【数学】2020届一轮复习（文）通用版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2020届一轮复习（文）通用版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 一、基础知识批注——理解深一点 ‎1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. ‎ 　　　　　 　　　　　　 　　　　　‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎3．充分条件、必要条件与充要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；‎ ‎①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA；‎ ‎②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．‎ ‎(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．‎ 充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，‎ ‎①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎②若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．‎ ‎③若A＝B，则p是q的充要条件．‎ 二、常用结论汇总——规律多一点 ‎1．四种命题中的等价关系 原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．‎ ‎2．等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况以此类推．‎ 三、基础小题强化——功底牢一点 ‎(1)“x2＋2x－8<0”是命题．(　　)‎ ‎(2)一个命题非真即假．(　　)‎ ‎(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)‎ ‎(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎(二)选一选 ‎1．“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的(　　)‎ A．充要条件　　　　　 　 　B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　由x2＋3x＝0，解得x＝－3或x＝0，则当“x＝－3”时一定有“x2＋3x＝0”，反之不一定成立，所以“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的充分不必要条件．‎ ‎2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)‎ A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b C．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c 解析：选A　命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．‎ ‎3．(2018·唐山一模)若x∈R，则“x>1”是“<1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当x>1时，<1成立，而当<1时，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要条件．‎ ‎(三)填一填 ‎4．“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为________．‎ 解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”．‎ 答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数 ‎5．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的____________条件．‎ 解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，‎ 即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－，‎ ‎∴x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－，‎ ‎∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．‎ 答案：必要不充分 ‎ ‎[典例]　(2019·菏泽模拟)有以下命题：‎ ‎①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．‎ 其中真命题是(　　)‎ A．①②　　　　　　　 　B．②③‎ C．④ D．①②③‎ ‎[解析]　①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．‎ ‎[答案]　D ‎[解题技法]‎ ‎1．由原命题写出其他三种命题的方法 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．‎ ‎2．判断命题真假的2种方法 直接 判断 判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 间接 判断 根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假 ‎[提醒]　(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎[题组训练]‎ ‎1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1‎ D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1‎ 解析：选D　命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－10，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．‎ ‎5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是(　　)‎ ‎①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；‎ ‎②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；‎ ‎③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．‎ A．①③ B．②‎ C．②③ D．①②③‎ 解析：选A　本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．‎ ‎6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，‎ 即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.‎ 因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，‎ 所以a·b＝0，能推出a⊥b.‎ 由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，‎ 能推出|a－3b|＝|3a＋b|，‎ 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．‎ ‎7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．‎ ‎8．(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)‎ A．m> B．00 D．m>1‎ 解析：选C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.‎ ‎9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．‎ 解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.‎ 答案：3‎ ‎11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．‎ 解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.‎ 又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.‎ 故实数m的取值范围为[3,8)．‎ 答案：[3,8)‎ ‎12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：‎ ‎①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；‎ ‎②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；‎ ‎③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；‎ ‎④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．‎ 以上说法正确的是________(填序号)．‎ 解析：对于①，“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．‎ 答案：①②④‎ ‎13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．‎ 解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．‎ ‎(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．‎ ‎(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．‎