的度数为 ( ) A. 40 B. 45 C. 60 D.50 【答案】D 【解析】 解:∵在⊙O 中,AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∵∠B=∠ACD=40°, ∴∠BAD=90°﹣∠B=50°. 故选 D. 【考查题型汇总】 考查题型一 利用圆的半径相等进行相关计算 1.(2019·浙江省杭州第七中学中考模拟)如图,A、C、B 是⊙O 上三点,若∠AOC=40°,则∠ABC 的度 数是( ). A.10° B.20° C.40° D.80° 【答案】B 【解析】 根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB 的度数等于∠AOB 的一半,故选 B 2.(2018·黑龙江中考模拟)如图,点 A、B、C 都在⊙O 上,若∠AOC=140°,则∠B 的度数是( ) A.70° B.80° C.110° D.140° 【答案】C 【解析】 详解:作 段 对的圆周角∠APC,如图, ∵∠P= ∠AOC= ×140°=70° ∵∠P+∠B=180°, ∴∠B=180°﹣70°=110°, 故选:C. 3.(2019·四川省平昌中学中考模拟)如图,在⊙O 中,直径 CD⊥弦 AB,则下列结论中正确的是 ( ) A.AC=AB B.∠C= ∠BOD C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD 【答案】B 【详解】 解:∵直径 CD⊥弦 AB, ∴弧 AD =弧 BD, ∴∠C= ∠BOD. 故选 B. 4.(2018·贵州中考模拟)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,⊙O 的半径为 4,则 AC 的长等于( ) A.4 B.6 C.2 D.8 【答案】A 【解析】 试题解析:连接 OA,OC,过点 O 作 OD⊥AC 于点 D, ∵∠AOC=2∠B,且∠AOD=∠COD= ∠AOC, ∴∠COD=∠B=60°; 在 Rt△COD 中,OC=4,∠COD=60°, ∴CD= OC=2 , ∴AC=2CD=4 . 故选 A. 5.(2019·云南中考模拟)如图,已知:在⊙O 中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC 的度数为( ) A.70° B.45° C.35° D.30° 【答案】C 【详解】 解:∵OA⊥BC,∠AOB=70°, ∴ AB = 段 , ∴∠ADC= ∠AOB=35°. 故选 C. 6.(2019·广西中考模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(A、B 除外),∠AOD=136°,则∠C 的度数是( ) A.44° B.22° C.46° D.36° 【答案】B 【详解】 ∵∠AOD=136°,∴∠BOD=44°,∴∠C=22°,故选:B. 考查题型二 圆心角与圆周角的关系解题 1.(2019·武汉市第四十六中学中考模拟)如图,BE 是⊙O 的直径,半径 OA⊥弦 BC,点 D 为垂足,连 AE、 EC. (1)若∠AEC=28°,求∠AOB 的度数; (2)若∠BEA=∠B,EC=3,求⊙O 的半径. 【答案】(1) .(2)3. 【详解】 解: 连接 OC. 半径 OA ⊥ 弦 BC, 段 段 , AOC AOB , AOC AEC , AOB . BE 是 的直径, ECB 90 , 段 段 AEC BEA , BEA , AEB AEC AEB AEC 80 , AEB AEC 0 , EC , EB EC , 的半径为 3. 2.(2018·吉林中考模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是 AB 延长线上的点,CD 与⊙O 相切于点 D,连 结 BD、AD. (1)求证;∠BDC=∠A. (2)若∠C=45°,⊙O 的半径为 1,直接写出 AC 的长. 【答案】(1)详见解析;(2)1+ 【详解】 (1)证明:连结 OD .如图, CD 与 相切于点 D, OD ⊥ CD , BDC = 90 °, AB 是 的直径, ADB = 90° ,即 = 90° , = BDC , OA = OD , = 段 , BDC = 段 ; (2)解:在 Rt △ ODC 中, = ° , ⸸ 段 段 3.(2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟)已知:如图,在⊙O 中,弦 CD 垂直于直径 AB,垂足为点 E, 如果∠BAD=30°,且 BE=2,求弦 CD 的长. 【答案】 【详解】 解:连接 OD,设⊙O 的半径为 r,则 OE=r﹣2, ∵∠BAD=30°, ∴∠DOE=60°, ∵CD⊥AB, ∴CD=2DE,∠ODE=30°, ∴OD=2OE,即 r=2(r﹣2),解得 r=4; ∴OE=4﹣2=2, ∴DE= ⸸ = =2 , ∴CD=2DE=4 . 知识点二 圆的基本性质  对称性 1. 圆是轴对称图形,对称轴是直径所在的直线 2. 圆是中心对称图形。  垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 常见辅助线做法(考点): 1) 过圆心,作垂线,连半径,造 △ ,用勾股,求长度; 2)有弧中点,连中点和圆心,得垂直平分.  圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量分别相等  圆周角定理(考点) 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论 1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 90° 的圆周角所对的弦是直径. (在同圆中,半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角)  圆内接四边形 性质:圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角. 【考查题型汇总】 考查题型三 运用垂径定理进行相关计算 1.(2019·苏州高新区第四中学校中考模拟)如图,等腰△ABC 内接于半径为 5 的⊙O,AB=AC,tan∠ABC = .求 BC 的长. 【答案】BC=6. 【详解】 连接 AO,交 BC 于点 E,连接 BO, ∵AB=AC, ∴ 段 段 , 又∵OA 是半径, ∴OA⊥BC,BC=2BE, 在 Rt△ABE 中,∵tan∠ABC= , ∴ 段 , 设 AE=x,则 BE=3x,OE=5﹣x, 在 Rt△BEO 中,BE2+OE2=OB2, ∴(3x)2+(5﹣x)2=52, 解得:x1=0(舍去),x2=1, ∴BE=3x=3, ∴BC=2BE=6. 2.(2019·四川省平昌中学中考模拟)如图,⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C,连结 AO 并延长交⊙O 于点 E, 连结 EC.若 AB=8,CD=2. (1)求 OD 的长. (2)求 EC 的长. 【答案】(1)5 (2) 【详解】 解:(1)设⊙O 半径为 r,则 OA=OD=r,OC=r﹣2, ∵OD⊥AB, ∴∠ACO=90°, AC=BC= AB=4, 在 Rt△ACO 中,由勾股定理得:r2=42+(r﹣2)2, r=5, ∴OD=r=5; (2)连接 BE,如图: 由(1)得:AE=2r=10, ∵AE 为⊙O 的直径, ∴∠ABE=90°, 由勾股定理得:BE=6, 在 Rt△ECB 中,EC= = =2 . 故答案为:(1)5;(2) . 13.(2019·广东中考模拟)如图,OD 是⊙O 的半径,AB 是弦,且 OD⊥AB 于点 C 连接 AO 并延长交⊙O 于点 E,若 AB=8,CD=2,求⊙O 半径 OA 的长. 【答案】r=5 【详解】 解:∵OD⊥弦 AB,AB=8, ∴AC= AB= 8 =4, 设⊙O 的半径 OA=r, ∴OC=OD﹣CD=r﹣2, 在 Rt△OAC 中, r2=(r﹣2)2+42, 解得:r=5 考查题型四 利用垂径定理解决实际问题 1.(2018·山东中考模拟)某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道 圆形截面的半径.如图,若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm,水最深的地方的高度为 4cm,求这 个圆形截面的半径. 【答案】10cm 【解析】 解:过点 O 作 OC⊥AB 于 D,交⊙O 于 C,连接 OB, ∵OC⊥AB ∴BD= AB= ×16=8cm 由题意可知,CD=4cm ∴设半径为 xcm,则 OD=(x﹣4)cm 在 Rt△BOD 中, 由勾股定理得:OD2+BD2=OB2 (x﹣4)2+82=x2 解得:x=10. 答:这个圆形截面的半径为 10cm. 2.(2017·江西南昌二中中考模拟)用工件槽(如图 1)可以检测一种铁球的大小是否符合要求,已知工件 槽的两个底角均为 90°,尺寸如图(单位:cm).将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图 1 所示的 A、 B、E 三个接触点,该球的大小就符合要求.图 2 是过球心 O 及 A、B、E 三点的截面示意图,求这种铁球 的直径. 【答案】20 ㎝. 【解析】 连接 OA、OE,设 OE 与 AB 交于点 P,如图 ∵AC=BD,AC⊥CD,BD⊥CD ∴四边形 ACDB 是矩形 ∵CD=16cm,PE=4cm ∴PA=8cm,BP=8cm, 在 Rt△OAP 中,由勾股定理得 OA2=PA2+OP2 即 OA2=82+(OA﹣4)2 解得:OA=10. 答:这种铁球的直径为 20cm. 3.(2018·山东中考模拟)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形 截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹); (2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=8 cm,水面最深地方的高度为 2 cm,求这个圆形截面的半径. 【答案】(1)详见解析;(2)这个圆形截面的半径是 5 cm. 【详解】 (1)如图,作线段 AB 的垂直平分线 l,与弧 AB 交于点 C,作线段 AC 的垂直平分线 l′与直线 l 交于点 O,点 O 即为所求作的圆心. (2)如图,过圆心 O 作半径 CO⊥AB,交 AB 于点 D, 设半径为 r,则 AD= AB=4,OD=r-2, 在 Rt△AOD 中,r2=42+(r-2)2,解得 r=5, 答:这个圆形截面的半径是 5 cm. 考查题型五 圆心角、弧、弦的关系的应用 1.(2019·富顺县赵化中学校中考真题)如图,⊙ 中,弦 段 与 ⸸ 相交于点 , 段 ⸸ ,连接 段⸸ 、 . 求证:⑴ 段⸸ ; ⑵ 段 . 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【详解】 证明(1)∵AB=CD, ∴ 段 ⸸ ,即 段⸸ 段 段 , ∴ 段⸸ ; (2)∵ 段⸸ , ∴AD=BC, 又∵∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE, ∴△ADE≌△CBE(ASA), ∴AE=CE. 2.(2018·上海中考模拟)已知:在⊙O 中,弦 AB=AC,AD 是⊙O 的直径. 求证:BD=CD. 【答案】见解析 【详解】 证明:∵AB=AC, ∴ 段 段∴∠ADB=∠ADC, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠B=∠C=90°, ∴∠BAD=∠DAC, ∴ ⸸ ⸸∴BD=CD. 3.(2019·江西中考模拟)如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,M 为弧 CD 的中点,连接 AM,BM,求证:AM =BM. 【答案】见解析. 【详解】 ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=BC, ∴弧 AD=弧 BC, ∵M 为弧 CD 中点, ∴弧 MD=弧 MC, ∴弧 AM=弧 BM, ∴AM=BM. 考查题型六 圆周角定理求角的度数 1.(2019·辽宁中考模拟)如图,AB 是⊙O 直径,若∠AOC=140°,则∠D 的度数是( ) A.20° B.30° C.40° D.70° 【答案】A 【详解】 ∵∠AOC=140°, ∴∠BOC=180°-∠AOC=40°, ∵∠BOC 与∠BDC 都对 段 段 , ∴∠D= ∠BOC=20°, 故选 A. 2.(2018·江苏中考真题)如图,AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径,若∠BAD=50°,则∠ACD=_____°. 【答案】40 【详解】 连接 BD,如图, ∵AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°, ∴∠ACD=∠ABD=40°, 故答案为:40. 3.(2019·江苏中考真题)如图, 段 是⊙ 的直径, 、 ⸸ 是⊙ 上的两点, 段 0° ,则 ⸸ _____ ° . 【答案】 0【详解】 80° 段 80° 0° 0° , ⸸ = 0° . 故答案为: 0 . 4.(2019·黑龙江中考真题)如图,在⊙ 中,半径 段 垂直于弦 ,点 ⸸ 在圆上且 段⸸ 0 ,则 段的度数为_____. 【答案】 0 【详解】 段 ⊥ , 段 段 , 段 段⸸ , 段⸸ 0 , 段 0 , 故答案为 0 . 考查题型七 圆周角定理推论的应用 1.(2018·北京中考真题)如图,点 段 , , , ⸸ 在 上, ⸸ , 段⸸ 0° , 段⸸ 0° ,则 段⸸ ________. 【答案】70° 【解析】 详解:∵ = ⸸ , ∴ 段 段⸸ 0° , ∴ 60BAD   , ∵ 段⸸ 段⸸ 0° ,∴ 段⸸ 80° 段⸸ 段⸸ 0° . 故答案为: 0°2.(2018·贵州中考真题)如图,AB 是⊙O 的直径,C、D 为半圆的三等分点,CE⊥AB 于点 E,∠ACE 的 度数为_____. 【答案】30° 【详解】 如图,连接 OC. ∵AB 是直径, 段 ⸸ ⸸ , ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°, ∵OA=OC, ∴△AOC 是等边三角形, ∴∠A=60°, ∵CE⊥OA, ∴∠AEC=90°, ∴∠ACE=90°﹣60°=30°. 故答案为 30° 3.(2019·湖南中考真题)如图,C、D 两点在以 AB 为直径的圆上, 段 , 段⸸ 0 ° ,则 段⸸ _______. 【答案】1 【详解】 解:∵AB 为直径, ∴ 段⸸ 90 ° , ∵ 段⸸ 0 ° , ∴ 段⸸ 段 . 故答案为 1. 考查题型八 利用圆内接四边形的性质定理求角的度数 1.(2019·吉林中考模拟)如图,四边形 段⸸ 是半圆的内接四边形, 段 是直径, ⸸ .若 0° , 则 段 的度数等于( ) A. ° B. 0° C. ° D. 0°【答案】A 【详解】 连接 AC, ∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形, ∴∠DAB=180°-∠C=70°, ∵ ⸸ , ∴∠CAB= ∠DAB=35°, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°, 故选 A. 2.(2019·四川中考真题)如图,正五边形 段⸸ 内接于⊙ , 为 ⸸ 上的一点(点 不与点 ⸸ 重合),则 ⸸ 的度数为( ) A. 0° B. ° C. 0° D. °【答案】B 【详解】 连接 CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为 72°,即∠COD=72°, 同一圆中,同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半, 故∠CPD= ° ° , 故选 B. 3.(2019·广东中考模拟)如图,△ABC 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,∠ACB=40°,点 D 是劣弧 上一 点,连结 CD、BD,则∠D 的度数是( ) A.50° B.45° C.140° D.130° 【答案】D 【详解】 ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ABC=90°, ∴∠A=90°-∠ACB=90°-40°=50°, ∵∠D+∠A=180°, ∴∠D=180°-50°=130°. 故选 D. 4.(2018·辽宁中考模拟)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,若∠B=80°,则∠ADC 的度数是( ) A.60° B.80° C.90° D.100° 【答案】D 【详解】 ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°. 故选 D. 知识点三 与圆有关的位置关系  点与圆的位置有三种: 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 P r O 点在圆的外部 ′ ㄴ 点 在 的外部. 点在圆上 P r O 点在圆周上 ㄴ 点 在 的圆周上. 点在圆内 P r O 点在圆的内部 ′ ㄴ 点 在 的内部. 三点定圆的方法: 1)经过点 段 的圆:以点 段 以外的任意一点 为圆心,以 段 的长为半径,即可作出过点 段 的圆,这样的圆 有无数个. 2)经过两点 段 、 的圆:以线段 中垂线上任意一点 作为圆心,以 段 的长为半径,即可作出过点 段 、 的圆,这样的圆也有无数个. 3)经过三点时: 情况一:过三点的圆:若这三点 、 、 共线时,过三点的圆不存在; 情况二:若 段 、 、 三点不共线时,圆心是线段 与 的中垂线的交点,而这个交点 是唯一存在的, 这样的圆有唯一一个. 定理:不在同一直线上的三点确定一个圆. 反证法:首先假设某命题结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),然后推理出与定 义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。 【考查题型汇总】 考查题型九 点与圆的位置关系 1.(2018·北京中考模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(4,3)在⊙O 内,则⊙O 的半径 r 的取值范 围是( ) A.0<r<4 B.3<r<4 C.4<r<5 D.r>5 【答案】D 【详解】∵O(0,0),P(3,4), ∴OP=    2 23 0 4 0   , ∵点 P(3,4)在⊙O 内,⊙O 的半径 r, ∴r>5, 故选 D. 2.(2017·辽宁中考模拟)矩形 ABCD 中,AB=8, 3 5BC  ,点 P 在边 AB 上,且 BP=3AP,如果圆 P 是以点 P 为圆心,PD 为半径的圆,那么下列判断正确的是( ). A.点 B、C 均在圆 P 外; B.点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内; C.点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外; D.点 B、C 均在圆 P 内. 【答案】C 【详解】 ∵AB=8,点 P 在边 AB 上,且 BP=3AP ∴AP=2, ∴根据勾股定理得出,r=PD= 2 2(3 5) 2 =7, PC= 2 2 2 2 2 26 (3 5) = 6 (3 5)PB BC    =9, ∵PB=6<r,PC=9>r ∴点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外,故选 C. 3.(2019·上海中考模拟)在直角坐标平面内,点 O 是坐标原点,点 A 的坐标是(3,2),点 B 的坐标是(3, ﹣4).如果以点 O 为圆心,r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交,且点 A、B 中有一点在圆 O 内,另一点在圆 O 外,那么 r 的值可以取( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【详解】 ∵点 A 的坐标是(3,2),点 B 的坐标是(3,﹣4), ∴OA= + = , OB= + =5, ∵以点 O 为圆心,r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交,且点 A、B 中有一点在圆 O 内,另一点在圆 O 外, ∴ <r<5, ∴r=4 符合要求. 故选 B. 4.(2016·四川中考模拟)已知矩形 ABCD 的边 AB=15,BC=20,以点 B 为圆心作圆,使 A,C,D 三点至 少有一点在⊙B 内,且至少有一点在⊙B 外,则⊙B 的半径 r 的取值范围是( ). A.r>15 B.15<r<20 C.15<r<25 D.20<r<25 【答案】C 【解析】 当 d>r 时,点在圆外;当 d=r 时,点在圆上;当 d<r 时,点在圆内.在直角△BCD 中 CD=AB=15,BC=20, 则 BD= 2 215 20 = 625 =25.由图可知 15<r<25,故选 C.  直线和圆的位置关系 位置关系:设 的半径为 ㄴ ,圆心 到直线 的距离为 ,则直线和圆的位置关系如下表: 位置 关系 图形 定义 性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 ′ ㄴ 直线 与 相离 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点,直线叫 做圆的切线,公共点叫做切点 ㄴ 直线 与 相切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点,直线叫 做圆的割线 ′ ㄴ 直线 与 相交 切线的性质及判定(重点) 切线的性质: 定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线长定义:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 三角形内切圆概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这 个三角形叫做圆的外切三角形. 【考查题型汇总】 考查题型十 直线与圆的位置关系的应用 1.(2019·吉林中考模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点 C 为圆心,以 2cm 长为半径作圆,试判断⊙C 与 AB 的位置关系. 【答案】相切 【详解】 作 CD⊥AB 于点 D, ∵∠B=30°,BC=4cm, ∴CD= 1 2 BC=2cm, 即 CD 等于圆的半径. ∵CD⊥AB, ∴AB 与⊙C 相切. 2.(2014·福建中考模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,⊙A 的半径为 7,判断⊙A 与直线 BC 的位置关系,并说明理由. 【答案】⊙A 与直线 BC 相交.理由见解析. 【解析】 ⊙A 与直线 BC 相交. 过 A 作 AD⊥BC,垂足为点 D. ∵AB=AC,BC=16, ∴BD= BC= ×16=8, 在 Rt△ABC 中,AB=10,BD=8, ∴AD= 段 ⸸ 0 8 , ∵⊙O 的半径为 7, ∴AD<r,⊙A 与直线 BC 相交. 考查题型十一 利用切线的判定定理判定直线为切线的方法 1.(2018·山东中考模拟)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠BAD=90°,点 E 在 BC 的延长线上,且 ∠DEC=∠BAC. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若 AC∥DE,当 AB=8,CE=2 时,求 AC 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)AC 的长为 16 5 5 . 【解析】 (1)如图,连接 BD, ∵∠BAD=90°, ∴点 O 必在 BD 上,即:BD 是直径, ∴∠BCD=90°, ∴∠DEC+∠CDE=90°. ∵∠DEC=∠BAC, ∴∠BAC+∠CDE=90°. ∵∠BAC=∠BDC, ∴∠BDC+∠CDE=90°, ∴∠BDE=90°,即:BD⊥DE. ∵点 D 在⊙O 上, ∴DE 是⊙O 的切线; (2)∵DE∥AC. ∵∠BDE=90°, ∴∠BFC=90°, ∴CB=AB=8,AF=CF= 1 2 AC, ∵∠CDE+∠BDC=90°,∠BDC+∠CBD=90°, ∴∠CDE=∠CBD. ∵∠DCE=∠BCD=90°, ∴△BCD∽△DCE, ∴ BD CD CD CE  , ∴ 8 2 CD CD  , ∴CD=4. 在 Rt△BCD 中,BD= 2 2BC CD =4 5 , 同理:△CFD∽△BCD, ∴ CF CD BC BD  , ∴ 4 8 4 5 CF  , ∴CF= 8 5 5 , ∴AC=2AF= 16 5 5 . 2.(2019·四川中考模拟)已知:如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是弦,∠B=30°,延长 BA 到 D,使∠BDC =30°. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若 AB=2,求 DC 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2) 3 . 【解析】 (1)连接 OC. ∵OB=OC,∠B=30°, ∴∠OCB=∠B=30°, ∴∠COD=∠B+∠OCB=60°, ∵∠BDC=30°, ∴∠BDC+∠COD=90°,DC⊥OC, ∵BC 是弦, ∴点 C 在⊙O 上, ∴DC 是⊙O 的切线,点 C 是⊙O 的切点; (2)解:∵AB=2, ∴OC=OB= 2 AB =1, ∵在 Rt△COD 中,∠OCD=90°,∠D=30°, ∴DC= 3 OC= 3 . 考查题型十二 三角形内心的应用 1.(2018·河北中考真题)如图,点 I 为△ABC 的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB 平移使其顶点与 I 重合,则图中阴影部分的周长为( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【详解】连接 AI、BI, ∵点 I 为△ABC 的内心, ∴AI 平分∠CAB, ∴∠CAI=∠BAI, 由平移得:AC∥DI, ∴∠CAI=∠AID, ∴∠BAI=∠AID, ∴AD=DI, 同理可得:BE=EI, ∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4, 即图中阴影部分的周长为 4, 故选 B. 2.(2019·台湾中考真题)如图,直角三角形 ABC 的内切圆分别与 AB 、 BC 相切于 D 点、 E 点,根据图 中标示的长度与角度,求 AD 的长度为何?( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 4 3 D. 5 3 【答案】D 【详解】 解:设 AD x , ∵直角三角形 ABC 的内切圆分别与 AB 、 BC 相切于 D 点、 E 点, 1BD BE   , 1AB x   , 4AC AD CE x    , 在 Rt ABC 中,   2 221 5 4x x    ,解得 5 3x  , 即 AD 的长度为 5 3 . 故选:D. 3.(2019·安徽中考模拟)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,点 I 是△ABC 的内心,∠AIC=124°,点 E 在 AD 的延长线上,则∠CDE 的度数为( ) A.56° B.62° C.68° D.78° 【答案】C 【解析】 ∵点 I 是△ABC 的内心, ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA, ∵∠AIC=124°, ∴∠B=180°﹣(∠BAC+∠ACB) =180°﹣2(∠IAC+∠ICA) =180°﹣2(180°﹣∠AIC) =68°, 又四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠CDE=∠B=68°, 故选 C. 考察题型十三 利用切线长定理进行计算 1.(2019·河南中考模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D,过 点 D 作⊙O 的切线.交 BC 于点 E. (1)求证:BE=EC (2)填空:①若∠B=30°,AC=2 3 ,则 DB=______; ②当∠B=______度时,以 O,D,E,C 为顶点的四边形是正方形. 【答案】(1)见解析;(2)①3;②45. 【详解】 (1)证明:连接 DO. ∵∠ACB=90°,AC 为直径, ∴EC 为⊙O 的切线; 又∵ED 也为⊙O 的切线, ∴EC=ED, 又∵∠EDO=90°, ∴∠BDE+∠ADO=90°, ∴∠BDE+∠A=90° 又∵∠B+∠A=90°, ∴∠BDE=∠B, ∴BE=ED, ∴BE=EC; (2)解:①∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2 3 , ∴AB=2AC=4 3 , ∴BC= 2 2AB AC =6, ∵AC 为直径, ∴∠BDC=∠ADC=90°, 由(1)得:BE=EC, ∴DE= 1 2 BC=3, 故答案为 3; ②当∠B=45°时,四边形 ODEC 是正方形,理由如下: ∵∠ACB=90°, ∴∠A=45°, ∵OA=OD, ∴∠ADO=45°, ∴∠AOD=90°, ∴∠DOC=90°, ∵∠ODE=90°, ∴四边形 DECO 是矩形, ∵OD=OC, ∴矩形 DECO 是正方形. 故答案为 45. 2.(2019·陕西高新一中中考模拟)如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 D 是 AB 边上一点,以 BD 为直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E,与边 BC 交于点 F,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,连接 BE (1)求证:EH=EC; (2)若 AB=4,sinA= 2 3 ,求 AD 的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 6 5 【详解】 (1)如图,连接 OE, ∵AC 与⊙O 相切, ∴OE⊥AC,且 BC⊥AC, ∴OE∥BC ∴∠CBE=∠OEB, ∵EO=OB, ∴∠EBO=∠OEB ∴∠CBE=∠EBO,且 CE⊥BC,EH⊥AB, ∴CE=EH (2)∵sinA= 2 3 = OE OA , ∴设 OE=2a,AO=3a,(a≠0) ∴OB=2a, ∵AB=AO+OB=3a+2a=4 ∴a= 4 5 , ∵AD=AB﹣BD=4﹣4a ∴AD= 4 5 . 3.(2019·山东中考模拟)如图,CD 是⊙O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上. (1)求证:∠CAD=∠BDC; (2)若 BD= 2 3 AD,AC=3,求 CD 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)CD=2. 【解析】 (1)证明:连接 OD,如图所示. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. ∵CD 是⊙O 的切线,OD 是⊙O 的半径, ∴∠ODB+∠BDC=90°. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠OBD+∠CAD=90°, ∴∠CAD=∠BDC. (2)∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB, ∴△CDB∽△CAD, ∴ BD CD AD AC  . ∵BD= 2 3 AD, ∴ 2 3 BD AD  , ∴ 2= 3 CD AC , 又∵AC=3, ∴CD=2. 考查题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用 1.(2019·四川中考真题)已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 4) 4 0x k x k    . (1)求证:无论 k 为任何实数,此方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根为 1x 、 2x ,满足 1 2 1 1 3 4x x   ,求 k 的值; (3)若 Rt △ ABC 的斜边为 5,另外两条边的长恰好是方程的两个根 1x 、 2x ,求 Rt ABC 的内切圆半径. 【答案】(1)详见解析;(2)2;(3)1 【详解】 (1)证明:∵ 2 2 2( 4) 16 8 16 ( 4) 0k k k k k          , 无论 k 为任何实数时,此方程总有两个实数根. (2)由题意得: 1 2 4x x k   , 1 2 4x x k  , 1 2 1 1 3 4x x   1 2 1 2 3 4 x x x x   即 4 3 4 4 k k   , 解得: 2k  ; (3)解: 解方程得: 1 4x  , 2x k 根据题意得: 2 2 24 5k  ,即 3k  设直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r ,如图, 由切线长定理可得: (3 ) (4 ) 5r r    , 直角三角形 ABC 的内切圆半径 r = 3 4 5 12    ; 2.(2017·江苏中考模拟)实践操作如图,∠△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,利用直尺和圆规按下列要 求作图,并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹,不写作法) ①作∠BAC 的平分线,交 BC 于点 0 ②以点 0 为圆心,OC 为半径作圆.综合运用在你所作的图中, (1)直线 AB 与⊙0 的位置关系是 (2)证明:BA·BD=BC·BO; (3)若 AC=5,BC=12,求⊙0 的半径 【答案】实践操作,作图见解析;综合运用:(1)相切;(2)证明见解析;(3)10 3 【解析】 实践操作,如图所示: 综合运用: 综合运用: (1)AB 与⊙O 的位置关系是相切. ∵AO 是∠BAC 的平分线, ∴DO=CO, ∵∠ACB=90°, ∴∠ADO=90°, ∴AB 与⊙O 的位置关系是相切; (2)∵AB、AC 是切线 ∴∠BDO=∠BCA=90° 又∠DBC=∠CBA ∴ΔBDO∽ΔCBA ∴ BD BO BC BA  即: BD BA BO BC   (3)因为 AC=5,BC=12, 所以 AD=5,AB=13, 所以 DB=13﹣5=7, 设半径为 x ,则 OC=OD=x ,BO=(12﹣x), x2+82=(12﹣x)2, 解得:x=10 3 . 答:⊙O 的半径为10 3 . 考查题型十五 圆内接四边形综合 1.(2016·浙江中考真题)如图,已知四边形 ABCD 内接于圆 O,连结 BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°. (1)求证:BD=CD; (2)若圆 O 的半径为 3,求 的长. 【答案】(1)证明过程见解析;(2)π 【解析】 (1)∵四边形 ABCD 内接于圆 O, ∴∠DCB+∠BAD=180°, ∵∠BAD=105°, ∴∠DCB=180°﹣105°=75°, ∵∠DBC=75°, ∴∠DCB=∠DBC=75°, ∴BD=CD; (2)∵∠DCB=∠DBC=75°, ∴∠BDC=30°, 由圆周角定理,得, 的度数为:60°, 故 = = =π, 答: 的长为π. 2.(2017·江苏中考模拟)如图所示,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A,B 两点,点 A 的坐标为(0, 3),M 是第三象限内 上一点,∠BMO=120°,求⊙C 的半径. 【答案】3. 【详解】 ∵四边形 ABMO 是圆内接四边形,∠BMO=120°, ∴∠BAO=60°, ∵AB 是⊙C 的直径, ∴∠AOB=90°, ∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°, ∵点 A 的坐标为(0,3), ∴OA=3, ∴AB=2OA=6, ∴⊙C 的半径长= 段 =3  圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系的定义、性质及判定:设 、 的半径分别为 、 ㄴ (其中 ′ ㄴ ),两圆圆心距为 ,则两圆位置关系如下表: 位置关系 图形 定义 性质及判定 外离 R r O 2 O 1 两个圆没有公共点,并且每个 圆上的点都在另一个圆的外 部. ′ ㄴ 两 圆 外 离 外切 R r O 2 O 1 两个圆有唯一公共点,并且除 了这个公共点之外,每个圆上 的点都在另一个圆的外部. ㄴ 两 圆 外 切 相交 R O 2 O 1 两个圆有两个公共点. ㄴ ′ ′ ㄴ 两圆相交 内切 R r O 2 O 1 两个圆有唯一公共点,并且除 了这个公共点之外,一个圆上 的点都在另一个圆的内部. ㄴ 两 圆 内 切 内含 R r O 2 O 1 两个圆没有公共点,并且一个 圆上的点都在另一个圆的内 部,两圆同心是两圆内含的一 种特例. 0 ′ ㄴ 两 圆内含 【说明】圆和圆的位置关系,又可分为三大类:相离、相切、相交,其中相离两圆没有公共点,它包括外 离与内含两种情况;相切两圆只有一个公共点,它包括内切与外切两种情况. 【考查题型汇总】 考查题型十六 圆与圆的位置关系 1.(2019·上海中考真题)已知⊙A 与⊙B 外切,⊙C 与⊙A、⊙B 都内切,且 AB=5,AC=6,BC=7,那 么⊙C 的半径长是( ) A.11 B.10 C.9 D.8 【答案】C 【详解】 设⊙A 的半径为 X,⊙B 的半径为 Y,⊙C 的半径为 Z. 5 6 7 X Y Z X Z Y         解得 9 3 2 Z X Y      故选 C 2.(2019·福建中考模拟)如图,已知∠POQ=30°,点 A、B 在射线 OQ 上(点 A 在点 O、B 之间),半径长 为 2 的⊙A 与直线 OP 相切,半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交,那么 OB 的取值范围是( ) A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7 【答案】A 【详解】设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D,连接 AD, ∴AD⊥OP, ∵∠O=30°,AD=2, ∴OA=4, 当⊙B 与⊙A 相内切时,设切点为 C,如图 1, ∵BC=3, ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5; 当⊙A 与⊙B 相外切时,设切点为 E,如图 2, ∴OB=OA+AB=4+2+3=9, ∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交,那么 OB 的取值范围是:5<OB<9, 故选 A. 3.(2019·上海市南塘中学中考模拟) 已知⊙ A 的半径 AB 长是 5,点C 在 AB 上,且 3AC  ,如果 ⊙C 与⊙ A 有公共点,那么⊙C 的半径长 r 的取值范围是( ) A. 2r  B. 8r  C. 2 8r  D. 2 8r  【答案】D 【详解】 解:∵⊙ A 的半径 AB 长是 5,点C 在 AB 上,且 3AC  , ∴点C 到⊙ A 的最大距离为 8,最小距离为 2, ∵⊙C 与⊙ A 有公共点, ∴ 2 8r  . 故选 D. 4.(2011·江苏中考真题)在△ABC 中,∠C=90°.AC=3cm.BC=4cm,若⊙A.⊙B 的半径分别为 1cm, 4cm.则⊙A 与⊙B 的位置关系是 ( ) A.外切 B.内切 C.相交 D.外离 【答案】A 【详解】 解: ∵∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm, ∴AB= 2 2AC BC =5cm, ∵⊙A,⊙B 的半径分别为 1cm,4cm, 又∵1+4=5, ∴⊙A 与⊙B 的位置关系是外切. 故选 A. 5.(2019·上海中考模拟)已知⊙ 1O 和⊙ 2O ,其中⊙ 1O 为大圆,半径为 3.如果两圆内切时圆心距等于 2, 那么两圆外切时圆心距等于( ) A.1 B.4 C.5 D.8 【答案】B 【详解】 解:已知⊙ 1O 为大圆,半径为 3.如果两圆内切时圆心距等于 2, 故⊙ 2O 半径为 1, 故两圆外切时圆心距等于 3+1=4. 故选 B. 考查题型十七 利用圆的相关知识解决动态问题 1.(2019·河南中考模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,点 D、E 位于 AB 两侧的半圆上,射线 DC 切⊙O 于点 D,已知点 E 是半圆弧 AB 上的动点,点 F 是射线 DC 上的动点,连接 DE、AE,DE 与 AB 交于点 P,再连 接 FP、FB,且∠AED=45°. (1)求证:CD∥AB; (2)填空: ①当∠DAE= 时,四边形 ADFP 是菱形; ②当∠DAE= 时,四边形 BFDP 是正方形. 【答案】(1)详见解析;(2)①67.5°;②90°. 【分析】 (1)要证明 CD∥AB,只要证明∠ODF=∠AOD 即可,根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD,从而 可以解答本题; (2)①根据四边形 ADFP 是菱形和菱形的性质,可以求得∠DAE 的度数; ②根据四边形 BFDP 是正方形,可以求得∠DAE 的度数. 【详解】 (1)证明:连接 OD,如图所示, ∵射线 DC 切⊙O 于点 D, ∴OD⊥CD, 即∠ODF=90°, ∵∠AED=45°, ∴∠AOD=2∠AED=90°, ∴∠ODF=∠AOD, ∴CD∥AB; (2)①连接 AF 与 DP 交于点 G,如图所示, ∵四边形 ADFP 是菱形,∠AED=45°,OA=OD, ∴AF⊥DP,∠AOD=90°,∠DAG=∠PAG, ∴∠AGE=90°,∠DAO=45°, ∴∠EAG=45°,∠DAG=∠PEG=22.5°, ∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°, 故答案为:67.5°; ②∵四边形 BFDP 是正方形, ∴BF=FD=DP=PB, ∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°, ∴此时点 P 与点 O 重合, ∴此时 DE 是直径, ∴∠EAD=90°, 故答案为:90°. 知识点四 正多边形和圆  正多边形 正多边形概念:各条边相等,并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的相关概念:  正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.  正多边形的半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.  正多边形的中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.  正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 半径、边心距,边长之间的关系: 画圆内接正多边形方法: 1) 量角器 (作法操作复杂,但作图较准确) 2) 量角器+圆规 (作法操作简单,但作图受取值影响误差较大) 3) 圆规+直尺 (适合做特殊正多边形,例如正四边形、正八边形、正十二边形…..)  圆锥 设 的半径为 , ° 圆心角所对弧长为 , 弧长公式: 80 (弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关) 扇形面积公式: 扇形 0 母线的概念:连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥体表面积公式: ( 为母线) 备注:圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法: 1 公式法;② 割补法;③ 拼凑法;④ 等积变换法 【考查题型汇总】 考查题型十七 正多边形的有关计算 1.(2013·四川中考真题)如图,要拧开一个边长为 a=6 mm 的正六边形螺帽,扳手张开的开口 b 至少为( ) A.6 2 mm B.12mm C.6 3 mm D.4 3 mm 【答案】C 【解析】 设正多边形的中心是 O,其一边是 AB, ∴∠AOB=∠BOC=60°, ∴OA=OB=AB=OC=BC, ∴四边形 ABCO 是菱形, ∵AB=6mm,∠AOB=60°, ∴cos∠BAC= AM AB , ∴AM=6× 3 2 =3 3 (mm), ∵OA=OC,且∠AOB=∠BOC, ∴AM=MC= 1 2 AC, ∴AC=2AM= 6 3 (mm). 故选 C. 2.(2015·广东中考模拟)正多边形的中心角是 36°,那么这个正多边形的边数是( ) A.10 B.8 C.6 D.5 【答案】A 【解析】 试题分析:设这个正多边形的边数是 n, ∵正多边形的中心角是 36°, ∴ 0 =36°, 解得 n=10. 故选 A. 考查题型十八 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法 1.(2019·盘锦市双台子区第四中学中考模拟).如图,圆锥侧面展开得到扇形,此扇形半径 CA=6,圆心角 ∠ACB=120°, 则此圆锥高 OC 的长度是_______. 【答案】4 2 【详解】 设圆锥底面圆的半径为 r, ∵AC=6,∠ACB=120°, ∴ 120 6 180l   =2πr, ∴r=2,即:OA=2, 在 Rt△AOC 中,OA=2,AC=6,根据勾股定理得,OC= 2 2AC OA =4 2 , 故答案为 4 2 . 2.(2019·贵州中考真题)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半 径 2r cm ,扇形的圆心角 120   ,则该圆锥的母线长l 为___cm . 【答案】6. 【详解】 圆锥的底面周长 2 2 4    cm, 设圆锥的母线长为 R ,则: 120 4180 R   , 解得 6R  , 故答案为 6. 3.(2019·内蒙古中考模拟)如图,从直径为 4cm 的圆形纸片中,剪出一个圆心角为 90°的扇形 OAB,且点 O、A、B 在圆周上,把它围成一个圆锥,则圆锥的底面圆的半径是_____cm. 【答案】 2 2 【详解】 解:设圆锥的底面圆的半径为 r, 连结 AB,如图, ∵扇形 OAB 的圆心角为 90°, ∴∠AOB=90°, ∴AB 为圆形纸片的直径, ∴AB=4cm, ∴OB= 2 2 22 AB  cm, ∴扇形 OAB 的弧 AB 的长= 90 2 2 2180    π, ∴2πr= 2 π, ∴r= 2 2 (cm). 故答案为 2 2 . 考查题型十九 应用弧长公式解决运动轨迹或扫过面积问题 1.(2019·四川中考真题)如图,在 AOC 中, 3 1OA cm OC cm= , = ,将△AOC 绕点 O 顺时针旋转90 后 得到 BOD ,则 AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ) 2cm . A. 2  B. 2 C.17 8  D.19 8  【答案】B 【详解】 解: AOC BOD  ≌ , ∴阴影部分的面积=扇形 OAB 的面积﹣扇形 OCD 的面积 2 290 3 90 1 2360 360         故选:B. 2.(2018·广东中考模拟)如图,将含 60°角的直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 45°度后得到△AB′C′, 点 B 经过的路径为弧 BB′,若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积是( ) A. 2  B. 3  C. 4  D.π 【答案】A 【解析】 试题解析:如图, ∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=1, ∴BC=ACtan60°=1× 3 = 3 ,AB=2 ∴S△ABC= 1 2 AC•BC= 3 2 . 根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′,则 S△ABC=S△AB′C′,AB=AB′. ∴S 阴影=S 扇形 ABB′+S△AB′C′-S△ABC = 245 2 360   = 2  . 故选 A. 3.(2019·天津中考模拟)如图,已知正方形 ABCD 的顶点 A 、 B 在 O 上,顶点C 、 D 在 O 内,将正 方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转,使点 D 落在 O 上.若正方形 ABCD 的边长和 O 的半径均为 6cm ,则点 D 运动的路径长为( ) A. 2 cm B. 3 2 cm C. cm D. 1 2 cm 【答案】C 【详解】 解:设圆心为 O,连接 AO,BO, OF, ∵AB=6,AO=BO=6, ∴AB=AO=BO, ∴三角形 AOB 是等边三角形, ∴∠OAB=60° ∵AF=AO=FO=6, ∴△FAO 是等边三角形, ∴∠OAF=60° ∠FAB=∠OAB+∠OAF =120°, ∴∠EAC=120°-90°=30°, ∵AD=AB=AF=6, ∴点 D 运动的路径长为: 30 6 180   =π. 故选:C. 4.(2019·湖州市第五中学中考模拟)如图,在 Rt△ABC 中,已知∠ACB=90°,BC=3,AB=5,扇形 CBD 的圆心角为 60°,点 E 为 CD 上一动点,P 为 AE 的中点,当点 E 从点 C 运动至点 D,则点 P 的运动路径长 是 ( ) A. 2  B. 6  C. D. 3 2 【答案】A 【详解】 如图,取 AB 的中点 Q,连结 PQ,连结 EB. ∵P 为 AE 的中点,Q 为 AB 的中点, ∴PQ 为△AEB 的中位线, ∴PQ∥EB,且 PQ= 1 2 EB= 1 2 BC= 3 2 . ∴点 P 在以 Q 为圆心, 3 2 为半径的圆上运动. 当点 E 从点 C 运动至点 D 时,点 P 所转动的角度为 60°, ∴点 P 的运动路径长是 360 2 180 2    . 故选:A. 5.(2019·东港区日照街道三中中考模拟)如图,平行四边形 ABCD 的对角线 BD=6cm,若将平行四边形 ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°,则点 D 在旋转过程中所经过的路径长为( ) A.3πcm B.6πcm C.πcm D.2πcm 【答案】A 【详解】 ∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴OB=OD=3, ∵平行四边形 ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°, ∴点 D 在旋转过程中所经过的路径为以 O 点为圆心,OD 为半径,圆心角为 180 的弧, ∴点 D 在旋转过程中所经过的路径长=180 π 3 180   =3π(cm). 故选 A. 考查题型二十 不规则图形的面积的计算 1.(2019·辽宁中考模拟)如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中, 60DAB   ,以点 D 为圆心,菱形的高 DF 为 半径画弧,交 AD 于点 E ,交 CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是( ) A.18 3 B.18 3 9 C. 99 3 2  D.18 3 3 【答案】B 【详解】 ∵四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=60°, ∴AD=AB=6,∠ADC=180°-60°=120°, ∵DF 是菱形的高, ∴DF⊥AB, ∴DF=AD•sin60°=6× 3 2 =3 3 , ∴阴影部分的面积=菱形 ABCD 的面积-扇形 DEFG 的面积 =6×3 2120 (3 3)3 360   =18 3 -9π. 故选 B. 2.(2015·四川中考真题)如图,已知⊙O 的周长为 4π, AB 的长为π,则图中阴影部分的面积为( ) A. 2  B. 3  C. D.2 【答案】A 【解析】 试题分析:∵⊙O 的周长为 4π,∴⊙O 的半径是 r=4π÷2π=2,∵ AB 的长为π,∴ AB 的长等于⊙O 的周长 的 1 4 ,∴∠AOB=90°,∴S 阴影= 21 2 2 2 24      = 2  .故选 A. 3.(2017·贵州中考模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,AB=8,BC=12,分别以 AB、AC 为直径作半圆, 则图中阴影部分的面积是( ) A.64π﹣12 B.16π﹣32 C.16π﹣24 D.16π﹣12 【答案】D 【解析】 试题解析:设半圆与底边的交点是 D,连接 AD. ∵AB 是直径, ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴BD=CD=6. 根据勾股定理,得 AD= 段 ⸸ =2 . ∵阴影部分的面积的一半=以 AB 为直径的半圆的面积﹣三角形 ABD 的面积 =以 AC 为直径的半圆的面积﹣三角形 ACD 的面积, ∴阴影部分的面积=以 AB 为直径的圆的面积﹣三角形 ABC 的面积=16π﹣ ×12×2 =16π﹣12 . 故选 D. 4.(2019·河北中考模拟)如图,以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个端点,交直角边 AC 于点 E,B,E 是半圆弧的三等分点,弧 AB 的长为 4 3  ,则图中阴影部分的面积为( ) A.6 3 ﹣ 4 3  B.9 3 ﹣ 8 3  C. 3 3 2 ﹣ 2 3  D.6 3 ﹣ 8 3  【答案】C 【详解】 解:连接 BD,BE,BO,EO, ∵B,E 是半圆弧的三等分点, ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°, ∴∠BAC=∠EBA=30°, ∴BE∥AD, 弧 AB 的长为 4π 3 , ∴120• • 180 R = 4π 3 解得:R=2, ∴AB=ADcos30°=2 3 , ∴BC= 1 2 AB= 3 , ∴AC= 2 2AB BC = 2 2(2 3) ( 3) =3, ∴S△ABC= 1 2 ×BC×AC= 1 2 × 3 ×3= 3 3 2 , ∵△BOE 和△ABE 同底等高, ∴△BOE 和△ABE 面积相等, ∴图中阴影部分的面积为:S△ABC-S 扇形 BOE= 3 3 2 - 260 2 360   = 3 3 2 - 2π 3 . 故选 C. 考查题型二十一 求圆锥侧面上两点之间的最短距离 1.(2012·浙江中考模拟)如图,已知 O 为圆锥的顶点,MN 为圆锥底面的直径,一只蜗牛从 M 点出发,绕 圆锥侧面爬行到 N 点时,所爬过的最短路线的痕迹(虚线)在侧面展开图中的位置是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为 MN 为圆锥底面的直径,展开后 D 图中 MN 即为直径,也为所爬过的最短路线的痕迹,故选 D. 2.(2015·黑龙江中考模拟)一圆锥体形状的圣诞帽,母线长是 30cm,底面圆的直径是 15cm,点 A 为圆锥 底面圆周上一点,从 A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到 A 点,则彩带最少用( )厘米(接口处重合部 分忽略不计) A.30πcm B.30 cm C.15πcm D.1 5 cm 【答案】B 【解析】 试题分析:根据题意可得圆锥的展开图的圆心角= ㄴ ×360°=90°,则展开图为等腰直角三角形,根据勾股定理 可得斜边长为 30 cm. 考查题型二十二 运用圆锥侧面积知识解决实际问题 1.(2015·湖北中考模拟)如图是某公园的一角,∠AOB=90°,弧 AB 的半径 OA 长是 6 米,C 是 OA 的中 点,点 D 在弧 AB 上,CD∥OB,则图中休闲区(阴影部分)的面积是( ) A. 910 32     米 2 B. 9 32     米 2 C. 96 32     米 2 D. 6 9 3  米 2 【答案】 C。 【解析】连接 OD,则 DOCAODS S S 阴影 扇形 。 ∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米,C 是 OA 的中点,∴OC= 1 2 OA= 1 2 ×6=3。 ∵∠AOB=90°,CD∥OB,∴CD⊥OA。 在 Rt△OCD 中,∵OD=6,OC=3,∴ 2 2 2 2CD= OD OC 6 3 3 3    。 又∵ CD 3 3 3sin DOC = =OD 6 2   ,∴∠DOC=60°。 ∴ 2 DOCAOD 60 6 1 9S S S = 3 3 3=6 3360 2 2         阴影 扇形 (米 2)。故选 C。 2.(2019·安徽中考模拟)如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°,AB 长为 25cm, 贴纸部分的宽 BD 为 15cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为( ) A.175πcm2 B.350πcm2 C. 800 3 πcm2 D.150πcm2 【答案】B 【详解】 ∵AB=25,BD=15, ∴AD=10, ∴S 贴纸= 2 2120 25 120 10 2360 360           =175π×2=350cm2, 故选 B.
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