2019届二轮复习第2讲　函数的应用课件（52张）（全国通用）

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第 2 讲　函数的应用 专题六　函数与导数 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现 . 2 . 函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 零点存在性定理 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内有零点，即存在 c ∈ ( a ， b ) 使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x ) ＝ 0 的根 . 2. 函数的零点与方程根的关系 函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 的根，即函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝ g ( x ) 的图象交点的横坐标 . 热点一　函数的零点 解析 答案 √ 化简得 2 | x | ＝ 2 － x 2 ，画出 y 1 ＝ 2 | x | ， y 2 ＝ 2 － x 2 的图象 ， 由 图可知，图象有两个交点 ， 即 函数 f ( x ) 有两个零点 . 解析 答案 (2)(2018· 天一大联考 ) 关于 x 的方程 ( x 2 － 2 x ) 2 e 2 x － ( t ＋ 1)( x 2 － 2 x )e x － 4 ＝ 0( t ∈ R ) 的不等实根的个数为 A.1 B.3 C.5 D.1 或 5 √ 当 x → ＋ ∞ ， f ( x ) → ＋ ∞ ，由此画出函数 y ＝ f ( x ) 的草图，如图所示 . 关于 x 的方程 ( x 2 － 2 x ) 2 e 2 x － ( t ＋ 1)( x 2 － 2 x )e x － 4 ＝ 0 ， 令 u ＝ f ( x ) ， 则 u 2 － ( t ＋ 1) u － 4 ＝ 0 ， Δ ＝ ( t ＋ 1) 2 ＋ 16>0 ， 故 有两个不同的解 u 1 ， u 2 ， 函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题，常见的有 (1) 函数零点大致存在区间的确定 . (2) 零点个数的确定 . (3) 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 . 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解 . 思维升华 解析 答案 √ 解析 　 由 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) 得 f ( x ) 周期为 2 ，作函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象， 图中， g (3) ＝ 3 － log 2 3>1 ＝ f (3) ， g (5) ＝ 3 － log 2 5<1 ＝ f (5) ， 可得有两个交点，所以选 B. 解析 答案 (2) 已知函数 f ( x ) 满足： ① 定义域为 R ； ② ∀ x ∈ R ，都有 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ； ③ 当 x ∈ [ － 1,1] 时， f ( x ) ＝－ | x | ＋ 1 ，则方程 f ( x ) ＝ log 2 | x | 在区间 [ － 3,5] 内解的个数是 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 解析　 画出函数图象如图所示，由图可知，共有 5 个解 . 热点二　函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . 例 2 　 (1) 已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x － 1) ＝ ， 且当 x ∈ [ － 1,0] 时， f ( x ) ＝ x 2 ，若在区间 [ － 1,3] 内，函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － log a ( x ＋ 2) 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 ________. (3,5) 解析 答案 且当 x ∈ [ － 1,0] 时， f ( x ) ＝ x 2 ， ∴ 函数 f ( x ) 的周期为 2 ，在区间 [ － 1,3] 内函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － log a ( x ＋ 2) 有 3 个零点等价于函数 f ( x ) 的图象与 y ＝ log a ( x ＋ 2) 的图象在区间 [ － 1,3] 内有 3 个交点 . 当 0< a <1 时，函数图象无交点， (2)(2018· 全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ a . 若 g ( x ) 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A.[ － 1,0) B .[0 ，＋ ∞ ) C.[ － 1 ，＋ ∞ ) D.[1 ，＋ ∞ ) 解析 答案 √ 解析 　 令 h ( x ) ＝－ x － a ， 则 g ( x ) ＝ f ( x ) － h ( x ). 在同一坐标系中画出 y ＝ f ( x ) ， y ＝ h ( x ) 图象的示意图 ， 如 图所示 . 若 g ( x ) 存在 2 个零点，则 y ＝ f ( x ) 的图象与 y ＝ h ( x ) 的图象有 2 个交点，平移 y ＝ h ( x ) 的图象可知，当直线 y ＝－ x － a 过点 (0,1) 时，有 2 个交点， 此时 1 ＝－ 0 － a ， a ＝－ 1. 当 y ＝－ x － a 在 y ＝－ x ＋ 1 上方，即 a < － 1 时，仅有 1 个交点，不符合题意 ； 当 y ＝－ x － a 在 y ＝－ x ＋ 1 下方，即 a > － 1 时，有 2 个交点，符合题意 . 综上， a 的取值范围为 [ － 1 ，＋ ∞ ). 故选 C. (1) 方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 根的个数即为函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ g ( x ) 图象交点的个数 . (2) 关于 x 的方程 f ( x ) － m ＝ 0 有解， m 的范围就是函数 y ＝ f ( x ) 的值域 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (1)(2018· 四川省凉山州诊断性检测 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( a ∈ R ) ，若函数 f ( x ) 在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是 A.(0,1] B .[1 ，＋ ∞ ) C.(0,1) ∪ (1,2) D .( － ∞ ， 1) 解析 答案 √ ∴ 方程 2 x － a ＝ 0 在 ( － ∞ ， 0] 上有一个解， 再根据当 x ∈ ( － ∞ ， 0] 时， 0<2 x ≤ 2 0 ＝ 1 ，可得 0< a ≤ 1. 故选 A. 解析 答案 √ 解析 　 根据题意画出函数 f ( x ) 的图象 . 设 t ＝ f ( x ) ， t 2 － ( m ＋ 1) t ＋ 1 － m ＝ 0 有两个根 t 1 ， t 2 ， 由图可知，对应两个 x 值的 t 值只有一个， 故可设 t 1 对应一个 x 值， t 2 对应 3 个 x 值 . 当属于第一种情况时，将 0 代入方程得 m ＝ 1 ， 此时二次方程 t 2 － ( m ＋ 1) t ＋ 1 － m ＝ 0 的根是确定的，一个为 0 ，一个为 2 > ， 不符合第一种情况的要求； 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域 . 其解题步骤是： (1) 阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题 .(2) 数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式 .(3) 解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果 .(4) 实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答 . 热点三　函数的实际应用问题 解答 例 3 　经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y ( 升 ) 与速度 x ( 千米 / 时 )(50 ≤ x ≤ 120) 的关系可近似表示为： (1) 该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ 解　 当 x ∈ [50,80) 时， 当 x ∈ [80,120] 时，函数单调递减 ， 故 当 x ＝ 120 时， y 有最小值 10. 因为 9<10 ，故当 x ＝ 65 时每小时耗油量最低 . 解答 (2) 已知 A ， B 两地相距 120 千米，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ ① 当 x ∈ [50,80) 时， 当 x ＝ 120 时， l 取得最小值 10. 因为 10<16 ，所以当速度为 120 千米 / 时时，总耗油量最少 . (1) 解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去 . (2) 对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法 . 思维升华 解答 跟踪演练 3 　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 . 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y ( 元 ) 与月处理量 x ( 吨 ) 之间的函数关系可近似的表示为 y ＝ x 2 － 200 x ＋ 80 000 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元 . (1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 ？ 解　 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元 . 解答 (2) 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 因为 400 ≤ x ≤ 600 ， 所以当 x ＝ 400 时， S 有最大值－ 40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能使该单位不亏损 . 解　 设该单位每月获利为 S ， 真题押题精练 真题体验 答案 解析 因为函数 f ( x ) 在区间 (π ， 2π) 内没有零点， 2.(2017· 山东改编 ) 已知当 x ∈ [0,1] 时，函数 y ＝ ( mx － 1) 2 的图象与 y ＝ ＋ m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ________ _ _______. 答案 解析 (0,1] ∪ [3 ，＋ ∞ ) 分两种情形： 当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有一个交点，符合题意 . 要使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在 [0,1] 上只有一个交点 ， 只需 g (1) ≤ f (1) ，即 1 ＋ m ≤ ( m － 1) 2 ， 解 得 m ≥ 3 或 m ≤ 0( 舍去 ). 综上所述， m ∈ (0,1] ∪ [3 ，＋ ∞ ). 答案 解析 8 解析　 由于 f ( x ) ∈ [0,1) ，则只需考虑 1 ≤ x <10 的情况 ， 在此 范围内，当 x ∈ Q ，且 x ∉ Z 时， 若 lg x ∈ Q ，则由 lg x ∈ (0,1) ， 图中交点除 (1,0) 外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内 x ∉ D 部分， 则在 x ＝ 1 附近仅有 1 个交点 ， 因此 方程解的个数为 8. 因此 lg x ∉ Q ，因此 lg x 不可能与每个周期内 x ∈ D 对应的部分相等，只需考虑 lg x 与每个周期内 x ∉ D 部分的交点，画出函数草图 . 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据 　函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法 . 1. f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析　 令 2sin π x － x ＋ 1 ＝ 0 ，则 2sin π x ＝ x － 1 ， 令 h ( x ) ＝ 2sin π x ， g ( x ) ＝ x － 1 ，则 f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数问题就转化为两个函数 h ( x ) 与 g ( x ) 图象的交点个数问题 . 画出两个函数的图象，如图所示， 两个函数图象的交点一共有 5 个，所以 f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 5. 答案 解析 押题依据 押题依据 　利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想 . √ 要使函数 g ( x ) 恰有三个不同的零点，只需 g ( x ) ＝ 0 恰有三个不同的实数根， 所以 g ( x ) ＝ 0 的三个不同的实数根为 x ＝ 2( x > a ) ， x ＝－ 1( x ≤ a ) ， x ＝－ 2( x ≤ a ). 再借助数轴，可得－ 1 ≤ a <2. 所以实数 a 的取值范围是 [ － 1,2) ，故选 D. 3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 ( 阴影部分 ) ，则其边长 x 为 ________m. 答案 解析 押题依据 押题依据　 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点 . 20 解析　 如图， 过 A 作 AH ⊥ BC 交 BC 于点 H ，交 DE 于点 F ， ∴ FH ＝ 40 － x (0< x <40) ， 当且仅当 40 － x ＝ x ， 即 x ＝ 20 时取等号，所以满足题意的边长 x 为 20 m.