2017-2018学年山东省枣庄市第三中学高二第六学段学情调查（1月）数学试题（解析版）

2017-2018学年山东省枣庄市第三中学高二第六学段学情调查（1月）数学试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省枣庄市第三中学高二第六学段学情调查（1月）数学试题 一、单选题 ‎1．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的(　　)‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由得：，因为焦点在轴上，所以，解得：，反之，当时，表示焦点在轴上的椭圆，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C．‎ ‎【考点】充分条件、必要条件．‎ ‎2．下列命题中正确的是（ ）‎ A． 的最小值是 B． 的最小值是 C． 的最小值是 D． 的最大值是 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 逐一考查所给的选项：‎ A中，当时，，题中的命题错误；‎ B中，，令，则在区间上单调递增，‎ 函数的最小值为：，原命题正确；‎ C中，，令，则在区间上单调递增，‎ 函数的最小值为：，原命题正确；‎ D中，时，，题中的命题错误；‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．已知正三角形的顶点在抛物线上，为坐标原点，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 不妨设点A位于第一象限，点B位于第四象限，则，‎ 则边长：，△AOB是等边三角形，则：，即：‎ ‎，解得：，据此可得，△AOB的边长为：，‎ ‎△AOB的面积为：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．设.若是与的等比中项，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：，则：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 综上可得：的最小值是4.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】此题没有表明焦点位置，所以必有两解，排除，又长轴长为，∴，∴，故选。‎ ‎6．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由椭圆方程可得焦点坐标为，设与其共焦点的双曲线方程为：，‎ 双曲线过点，则：，整理可得：，‎ 结合可得：，则双曲线方程为：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎7．抛物线的焦点为为其上一点，若的外接圆与其准线相切（为坐标原点），且外接圆的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，‎ ‎∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ‎∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，‎ 又∵圆心在OF的垂直平分线上，，‎ ‎∴，∴p=8，‎ 本题选择B选项.‎ ‎8．不等式组的解集记为，有下面四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示平面区域内的点与点之间连线的斜率，‎ 则，‎ 即实数的取值范围是，‎ 据此可得命题是假命题，是真命题，‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎9．已知点为双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点，点为的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设圆与的三边、、分别相切于点，连接、‎ ‎、，则，它们分别是的高， 其中是的内切圆的半径，因为所以，两边约去得，根据双曲线定义，得， 离心率为，双曲线的离心率取值范围为，故选A.‎ ‎10．设则 “”是“”的( )‎ A．充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎【答案】A ‎【解析】解：因为设则 “”是“充分条件但不是必要条件，选A ‎11．设双曲线的半焦距为，设直线过点和两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． 或 B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意,直线的方程为：，即，‎ ‎∴原点到的距离为，‎ ‎∵原点到的距离为，‎ ‎∴，整理可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或，‎ ‎，‎ 故不合题意，舍去，双曲线的离心率为.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12．如图，把椭圆的长轴分成等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得：，‎ 又a=5,b=4,，故 ①‎ ‎∵把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，‎ ‎∴点为椭圆与轴正半轴的交点且与分别关于y轴对称，‎ ‎∴不妨设且，‎ ‎∴，由①可得：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 二、填空题 ‎13．已知数列的前项和为，若函数的最大值为，且满足，则数列的前项之积__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的解析式，‎ 据此可得，则递推关系式即：‎ ‎，即：，则：，‎ 结合可得：，‎ 据此可得数列是周期为3的周期数列，且，‎ 而，则.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎14．若定长为的线段的两端点在抛物线上移动，则线段的中点到轴的最短距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图,设为抛物线的焦点,分别过作抛物线准线的垂线,垂足为.‎ 在直角梯形中,因为,所以.‎ 又,所以.‎ 由平面几何的性质,知.当且仅当过焦点时取等号,‎ 所以当为焦点弦时,有最小值,此时点到轴的距离最短,且最短距离为.‎ ‎15．平行四边形中，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 结合有：，‎ 所以，当且仅当，即时，‎ ‎3x+2y取得最大值2.‎ 故答案为：2.‎ ‎16．已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵双曲线的方程为，‎ 右焦点坐标为，连接.‎ 由双曲线的定义，得.‎ ‎∴.‎ 因为点是圆上的点，此时圆心为，半径为1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当点M，A在线段上时上式取等号，即的最小值为.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，求实数的值.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由函数的值域为可得二次函数的判别式等于零，据此可得，，据此可得不等式的解集为，结合题意得到关于c的方程，解方程有.‎ 试题解析：‎ 由值域为，当时有，即，‎ 解得 不等式的解集为，‎ ‎，解得.‎ ‎18．已知，不等式恒成立；，使不等式成立.若是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可得，是真命题，是真命题，当p为真命题时，，当q为真命题时，或.据此可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ 根据是假命题，得是真命题，是真命题，‎ 因为，不等式恒成立，‎ 所以，得.‎ 因为，所以.‎ ‎，使不等式成立，所以，‎ 所以q是真命题时或.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎19．图中是抛物线拱桥，当水面在时，拱顶离水面米，水面宽米，问 ‎（1）水下降米后，水面宽多少？‎ ‎（2）若在水面上有一宽为米，高为米的船只，能否安全通过拱桥？‎ ‎【答案】(1) 米.(2) 不能安全通过.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)建立平面直角坐标系，可得抛物线方程为.计算可得水下降米后，水面宽米.‎ ‎(2)结合(1)中求得的方程可知，到水面的距离为米，而船高 米，所以不能安全通过.‎ 试题解析：‎ ‎（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的标准方程为，‎ 则点再抛物线上，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为.‎ 当时，，所以水下降米后，水面宽米.‎ ‎（2）设，则当时，到水面的距离为米，而船高米，所以不能安全通过.‎ ‎20．在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先由正弦定理角化边，然后由余弦定理可得，则.‎ ‎(2)由（1）可知，，且，利用两角和差正余弦公式可得，结合正弦定理计算可得.‎ 法二：由（1）可知，，，利用正弦定理得 ‎，由余弦定理得方程，解得 试题解析：‎ ‎（1）由正弦定理得，由余弦定理得，‎ 因为.‎ ‎（2）由（1）可知，，因为是三角形的内角，‎ 所以，‎ 故 ‎ 由正弦定理，得.‎ ‎（2）法二：由（1）可知，，因为是三角形的内角，‎ 所以，‎ 由正弦定理，得 由余弦定理，得 解得或（舍）‎ ‎21．在数列中，.‎ ‎（1）求证数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和；‎ ‎（3）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)整理递推关系有，则数列构成首项为，公式为的等比数列.据此计算可得.‎ ‎(2)结合(1)的公式计算可得，错位相减可得数列的前项和.‎ ‎(3)利用与的关系结合(2)中求得的结论可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由条件得，又时，，‎ 故数列构成首项为，公式为的等比数列.‎ 从而，即.‎ ‎（2）由得 ‎ 两式相减得：，‎ 所以.‎ ‎（3）由得 所以.‎ 点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎22．已知椭圆的中心在坐标原点，其焦点与双曲线的焦点重合，且椭圆的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过双曲线的右顶点作直线与椭圆交于不同的两点.‎ ‎①设，当为定值时，求的值；‎ ‎②设点是椭圆上的一点，满足，记的面积为的面积为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ①.；②. .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.‎ ‎(2)①.由题意可得双曲线右顶点为.分类讨论：‎ 当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程有，则时为定值.当直线的斜率不存在时，也满足，则当时为定值.‎ ‎②.当直线斜率存在时，由题意结合平行关系可得.换元后利用二次函数的性质可得，当直线的斜率不存在时，，则的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得椭圆的焦点在轴上，设方程为，‎ 其左右焦点为，所以，‎ 又因为椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形，所以 又因为，所以.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）①双曲线右顶点为.‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为 由得 设直线与椭圆交点，‎ 则，‎ 则，‎ 所以 当，即时为定值.‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为 由得，不妨设，由可得.‎ ‎，所以.‎ 综上所述当时为定值.‎ ‎②因为，所以，所以，‎ 因为 原点到直线的距离为，‎ 所以.‎ 令，则，所以 因为，所以，所以，所以 当直线的斜率不存在时，‎ 综上所述的取值范围是.‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎