2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习：专题限时集训 第1部分 专题1 突破点1 三角函数问题

2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习：专题限时集训 第1部分 专题1 突破点1 三角函数问题

专题限时集训(一)　三角函数问题 ‎[建议A、B组各用时：45分钟] ‎ ‎[A组　高考达标]‎ 一、选择题 ‎1．(2016·泰安模拟)函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　) 【导学号：67722010】‎ A．－　 　 B．－　 　‎ C.　 　 D. A　[函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin ＝sin ，又其为奇函数，故＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，‎ ‎∴f(x)＝sin .‎ 又∵x∈，‎ ‎∴2x－∈，∴sin∈，‎ 当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.]‎ ‎2．(2016·河南八市联考)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　　)‎ A．－　　　 B．－　　　 ‎ C.　　　 D. D　[因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故选D.]‎ ‎3．(2016·全国甲卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)‎ A．4 B．5 ‎ C．6 D．7‎ B　[∵f(x)＝cos 2x＋6cos ‎＝cos 2x＋6sin x ‎＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，‎ 又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.]‎ ‎4．(2016·郑州模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图16所示，则f(0)＋f的值为(　　)‎ 图16‎ A．2－ B．2＋ C．1－ D．1＋ A　[由函数f(x)的图象得函数f(x)的最小正周期为T＝＝4＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)．又因为函数图象经过点－，－2，所以f－＝2sin＝－2，则2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|＜，所以φ＝－，则f(x)＝2sin，所以f(0)＋f＝2sin ‎＋2sin＝2sin＋2sin＝－＋2，故选A.]‎ ‎5．(2016·石家庄二模)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)‎ A．[－1,1] B．[－1，]‎ C．[－，1] D．[1，]‎ A　[由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α－∈[0，π]⇒α∈，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝sin，α∈⇒α＋∈⇒sin∈⇒sin∈[－1,1]，故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，则sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________. 【导学号：67722011】‎ 　[∵tan α＝2，‎ ‎∴sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)‎ ‎＝cos2α＋sin αcos α ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.]‎ ‎7．(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG(点G在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.‎ 图17‎ ‎－　[由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A＞0，ω＞0)．又由△EFG是边长为2的等边三角形可得A＝，最小正周期T＝4＝，ω＝，则f(x)＝－sinx，f(1)＝－.]‎ ‎8．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．‎ 　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，‎ 因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，‎ 所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，‎ 所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.‎ 又ω－(－ω)≤，即ω2≤，所以ω2＝，‎ 所以ω＝.]‎ 三、解答题 ‎9．(2016·临沂高三模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)满足下列条件：‎ ‎①周期T＝π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f(0)＝1.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(2α－2β)的值．‎ ‎[解]　(1)f(x)的周期T＝π，∴ω＝2.1分 f(x)的图象向左平移个单位长度，变为g(x)＝Asin.2分 由题意，g(x)关于y轴对称，‎ ‎∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z.3分 又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝Asin.4分 ‎∵f(0)＝1，∴Asin＝1，∴A＝2.5分 因此，f(x)＝2sin.6分 ‎(2)由f＝－，f＝，得2sin＝－，‎ ‎2sin＝.7分 ‎∵α，β∈，∴2α，2β∈，∴cos 2α＝，cos 2β＝，sin 2α＝，sin 2β＝，11分 cos(2α－2β)＝cos 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β ‎＝×＋×＝.12分 ‎10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图18所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.‎ 图18‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈(－1,2)时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．‎ ‎[解]　(1)由条件知cos ∠POQ＝＝.2分 又cos ∠POQ＝，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P(1,2).3分 由此可得振幅A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，则ω＝.4分 将点P(1,2)代入f(x)＝2sin，‎ 得sin＝1.‎ ‎∵0＜φ＜，∴φ＝，于是f(x)＝2sin.6分 ‎(2)由题意可得g(x)＝2sin＝2sin x.7分 ‎∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sin x ‎＝2sin2x＋2sin x·cos x ‎＝1－cos x＋sin x＝1＋2sin.9分 当x∈(－1,2)时，x－∈，10分 ‎∴sin∈(－1,1)，‎ 即1＋2sin∈(－1,3)，于是函数h(x)的值域为(－1,3).12分 ‎[B组　名校冲刺]‎ 一、选择题 ‎1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin 2α的值为(　　)‎ A.　　　 B．－　　　‎ C.　　　 D．－ D　[根据已知可得点P的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝，cos α＝，所以sin2α－sin 2α＝sin2α－2sin αcos α＝2－2××＝－.]‎ ‎2．(2016·东北三省四市第二次联考)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ D　[f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移个单位得到函数g(x)＝sin＝sin2x－＋φ，此函数图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值为sin＝－，故选D.]‎ ‎3．(2016·湖北七市四月联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最大值，则函数y＝f是(　　)‎ A．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 B　[由题意可知f′＝0，‎ 即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0，‎ ‎∴f(x)＝a(sin x＋cos x)＝asin.‎ ‎∴f＝asin＝acos x.‎ 易知f是偶函数且图象关于点对称，故选B.]‎ ‎4．(2016·陕西省第二次联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图19所示，且f(α)＝1，α∈，则cos＝(　　)‎ 图19‎ A．± B. C．－ D. C　[由图易得A＝3，函数f(x)的最小正周期T＝＝4×，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)．又因为点在函数图象上，所以f＝3sin＝－3，解得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f(x)＝3sin，当α∈时，2α＋∈.又因为f(α)＝3sin＝1，所以sin＝＞0，所以2α＋∈，则cos＝－ ‎＝－，故选C.]‎ 二、填空题 ‎5．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ ‎ 【导学号：67722012】‎ 　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈Z)．‎ 由题意，函数f(x)在上单调递减，故为函数单调递减区间的一个子区间，故有 解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．‎ 由4k＋＜2k＋，解得k＜.‎ 由ω＞0，可知k≥0，‎ 因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为.]‎ ‎6．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ π　[∵f(x)在上具有单调性，‎ ‎∴≥－，∴T≥.‎ ‎∵f＝f，‎ ‎∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.‎ 又∵f＝－f，‎ ‎∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，‎ ‎∴T＝－＝，∴T＝π.]‎ 三、解答题 ‎7．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ ‎[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎4分 且函数解析式为f(x)＝5sin.6分 ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，‎ 则g(x)＝5sin.7分 因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，‎ 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.8分 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，‎ 所以令＋－θ＝，‎ 解得θ＝－，k∈Z.10分 由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.12分 ‎8．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x－sin2x＋cos 2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)在上的最值；‎ ‎(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象．已知g(α)＝－，α∈，求cos的值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝2sin xcos x－sin2x＋cos 2x＋ ‎＝sin 2x－＋cos 2x＋ ‎＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.2分 ‎∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，3分 ‎∴当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)的最小值为2×＝－.4分 当2x＋＝，即x＝时，f(x)的最大值为2×1＝2.5分 ‎(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin .7分 由g(α)＝2sin＝－，得sin ‎＝－.8分 ‎∵＜α＜，∴π＜α－＜，‎ ‎∴cos＝－.10分 ‎∵＜－＜，11分 ‎∴cos＝－＝－ ‎＝－.12分