【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版10-3二项式定理学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版10-3二项式定理学案

‎§10.3　二项式定理 最新考纲 考情考向分析 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.‎ ‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)‎ 二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n})‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)C＝1，C＝1.‎ C＝C＋C.‎ ‎(2)C＝C.‎ ‎(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．‎ ‎(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ 概念方法微思考 ‎1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？‎ 提示　(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．‎ ‎2．二项展开式形式上有什么特点？‎ 提示　二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ ‎3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？‎ 提示　不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(　×　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)‎ ‎(4)(a－b)n的展开式第r＋1项的系数为Can－rbr.(　×　)‎ ‎(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)‎ A．80 B．40 C．20 D．10‎ 答案　B 解析　Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.‎ ‎3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)‎ A．10 B．20 C．30 D．120‎ 答案　B 解析　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝C·x6－r·r＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T4＝C＝20.‎ ‎4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ 答案　B 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为 Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，‎ 所以系数为C(－1)m－1.‎ ‎6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个单调递增数列，则k的最大值是(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ 答案　B 解析　由二项式定理知，an＝C(n＝1,2,3，…，11)．‎ 又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，‎ 所以a6＝C，则k的最大值为6.‎ ‎7．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．‎ 答案　6‎ 解析　二项展开式的通项是Tr＋1＝C(x)4－r·(－y)r＝(－1)rC，令4－＝2＋＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.‎ 题型一　二项展开式 命题点1　求指定项(或系数)‎ 例1 (1)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.‎ 因为C＋C＝2C＝2×＝30，‎ 所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.‎ 故选C.‎ ‎(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．‎ 答案　160x6‎ 解析　因为(x2－4)5的展开式的第r＋1项的通项公式为Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r，‎ 令10－2r＝6，得r＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·Cx6＝160x6.‎ ‎(3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________．‎ 答案　12‎ 解析　方法一　(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4，‎ 其展开式的第r＋1项的通项公式为Tr＋1＝C(x2＋x)4－ryr，‎ 因为要求x3y2的系数，所以r＝2，‎ 所以T3＝C(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2.‎ 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，‎ 所以x3y2的系数是6×2＝12.‎ 方法二　(x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，‎ 在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，‎ 故x3y2的系数是C·C·C＝12.‎ 命题点2　求参数 例2 (1)(2018·大连调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 答案　D 解析　由题意得10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝Cx10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.‎ ‎(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)‎ A．±2 B. C．－2 D．± 答案　A 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Crx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4.‎ 故C·4＝，即4＝，解得a＝±2，故选A.‎ 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．‎ 跟踪训练1 (1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40 C．40 D．80‎ 答案　C 解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，‎ x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.‎ 所以x3y3的系数为80－40＝40.‎ 故选C.‎ ‎(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)‎ 答案　 解析　通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，‎ ‎∴r＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，‎ ‎∴a3＝，∴a＝.‎ 题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题 例3 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.‎ 答案　3‎ 解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，‎ 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，‎ 即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.‎ ‎(2)(2018·沈阳质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．‎ 答案　1或－3‎ 解析　令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，‎ 令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，‎ 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，‎ ‎∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，‎ ‎∴m＝－3或m＝1.‎ ‎(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．‎ 答案　255‎ 解析　n展开式的第r＋1项为 Tr＋1＝C(x2)n－r·r ‎＝C(－1)rx2n－3r，‎ 当r＝5时，2n－3r＝1，∴n＝8.‎ 对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，‎ 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.‎ 又当x＝0时，a0＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a8＝255.‎ 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ 跟踪训练2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，‎ 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，‎ 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)方法一　∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ 方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.‎ 题型三　二项式定理的应用 例4 (1)设a∈Z且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(　　)‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ 答案　D 解析　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.‎ ‎(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017等于(　　)‎ A．i B．－i C．－1＋i D．－1－i 答案　C 解析　x＝＝＝－1＋i，‎ Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017‎ ‎＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.‎ 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．‎ ‎(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ‎①观察除式与被除式间的关系；‎ ‎②将被除式拆成二项式；‎ ‎③结合二项式定理得出结论．‎ 跟踪训练3 (1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．1 C．－87 D．87‎ 答案　B 解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，‎ ‎∵前10项均能被88整除，∴余数是1.‎ ‎(2)若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，则＋＋…＋＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.‎ 当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，‎ ‎∴0＝1＋＋＋…＋，‎ 即＋＋…＋＝－1.‎ ‎1．在6的展开式中，常数项为(　　)‎ A．－240 B．－60 C．60 D．240‎ 答案　D 解析　6的展开式中，通项公式为Tr＋1＝C(x2)6－rr＝(－2)rCx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，故常数项为T5＝(－2)4C＝240，故选D.‎ ‎2．(2018·沈阳联考)5的展开式中x3项的系数为(　　)‎ A．80 B．－80 C．－40 D．48‎ 答案　B 解析　5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r，令5－2r＝3，得r＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)·25－1·C＝－80，故选B.‎ ‎3．(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40 C．40 D．80‎ 答案　D 解析　(2x－y)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，当r＝2时，T3＝240x4y2，当r＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.‎ ‎4．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为(　　)‎ A．21 B．35 C．45 D．28‎ 答案　B 解析　∵Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，∴x4的二项式系数为C＝35，故选B.‎ ‎5．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)‎ A．－20 B．－15 C．15 D．20‎ 答案　C 解析　设展开式中的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r＝C·(－1)r·212x－2rx·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，‎ ‎∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4，‎ ‎∴T5＝C·(－1)4＝15.‎ ‎6．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为(　　)‎ A．－4 B. C．4 D. 答案　C 解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，‎ ‎∴x4项的系数为4a－1＝15，∴a＝4.‎ ‎7．若二项式7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为(　　)‎ A．560 B．－560 C．280 D．－280‎ 答案　A 解析　取x＝1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二项式7的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)7－r·r＝C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C·(－2)4＝560，故选A.‎ ‎8．若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)‎ A．22 018－1 B．82 018－1 C．22 018 D．82 018‎ 答案　B 解析　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.‎ ‎9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝______.(用数字作答)‎ 答案　10‎ 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，‎ 它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，‎ T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.‎ ‎10．若6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________.‎ 答案　0‎ 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3，‎ ‎∴6的展开式中x3项的系数为Ca3b3＝20，∴ab＝1，‎ ‎∴log2a＋log2b＝log2(ab)＝log21＝0.‎ ‎11．9192除以100的余数是________．‎ 答案　81‎ 解析　9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C＝k×100＋92×90＋1＝k×100＋82×100＋81(k为正整数)，‎ 所以9192除以100的余数是81.‎ ‎12．(2018·沈阳模拟)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝____.(用数字作答)‎ 答案　364‎ 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，‎ 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，‎ ‎∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.‎ 令x＝0，得a0＝1，‎ ‎∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.‎ ‎13．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(　　)‎ A．45 B．60 C．120 D．210‎ 答案　C 解析　因为f(m，n)＝CC，‎ 所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)‎ ‎＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.‎ ‎14．(2018·大连模拟)已知n(n∈N＋)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p＋64q的最小值为________．‎ 答案　16‎ 解析　显然p＝2n.令x＝1，得q＝.所以p＋64q＝2n＋≥2＝16，当且仅当2n＝，即n＝3时取等号，此时p＋64q的最小值为16.‎ ‎15.5的展开式中常数项是________．‎ 答案　－1 683‎ 解析　5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.‎ ‎16．若n展开式中前三项的系数和为163，求：‎ ‎(1)展开式中所有x的有理项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项．‎ 解　易求得展开式前三项的系数为1,2C，4C.‎ 由题意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9.‎ ‎(1)设展开式中的有理项为Tr＋1，‎ 由Tr＋1＝C()9－rr＝2rC，‎ 又∵0≤r≤9，∴r＝2,6.‎ 故有理项为T3＝22C·＝144x3，‎ T7＝26·C·＝5 376.‎ ‎(2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则 ‎∴≤r≤，又∵r∈N，∴r＝6，‎ 故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.‎