2019年高考数学高分突破复习课件专题七 第1讲

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2019年高考数学高分突破复习课件专题七 第1讲

第 1 讲 坐标系与参数方程 高考定位  高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 . 以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识 . (1) 求 C 和 l 的直角坐标方程; (2) 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1 , 2) ,求 l 的斜率 . 真 题 感 悟 当 cos α ≠0 时, l 的直角坐标方程为 y = tan α · x + 2 - tan α , 当 cos α = 0 时, l 的直角坐标方程为 x = 1. (2) 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程, 整理得关于 t 的方程 (1 + 3cos 2 α ) t 2 + 4(2cos α + sin α ) t - 8 = 0. ① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1 , 2) 在 C 内, 所以 ① 有两个解,设为 t 1 , t 2 ,则 t 1 + t 2 = 0. 故 2cos α + sin α = 0 ,于是直线 l 的斜率 k = tan α =- 2. 2. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的方程为 y = k | x | + 2. 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 + 2 ρ cos θ - 3 = 0. ( 1) 求 C 2 的直角坐标方程; ( 2) 若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点,求 C 1 的方程 . 解  (1) 由 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , 得 C 2 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 + 2 x - 3 = 0 , 即 ( x + 1) 2 + y 2 = 4. (2) 由 (1) 知 C 2 是圆心为 A ( - 1 , 0) ,半径为 2 的圆 . 由题设知, C 1 是过点 B (0 , 2) 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y 轴右边的射线为 l 1 , y 轴左边的射线为 l 2 . 由于 B 在圆 C 2 的外面,故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点,或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点 . 当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时, A 到 l 1 所在直线的距离为 2 , 经检验,当 k = 0 时, l 1 与 C 2 没有公共点; l 2 与 C 2 有两个公共点 . 当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时, A 到 l 2 所在直线的距离为 2 , 经检验,当 k = 0 时, l 1 与 C 2 没有公共点; 1. 直角坐标与极坐标的互化 考 点 整 合 2. 直线的极坐标方程 3. 圆的极坐标方程 解   (1) 设 P 的极坐标为 ( ρ , θ )( ρ >0) , M 的极坐标为 ( ρ 1 , θ )( ρ 1 >0). 由 | OM |·| OP | = 16 得 C 2 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ( ρ >0). 因此 C 2 的直角坐标方程为 ( x - 2) 2 + y 2 = 4( x ≠0). (2) 设点 B 的极坐标为 ( ρ B , α )( ρ B >0). 由题设知 | OA | = 2 , ρ B = 4cos α ,于是 △ OAB 的面积 解  因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ , 所以曲线 C 是圆心为 (2 , 0) ,直径为 4 的圆 . 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 . 解   (1) a =- 1 时,直线 l 的普通方程为 x + 4 y - 3 = 0. (2) 直线 l 的普通方程是 x + 4 y - 4 - a = 0. 设曲线 C 上点 P (3cos θ , sin θ ). ∴ |5sin( θ + φ ) - 4 - a | 的最大值为 17. 若 a ≥ 0 ,则- 5 - 4 - a =- 17 , ∴ a = 8. 若 a <0 ,则 5 - 4 - a = 17 , ∴ a =- 16. 综上,实数 a 的值为 a =- 16 或 a = 8. 探究提高  1. 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件 . 2 . 在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解 . 所以点 C 的直角坐标为 (0 , 2). ∴ 曲线 Ω 的普通方程为 x 2 + ( y + 2) 2 = 4. 代入 x 2 + ( y + 2) 2 = 4 ,整理得: t 2 + 8 t sin α + 12 = 0. 设点 P , Q 对应的参数值分别为 t 1 , t 2 ,则 t 1 t 2 = 12 , 所以直线 l 的普通方程为 x sin φ - y cos φ + 2cos φ = 0. 由 ρ cos 2 θ = 8sin θ ,得 ( ρ cos θ ) 2 = 8 ρ sin θ , 把 x = ρ cos φ , y = ρ sin φ 代入上式,得 x 2 = 8 y , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 = 8 y . (2) 将直线 l 的参数方程代入 x 2 = 8 y , 得 t 2 cos 2 φ - 8 t sin φ - 16 = 0 , 设 A , B 两点对应的参数分别为 t 1 , t 2 , 当 φ = 0 时, | AB | 的最小值为 8. 探究提高   1. 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 . 当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程 . 2 . 数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用 ρ 和 θ 的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的 . 从而曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 ρ cos θ = 0 ,即 ρ = 4cos θ , 1. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 . 2. 要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程,如:圆、椭圆、及过一点的直线,在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答 .
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