2018-2019学年辽宁省锦州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省锦州市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省锦州市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据几何概型概率公式直接求解可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由几何概型概率公式可知，所求概率 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.‎ ‎2．为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆共建小康”知识竞赛活动.班主任老师将两组最近的次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两组的平均成绩分别是.则下列说法正确的是（ ）‎ A．，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛 B．，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛 C．，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛 D．，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛 ‎【答案】D ‎【解析】由茎叶图数据分别计算两组的平均数；根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定；由平均数和稳定性可知应选乙组参赛.‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ 乙组的数据集中在平均数附近 乙组成绩更稳定 应选乙组参加比赛 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的相关知识，涉及到平均数的计算、数据稳定性的估计等知识，属于基础题.‎ ‎3．已知随机事件和互斥，且,.则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 与互斥 ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.‎ ‎4．等差数列的首项为.公差不为，若成等比数列，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比中项定义可得；利用和表示出等式，可构造方程求得；利用等差数列求和公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 设等差数列公差为，则 即：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等比中项、等差数列前项和公式的应用；关键是能够构造方程求出公差，属于常考题型.‎ ‎5．在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎6．已知等差数列的前项和为.且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列性质可知，求得，代入可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数值的求解，关键是能够灵活应用等差数列下标和的性质，属于基础题.‎ ‎7．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据同角三角函数关系可求得；由二倍角的正切公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角的正切公式、同角三角函数关系的应用，属于基础题.‎ ‎8．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：‎ 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个.依次判断每个随机数即可.‎ ‎【详解】‎ 由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个,∴满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，熟记古典概型运算公式是关键，是中档题，也是易错题.‎ ‎9．等差数列的前项和为.若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差数列片段和成等差数列，可得到，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列性质知：，，，成等差数列 ‎，即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.‎ ‎10．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为，从而构造方程可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由图形可知，小正方形边长为 小正方形面积为：，又大正方形面积为：‎ ‎，即：‎ 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.‎ ‎11．已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦型函数的最小正周期可求得，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据可知和必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得，；从而可知时取最小值.‎ ‎【详解】‎ 由最小正周期为可得： ‎ ‎，‎ ‎ 和分别为的最大值点和最小值点 设为最大值点，为最小值点 ‎ ， ‎ 当时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定和为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.‎ ‎12．在中，，，是边的中点.为所在平面内一点且满足，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为中点 ‎ ‎ 和为等腰三角形 ‎，同理可得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.‎ 二、填空题 ‎13．长时间的低头,对人的身体如颈椎、眼睛等会造成定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的人中采用分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据饼状图得到青年人的分配比例；利用总数乘以比例即可得到青年人的人数.‎ ‎【详解】‎ 由饼状图可知青年人的分配比例为：‎ 这个群体里青年人的人数为：人 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样知识的应用，属于基础题.‎ ‎14．若向量，则与夹角的余弦值等于_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.‎ ‎15．_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将写成，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为，利用二倍角公式可变为，由可化简求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.‎ ‎16．已知数列的首项，，.若对任意，都有恒成立，则的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】代入求得，利用递推关系式可得，从而可证得和均为等差数列，利用等差数列通项公式可求得通项；根据恒成立不等式可得到不等式组：，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，解得：‎ 由得： ‎ 是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公差的等差数列 ‎，‎ 恒成立 ，解得：‎ 即的取值范围为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等关系.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求在区间上的单调递增区间；‎ ‎（2）求在的值域.‎ ‎【答案】(1) 和. (2) ‎ ‎【解析】（1）利用辅助角公式可将函数化简为；令可求出的单调递增区间，截取在上的部分即可得到所求的单调递增区间；（2）利用的范围可求得的范围，对应正弦函数的图象可求得的范围，进而得到函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 令，解得：‎ 令，可知在上单调递增 令，可知在上单调递增 在上的单调递增区间为：和 ‎（2）当时， ‎ 即在的值域为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题；解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式，将整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围，从而结合正弦函数的知识可求得结果.‎ ‎18．已知为等边角形，.点满足，，.设.‎ 试用向量和表示;‎ 若,求的值.‎ ‎【答案】(1) ； ；(2) .‎ ‎【解析】（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 为等边三角形且 ，‎ 即：，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.‎ ‎19．设是正项等比数列的前项和，已知，‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】（1）设正项等比数列的公比为，当时，可验证出，可知；根据可构造方程求得，进而根据等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设正项等比数列的公比为 当时，，解得：，不合题意 ‎ 由得：，又 整理得：，即，解得：‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎…①‎ 则…②‎ ‎①②得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和；关键是能够得到数列的通项公式后，根据等差乘以等比的形式确定采用错位相减法求得结果，对学生的计算和求解能力有一定要求.‎ ‎20．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取 名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ，.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)‎ ‎（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) ‎ ‎（3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？‎ ‎【答案】(1) 分钟. (2)58分钟；(3) ‎ ‎【解析】（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设中位数为，则 解得：（分钟）‎ 这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟 ‎（2）平均每天使用手机时间为：（分钟）‎ 即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟 ‎（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，‎ 则从五人中选出两人共有以下种情况：‎ 两名组长分别选自和的共有以下种情况：‎ 所求概率 ‎【点睛】‎ 本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.‎ ‎21．如图，在四边形中，已知，，‎ ‎（1）若，且的面积为，求的面积:‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)3‎ ‎【解析】（1）根据可解出，验证出，从而求得所求面积；（2）设，，在中利用余弦定理构造关于的方程；在中分别利用正余弦定理可得到和，代入可求得；根据三角函数最值可求得的最大值，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：‎ ‎，即 ‎ ‎（2）设，‎ 在中，由正弦定理得：…①‎ 由余弦定理得：…②‎ 在中，由余弦定理得：‎ 将①②代入整理得：‎ 当，即时，取最大值 ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用；本题中线段长度最值的求解的关键是能够利用正余弦定理构造方程，将问题转化为三角函数最值的求解问题.‎ ‎22．随着互联网的迅速发展，越来越多的消费者开始选择网络购物这种消费方式某营销部门统计了2019年某月锦州的十大特产的网络销售情况得到网民对不同特产的最满意度和对应的销售额(万元)数据，如下表:‎ 特产种类 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 最满意度 销售额(万元)‎ 求销量额关于最满意度的相关系数;‎ 我们约定：销量额关于最满意度的相关系数的绝对值在以上(含 ‎)是线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制(即销售额最少的特产退出销售)，并求在剔除“末位淘汰”的特产后的销量额关于最满意度的线性回归方程(系数精确到).‎ 参考数据：，，，.‎ 附:对于一组数据.其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.线性相关系数 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）将数据代入相关系数公式可直接求得结果；（2）根据可知需剔除癸种类产品，计算剔除癸种类产品后的数据，利用最小二乘法可求得回归直线.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由相关系数得：‎ ‎（2） 需剔除癸种类产品 剔除后的，，，‎ ‎，‎ 所求回归方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相关系数、回归方程的求解，考查最小二乘法的应用，对于学生的计算和求解能力有一定的要求.‎