高考冲刺系列数学理专题02数列上

高考冲刺系列数学理专题02数列上

‎2013高考理数冲刺押题系列 专题02 数列（上）（教师版）‎ ‎【2013命题趋势预测】‎ 通过对近三年高考中三角函数的题型分析，编者在此对2013三角函数的命题做出如下预测，欢迎各个老师进行讨论、指导；‎ 1、 数列这个考点难度值具有“浮动性”，它既可以成为高考考卷中基础题（难度与三角函数平行），注重考察特殊数列的基础公式与应用，也可以与部分知识交汇，成为高考试卷中的压轴题，考察学生对综合知识的把握以及是否具有缜密的逻辑推理能力；因此，对于数列的趋势预测，要结合各省市近三年的高考考情，例如：福建省近三年中，无论是在市检、省检还是高考中，对于数列的要求只停留在基础的公式应用上，所以预测该省在2013年对于数列的难度不会增加，着重考察学生对基础知识的应用；其他省市可做同样的分析；‎ 2、 大部分的省市对数列的出题分为两个部分，一是选择、填空中的数列问题，二是解答题中的数列，通过两个部分，来了解学生对数列问题的掌握程度；因此，我们可以预测，在2013年的高考中，大部分高考试卷会延续“选择+大题”或者“填空+大题”的考题形式，少部分试卷仅在解答题中考查三角函数问题；‎ 3、 选择、填空的出题方向主要以等差、等比数列的基本公式、性质以及创新型数列找规律为主；解答题的出题方向存在多样化，可以单纯的考查数列的基本公式与数列求和的方法，也可以与函数、不等式等内容实现交会，考查学生的综合素养；因此相对于其他考点而言，数列的出题较为灵活.‎ ‎【高考冲刺押题】‎ ‎【押题1】已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项的和为，且．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）记,求证：；‎ ‎（3）求数列的前项和．‎ ‎【押题2】已知数列中，，．‎ ‎（1）写出的值(只写结果)，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【深度剖析】‎ 押题指数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）由数列的递推公式可以求出的值，利用累乘法以及等差数列的前n项和公式可以得到数列的通项公式；（2）先利用裂项法求出，再将题设“恒成立”转化为，求出的最小值，然后将所求问题转化为“恒成立”，结合二次函数的图像进行分析即可.‎ 名师押题理由：本题综合性强，体现出数列与函数的交汇，具体考点如下：‎ ‎（1）数列递推公式的运算；（2）利用累乘法求数列的通项公式；（3）等差数列的前n项和公式；（4）裂项法求和；（5）利用导数法求函数的最值；（6）恒成立问题的转化；（7）定区间上的二次函数值域问题；‎ ‎【押题3】在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【深度剖析】‎ 押题指数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）因为是等差数列，是等比数列，设出公差与公比，利用等差数列与等比数列的基本公式求出两个数列的通项公式；（2）先利用等差数列的前n项和公式求出数列的前n项和，再求出的表达式，观察可知，可以使用裂项法求出，然后在利用的有界性进行求解. ‎ 名师押题理由：本题基础性强，体现了数列与不等式交汇，考查学生对基础知识的掌握，具体考点如下：‎ ‎1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的前n项和公式； 4、裂项法求和；5、不等式的基本性质.‎ ‎【押题4】已知设数列的前项和为，且；数列为等差数列，.‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）若()，为数列的前项和，求 .‎ ‎=从而.‎ ‎【押题5】已知数列{}、{}满足：．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求证数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（3）设，不等式恒成立时，求实数的取值 范围.‎ ‎【深度剖析】‎ 押题指数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）利用数列的递推公式可以求出；（2）利用等差数列的判定条件，，可以求出数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列；（3）先利用裂项法求出，再求出，所以恒成立，然后对参数进行分类讨论，便可以得到结论.‎ 名师押题理由：本题综合性强，体现出数列问题与不等式问题、函数问题的综合：‎ 1、 数列递推公式的应用；2、等差数列的判定；3、等差数列通项公式的应用； ‎ ‎ 4、裂项法求和；5、不等式恒成立问题；6、二次函数最值探究.‎ ‎【名校试题精选】‎ ‎【模拟训练1】已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且是的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，设，求数列的前n项和.‎ ‎【模拟训练2】已知数列的前n项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，求数列的前n项和．‎ ‎【详细解析】当时，……2分 又当时，，满足上式……4分 ‎∴……5分 ‎（2）由（1）可知，，……7分 ‎【深度剖析】‎ 名校试题来源：2012-2013福建省三明一中、三明二中高三上学期期末联考 难度系数：★★‎ 综合系数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）利用数列前n项和与数列通项公式之间的关系可以求出数列的通项公式；（2）利用“”可以求出等比数列的公比，进而套用等比数列的公式进行求解.‎ ‎【模拟训练3】设数列为等差数列，为单调递增的等比数列，且，，．‎ ‎（1）求的值及数列，的通项；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【深度剖析】‎ 名校试题来源：2012-2013江西省景德镇市高三上学期期末考试 难度系数：★★★‎ 综合系数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）利用等差中项的性质以及等比中项的性质可以求出“，”，在利用等差数列以及等比数列的条件将“”转为为关于公差d以及公比q的方程组，进而解出d、q；（2）先化简“”，然后利用裂项法进行求和.‎ ‎【模拟训练4】在数列{an}中，a1=1，an=n2[1+++…+] （n≥2，n∈N）‎ ‎（1）当n≥2时，求证：=；‎ ‎（2）求证：（1+）（1+）…（1+）<4.‎ ‎【深度剖析】‎ 名校试题来源：2012-2013江西省南昌市高三上学期期末调研 难度系数：★★★★‎ 综合系数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）将题设条件转化为“”，两式相除化简可以得到答案；（2）可以得到，然后使用进行放缩可以得到答案.‎ ‎【模拟训练5】已知数列的前项n和为，，与的等差中项是．‎ ‎（1）证明数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的最大值．‎ 定.‎ ‎【模拟训练6】设数列的前项和为，满足，‎ 且。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：‎ 即 ‎∴‎ ‎∴…………………………………………………12分 ‎【深度剖析】‎ 名校试题来源：2012-2013重庆市九校联盟高三上学期期末测试 难度系数：★★★★‎ 综合系数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）利用“，且”，采用列举法可以求出第（1）问；（2）利用数列前n项和与数列通项公式之间的关系可以得到，等式两边同时除以，构造等比数列进行求解；（3）可以证明，对该式进行前n项和计算，进而得到结论.‎ ‎【模拟训练7】数列的前项和为，数列是首项为，公差不为零的等差数列,且成等比数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列与的通项公式； ‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【详细解析】（1）∵，∴当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得． -----------------3分 ‎（2）当时，， ------------5分 ‎【深度剖析】‎ 名校试题来源：2012-2013广东省佛山市高三上学期质量检测 难度系数：★★★‎ 综合系数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）利用“”采用列举法可以得到的值；（2）‎ 利用数列前n项和与数列通项公式之间的关系可以得到数列的通项公式；利用是等比数列的条件可以得到数列的通项公式；（3）利用错位相减法求出的前n项和，与5比较即可.‎ ‎【模拟训练8】已知数列的前n项和为, 且满足,‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）求证:数列是等比数列；‎ ‎（3）若, 求数列的前n项和.‎ 令 ‎ 因此……………………………11分 所以 ………………………12分 ‎【深度剖析】‎ 名校试题来源：2012-20133陕西省西安一中高三上学期期末测试 难度系数：★★★‎ 综合系数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）利用列举法结合条件“”进行解题；（2）可以得到“”，然后使用构造辅助数列的方法进行运算；（3）因为“”，整体使用错位相减法和分组求和法进行求和.‎ ‎【模拟训练9】已知实数组成的数组满足条件：‎ ‎①； ②.‎ ‎（1）当时，求，的值；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）设,且，求证：.‎ ‎【详细解析】（1）解：‎ 由①得，再由②知，且.‎ ‎【深度剖析】‎ 名校试题来源：2012-2013北京市东城区区高三上学期期末考试 难度系数：★★★★★‎ 综合系数：★★★★★‎ 名师思路点拨：（1）由题设条件可知，当时，“”‎ ‎，解出两个未知量即可；（2）由题设条件可知“,”，利用这两个条件将已知条件往这个方向构造即可；（3）因为“”，然后使用绝对值的性质进行放缩即可.‎ ‎【模拟训练10】已知正项数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式； ‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）是否存在非零整数，使不等式 对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎…9分 ‎ ‎∵，∴，数列单调递增. ………………10分 假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ‎ 当为奇数时，得； ……11分